湖北省恩施土家族苗族自治州利川市都亭初级中学、民中2020-2021学年八年级上学期期中数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（　　）

A． B．

C． D．

2．下 列 四 个 图 形 是 四 款 车 的 标 志 ， 其 中 轴 对 称 图 形 有 几 个 ( )

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

3．下列每组数分别是三条线段的长度(单位：cm)，它们首尾相连能围成三角形的是( )

A．3，3，5 B．1，10，12 C．8，11，20 D．7，8，15

4．一个等腰三角形的两边长分别为 4cm 和 10cm，则该等腰三角形的周长为(单位：cm)( )

A．14 B．18 C．24 D．18 或 24

5．一个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则多边形是( )

A．五边形 B．六边形 C．八边形 D．十二边形

6．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是 BC边上的高，E为 AD上一点，连接 BE，CE，那么图中共有全等三角形( )

A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．4 对

7．如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB=AD，BC=DC，将仪器上的点A与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE=∠PAE．则说明这两个三角形全等的依据是[来（ ）

A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS

8．如图，把矩形纸片ABCD沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（　　）

A．△EBD是等腰三角形，EB=ED B．折叠后∠ABE和∠C′BD一定相等

C．折叠后得到的图形是轴对称图形 D．△EBA和△EDC′一定是全等三角形

9．在平面直角坐标系中，点P（2，-3）关于y轴的对称点在（　　）

A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限

10．若等腰三角形腰上的高是腰长的一半，则这个等腰三角形的底角是（ ）

A．75°或30° B．75° C．15° D．75°或15°

11．点P是△ABC内一点，连结BP并延长交AC于D，连结PC，则图中∠1、∠2、∠A的大小关系是（ ）

A．∠A＞∠2＞∠1 B．∠A＞∠2＞∠1 C．∠2＞∠1＞∠A D．∠1＞∠2＞∠A

12．如图，在△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题

13．六边形的对角线有______条

14．已知 a、b、c 是三角形的三边长，若 a=8cm，b=10cm，则边长 c 的取值范围是_____.

15．如图，在△ABC 中，AD 是高，DE 是 AC 的垂直平分线，AE=4cm，△ABD 的周长为 15cm， 则△ABC 的周长为______

16．如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．

恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）

三、解答题

17．在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1.格点三角形 ABC (顶点是网格线交点的三角形)的顶点 A ，C 的坐标分别是(-4 ，6) ，(-1，4) ．

(1)请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；

(2)请画出△ABC 关于 x 轴对称的△A1B1C1 ；并直接写出A1B1C1的坐标.

(3)请在 y 轴上求作一点 P ，使△PB1C 的周长最小，

18．已知如图，在△ABC 中，AB=AC，D、E 是 BC 上异于 B、C 的任意两点，连接 AD 和 AE，且AD=AE.

(1)图中有几组全等三角形？请分别写出来；

(2)选择其中的一组证明两三角形全等.

19．证明“角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”.

20．如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E三点在同一直线上.

（1）求证：△BAD≌△CAE；

（2）猜想BD，CE有何特殊位置关系，并说明理由．

21．如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求△ABC各角的度数．

22．如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE=CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．

23．（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m, CE⊥直线m,垂足分别为点D、E.证明:DE=BD+CE.

（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D、A、E三点都在直线m上,并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=,其中为任意锐角或钝角.请问结论DE=BD+CE是否成立?如成立,请你给出证明;若不成立,请说明理由.

（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E三点互不重合）,点F为∠BAC平分线上的一点,且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE,若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状.

参考答案

1．D

【解析】

分析：根据高的定义一一判断即可.

详解：三角形的高必须是从三角形的一个顶点向对边或对边的延长线作的垂线段.

可以判断A,B,C虽然都是从三角形的一个顶点出发的，但是没有垂直对边或对边的延长线.

故选D.

点睛：考查高的画法，是易错点，尤其注意钝角三角形高的画法.

2．B

【解析】

【分析】

根据轴对称图形的概念求解．

【详解】

解：第2个、第3个图形是轴对称图形，共2个．

故选：B．

【点睛】

本题考查了轴对称图形的概念：判断是否为轴对称图形的关键是是否存在这么一条直线，图形两部分沿这条直线对对折后可重合．

3．A

【分析】

根据三角形三边关系定理（①三角形两边之和大于第三边，②三角形的两边之差小于第三边）逐个判断即可.

【详解】

解：A、3+3＞5，3+5＞5，符合三角形三边关系定理，故本选项正确；

B、1+10＜12，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；

C、8+11＜20，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；

D、7+8=15，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；

故选：A．

【点睛】

本题考查了对三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生对定理的理解能力.在判断时只要考虑较小两边的和是否大于最大边即可.

4．C

【分析】

题中没有指出哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．

【详解】

解：分两种情况讨论：

当4cm是腰时，因为4+4＜10cm，不符合三角形三边关系，故舍去；

当10cm是腰时，能构成三角形，此时周长=10+10+4=24cm

故该三角形的周长为24cm

故选：C．

【点睛】

此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．

5．C

【分析】

根据多边形的外角和是360°，以及多边形的内角和定理列出方程即可求解．

【详解】

解：设多边形的边数是n，则

（n-2）•180°=3×360°，

解得：n=8．

故选：C．

【点睛】

本题考查了多边形的内角和定理以及外角和定理，熟知定理是关键．

6．C

【分析】

由已知易得△ABD≌△ACD，从而运用全等三角形性质及判定方法证明△BDE≌△CDE，△ABE≌△ACE．

【详解】

解：图中的全等三角形共有3对．理由如下：

∵AD⊥BC，AB=AC

∴∠ADB=∠ADC=90°，BD=CD，∠BAD=∠CAD

在Rt△ABD与Rt△ACD中，

∴Rt△ABD≌Rt△ACD．（HL）

在Rt△EBD与Rt△ECD中

∴Rt△EBD≌Rt△ECD．

在Rt△EBD与Rt△ECD中

∴△ABE≌△ACE．（SAS）

故选：C．

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定和性质，注意不要漏解．

7．D

【解析】

试题解析：在△ADC和△ABC中，

，

∴△ADC≌△ABC（SSS），

∴∠DAC=∠BAC，

即∠QAE=∠PAE．

故选D．

8．B

【解析】

【详解】

解：由题意得：△BC′D≌△BCD，∴DC′=DC，∠C′=∠C=90°，∠C′BD=∠CBD；

又∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠C=90°；DE∥BC，AB=DC，

∴∠EDB=∠CBD，DC′=AB，∴∠EDB=∠C′BD，∴EB=ED，△EBD为等腰三角形．

在△ABE与△C′DE中，∵BE=DE，∠AEB=∠C′ED，∴△ABE≌△C′DE；

又∵△EBD为等腰三角形，∴折叠后得到的图形是轴对称图形．

综上所述：选项A、C、D成立，∴说法错误的是B．

故选B．

9．B

【分析】

平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（-x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．这样就可以求出对称点的坐标．

【详解】

点P（2，-3）关于y轴的对称点的坐标是（-2，-3），在第三象限．

故选B．

【点睛】

此题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．关键是熟练把握关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．

10．D

【解析】

本题主要考查三角形中高的位置.直角三角形中，一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°.及三角形的内角和定理,等腰三角形的性质.

解:如图所示:

(1)在△ABC中,当高BD在△ABC内部时,BD=AB

∵在Rt△ABD中,BD=AB

∴∠A=30°

又∵AB="AC"

∴∠ABC=∠C=(180°-30°)

=75°

(2)在△ABC中,当高BD在△ABC外部时,BD=AB

∵在Rt△ABD中,BD=AB

∴∠BAD=30° ∴∠BAC=150°

又∵AB="AC"

∴∠ABC=∠C=(180°-150°)

=15°

11．D

【解析】

试题分析：根据“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”可知∠1＞∠2＞∠A．

解：由三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，可知∠1＞∠2＞∠A

故选D．

考点：三角形的外角性质；三角形内角和定理．

12．C

【解析】

试题分析：∵AB=AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC

∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°

∴DE=DF

∴AD垂直平分EF

∴（4）错误；

又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，

∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD平分∠EDF．

故选C．

考点：1.等腰三角形的判定与性质；2.线段垂直平分线的性质．

13．9．

【分析】

直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求解.

【详解】

解:六边形的对角线的条数=.

故答案为9.

【点睛】

本题考查了多边形的对角线的知识,属于基础题,解答本题的关键是掌握:n边形对角线的总条数为(n≥3,且n为整数).

14．2 cm＜c＜18 cm．

【分析】

先根据非负数的性质求出a、b的值，再由三角形的三边关系即可得出结论．

【详解】

解：∵a、b、c为三角形的三边长，

∴10-8＜c＜10+8，即2＜c＜18．

故答案为：2 cm＜c＜18 cm．

【点睛】

本题考查的是三角形的三边关系，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解答此题的关键．

15．23cm．

【分析】

根据线段垂直平分线的性质得到AC=2AE=8，DA=DC，根据三角形的周长公式计算即可．

【详解】

解：∵DE是AC的垂直平分线，

∴AC=2AE=8，DA=DC，

∵△ABD的周长=AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=15，

∴△ABC的周长=AB+BC+AC=15+8=23cm，

故答案是：23cm．

【点睛】

本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

16．①②③⑤

【分析】

根据等边三角形的性质及SAS即可证明；根据全等三角形的性质证明为等边三角形，再证明△ACD≌△BCE即可求解.

【详解】

①△ABC和△DCE均是等边三角形，点A，C，E在同一条直线上，

∴AC=BC，EC=DC，∠BCE=∠ACD=120°

∴△ACD≌△ECB

∴AD=BE，故本选项正确；

②∵△ACD≌△ECB

∴∠CBQ=∠CAP，

又∵∠PCQ=∠ACB=60°，CB=AC，

∴△BCQ≌△ACP，

∴CQ=CP，又∠PCQ=60°，

∴△PCQ为等边三角形，

∴∠QPC=60°=∠ACB，

∴PQ∥AE，故本选项正确；

③∵∠ACB=∠DCE=60°，

∴∠BCD=60°，

∴∠ACP=∠BCQ，

∵AC=BC，∠DAC=∠QBC，

∴△ACP≌△BCQ（ASA），

∴CP=CQ，AP=BQ，故本选项正确；

④已知△ABC、△DCE为正三角形，

故∠DCE=∠BCA=60°⇒∠DCB=60°，

又因为∠DPC=∠DAC+∠BCA，∠BCA=60°⇒∠DPC＞60°，

故DP不等于DE，故本选项错误；

⑤∵△ABC、△DCE为正三角形，

∴∠ACB=∠DCE=60°，AC=BC，DC=EC，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∴△ACD≌△BCE（SAS），

∴∠CAD=∠CBE，

∴∠AOB=∠CAD+∠CEB=∠CBE+∠CEB，

∵∠ACB=∠CBE+∠CEB=60°，

∴∠AOB=60°，故本选项正确．

综上所述，正确的结论是①②③⑤．

17．（1）作图见解析；（2）作图见解析； A1(-4，-6)、B1(-2，-2)、C1 (-1，-4) ；

（3）作图见解析；P（0，2）．

【分析】

（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系即可；

（2）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接即可；

（3）作出点B关于y轴的对称点B2，连接A、B2交y轴于点P，则P点即为所求．

【详解】

解：（1）如图所示；

（2）如图所示：A1、B1、C1的坐标是A1(-4，-6)、B1(-2，-2)、C1 (-1，-4)

（3）作点B1关于y轴的对称点B2（2，-2），连接C、B2交y轴于点P，则点P即为所求．

设直线CB2的解析式为y=kx+b（k≠0），

∵C（-1，4），B2（2，-2），

，

解得

∴直线CB2的解析式为：y=-2x+2，

∴当x=0时，y=2，

∴P（0，2）．

【点睛】

本题考查的是作图-轴对称变换，熟知轴对称的性质，熟知在直线上找一个点，使它到两个已知点距离之和最小的作图方法是解答此题的关键．

18．（1）有2组全等三角形，分别是：△ABD≌△ACE；△ABE≌△ACD；

（2）见解析.

【分析】

（1）根据等腰三角形的性质及全等三角形的判定进行解答即可，有两组；

（2）由AB=AC，利用等边对等角得到一对角相等，同理由AD=AE得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换可得出一对角相等，利用ASA得出△ABD与△AEC全等．

【详解】

解：（1）有2组全等三角形，分别是：△ABD≌△ACE；△ABE≌△ACD；

（2）选择证明△ABD≌△ACE，理由如下：

∵AB=AC，

∴∠B=∠C（等边对等角），

∵AD=AE，

∴∠ADE=∠AED（等边对等角），

又∠ADE=∠B+∠BAD，∠AED=∠C+∠CAE，

∴∠BAD=∠CAE（等量代换），

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（ASA）.

【点睛】

此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟悉相关性质是解题的关键．

19．见解析.

【分析】

根据题意画出图形，写出已知和求证，根据全等三角形的判定和性质进行证明.

【详解】

已知：如图，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，且PE=PF，

求证：点P在∠AOB的平分线上．

证明：在Rt△POE和Rt△POF中，

∴Rt△POE≌△RtPOF，

∴∠EOP=∠FOP，

∴OP平分∠AOB

∴点P在∠AOB的平分线上．

【点睛】

本题考查的是角平分线的判定的证明，知晓直角三角形全等的判定定理是解题的关键．这是文字证明题，解题有三个步骤：一是分清题设和结论，画出图形；二是结合图形写出已知、求证；三是写出证明过程.

20．（1）证明见解析；（2）BD⊥CE，理由见解析.

【分析】

（1）要证△BAD≌△CAE，现有AB=AC，AD=AE，需它们的夹角∠BAD=∠CAE，而由∠BAC=∠DAE=90°很易证得；

（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDC=90°，需证∠DBC+∠DCB =90°，可由直角三角形提供．

【详解】

（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，

∴∠BAC+∠CAD=∠EAD+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

在△BAD和△CAE中，

，

∴△BAD≌△CAE（SAS）；

（2）BD⊥CE，理由如下：

由（1）知，△BAD≌△CAE，

∵∠ABD+∠DBC=45°，

∴∠ACE+∠DBC=45°，

∴∠DBC+∠DCB=∠DBC+∠ACE+∠ACB=90°，

∴∠BDC=90°，即BD⊥CE．

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形中仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．

21．∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.

【解析】

设∠A=x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．

22．证明见解析.

【分析】

要证是的中点，根据题意可知，证明为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．

【详解】

证明：连接，

在等边，且是的中点，

，，

，

，

，

，

，

，为等腰三角形，

又，

是的中点．

【点睛】

本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．

23．（1）见解析（2）成立（3）△DEF为等边三角形

【分析】

（1）因为DE=DA+AE，故由AAS证△ADB≌△CEA，得出DA=EC，AE=BD，从而证得DE=BD+CE．

（2）成立，仍然通过证明△ADB≌△CEA，得出BD=AE，AD=CE，所以DE=DA+AE=EC+BD．

（3）由△ADB≌△CEA得BD=AE，∠DBA =∠CAE，由△ABF和△ACF均等边三角形，得∠ABF=∠CAF=600，FB=FA，所以∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，即∠DBF=∠FAE，所以△DBF≌△EAF，所以FD=FE，∠BFD=∠AFE，再根据∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600得到△DEF是等边三角形．

【详解】

解：（1）证明：∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，∴∠BDA＝∠CEA=900．

∵∠BAC＝900，∴∠BAD+∠CAE=900．

∵∠BAD+∠ABD=900，∴∠CAE=∠ABD．

又AB="AC" ，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．

∴DE="AE+AD=" BD+CE．

（2）成立．证明如下：

∵∠BDA =∠BAC=，∴∠DBA+∠BAD=∠BAD +∠CAE=1800—．∴∠DBA=∠CAE．

∵∠BDA=∠AEC=，AB=AC，∴△ADB≌△CEA（AAS）．∴AE=BD，AD=CE．

∴DE=AE+AD=BD+CE．

（3）△DEF为等边三角形．理由如下：

由（2）知，△ADB≌△CEA，BD=AE，∠DBA =∠CAE，

∵△ABF和△ACF均为等边三角形，∴∠ABF=∠CAF=600．

∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF．∴∠DBF=∠FAE．

∵BF=AF，∴△DBF≌△EAF（ASA）．∴DF=EF，∠BFD=∠AFE．

∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=600．

∴△DEF为等边三角形．