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2016年高考数学理试题分类汇编专题三 —— 立体几何

一、选择题

1、（2016年北京高考）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

A.word/media/image3_1.png B.word/media/image4_1.png C.word/media/image5_1.png D.word/media/image6_1.png

【答案】A

2、（2016年山东高考）有一个半球和四棱锥组成的几何体，其三

视图如右图所示，则该几何体的体积为

（A） （B） （C） （D）

【答案】C

3、（2016年全国I高考）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是

（A）17π （B）18π （C）20π （D）28π

【答案】A

4、（2016年全国I高考）平面过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A， //平面CB1D1，平面ABCD=m，平面ABB1 A1=n，则m，n所成角的正弦值为

（A） （B） （C） （D）

【答案】A

5、（2016年全国II高考）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为

（A）20π （B）24π （C）28π （D）32π

【答案】C

6、（2016年全国III高考）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为

（A）word/media/image23_1.png （B）word/media/image24_1.png （C）90 （D）81

【答案】B

7、（2016年全国III高考）在封闭的直三棱柱word/media/image25_1.png内有一个体积为V的球，若word/media/image26_1.png，word/media/image27_1.png，word/media/image28_1.png，word/media/image29_1.png，则V的最大值是

（A）4π （B）word/media/image30_1.png （C）6π （D）word/media/image31_1.png

【答案】B

二、填空题

1、（2016年上海高考）如图，在正四棱柱中，底面的边长为3，与底面所成角的大小为，则该正四棱柱的高等于____________

【答案】

2、（2016年四川高考）已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是__________．

【答案】

3、（2016年天津高考）已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示（单位：m），则该四棱锥的体积为_______m3.

【答案】2

4、（2016年全国II高考） word/media/image41_1.png是两个平面，word/media/image42_1.png是两条直线，有下列四个命题：

（1）如果word/media/image43_1.png，那么word/media/image44_1.png.[

（2）如果word/media/image45_1.png，那么word/media/image46_1.png.

（3）如果word/media/image47_1.png，那么word/media/image48_1.png.

（4）如果word/media/image49_1.png，那么word/media/image50_1.png与word/media/image51_1.png所成的角和word/media/image52_1.png与word/media/image53_1.png所成的角相等.

其中正确的命题有 ．.(填写所有正确命题的编号）

【答案】②③④

5、（2016年浙江高考）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的表面积是 cm2，体积是 cm3.

【答案】

6、（2016年浙江高考）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是 .

【答案】

三、解答题

1、（2016年北京高考） 如图，在四棱锥word/media/image59_1.png中，平面word/media/image60_1.png平面word/media/image61_1.png，word/media/image62_1.png，word/media/image63_1.png，word/media/image64_1.png，

word/media/image65_1.png，word/media/image66_1.png，word/media/image67_1.png.

（1）求证：word/media/image69_1.png平面word/media/image70_1.png；

（2）求直线word/media/image71_1.png与平面word/media/image72_1.png所成角的正弦值；

（3）在棱word/media/image73_1.png上是否存在点word/media/image74_1.png，使得word/media/image75_1.png平面word/media/image76_1.png？若存在，求word/media/image77_1.png的值；若不存在，说明理由.

【解】⑴∵面面

面面

∵，面

∴面

∵面

∴

word/media/image89_1.png又

∴面

⑵取中点为，连结，

∵

∴

∵

∴

以为原点，如图建系

易知，，，，

则，，，

设为面的法向量，令

，则与面夹角有

⑶假设存在点使得面

设，

由（2）知，，，，

有

∴

∵面，为的法向量

∴

即

∴

∴综上，存在点，即当时，点即为所求.

2、（2016年山东高考）在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆Oword/media/image129_1.png的直径，FB是圆台的一条母线.

（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；

（II）已知EF=FB=word/media/image130_1.pngAC=word/media/image131_1.png，AB=BC.求二面角word/media/image132_1.png的余弦值.

【解】(Ⅰ)连结，取的中点，连结，

因为，在上底面内，不在上底面内，

所以上底面，所以平面；

又因为，平面，

平面，

所以平面；

所以平面平面，

由平面，所以平面．

(Ⅱ) 连结，

以为原点，分别以为轴，

建立空间直角坐标系．

，

，

于是有，，，，

可得平面中的向量，,

于是得平面的一个法向量为，

又平面的一个法向量为，

设二面角为，

则．

二面角的余弦值为．

3、（2016年上海高考）将边长为1的正方形（及其内部）绕的旋转一周形成圆柱，如图，长为，长为，其中与在平面的同侧。

（1）求三棱锥的体积；

（2）求异面直线与所成的角的大小。

【解析】

试题分析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．

确定．计算后即得.

（2）设过点的母线与下底面交于点，根据，知或其补角为直线与所成的角．确定，．得出．

试题解析：（1）由题意可知，圆柱的高，底面半径．

由的长为，可知．

，

．

（2）设过点的母线与下底面交于点，则，

所以或其补角为直线与所成的角．

由长为，可知，

又，所以，

从而为等边三角形，得．

因为平面，所以．

在中，因为，，，所以，

从而直线与所成的角的大小为．

4、（2016年四川高考）如图，在四棱锥中，，，，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为.

（）在平面PAB内找一点M，使得直线平面PBE，

并说明理由；

（）若二面角的大小为，求直线PA与

平面PCE所成角的正弦值.

【解】（）延长，交直线于点，

∵为中点，

∴，

∵，

∴，

∵即，

∴四边形为平行四边形，，

∵，

∴，

∴，

∵面，

∴面，

∵，面，

∴面 故在面上可找到一点使得面.

（）过作交于点，连结，过作交于点，

∵，与所成角为，

∴，，

∵，

∴，

∵面，

∴，

∵且，

∴面，

∵面，

∴，

∵且，

∴面，

∴为所求与面所成的角，

∵面，即.

∴为二面角所成的平面角,

由题意可得，而,

∴,

∵,四边形是平行四边形，，

∴四边形是正方形，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴.

5、（2016年天津高考）如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

（I）求证：EG∥平面ADF；

（II）求二面角O-EF-C的正弦值；

（III）设H为线段AF上的点，且AH=word/media/image290_1.pngHF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

【解析】（Ⅰ）证明：找到word/media/image292_1.png中点word/media/image293_1.png，连结word/media/image294_1.png，

∵矩形word/media/image295_1.png,∴word/media/image296_1.png

∵word/media/image297_1.png、word/media/image298_1.png是中点，∴word/media/image299_1.png是word/media/image300_1.png的中位线

∴word/media/image301_1.png且word/media/image302_1.png

∵word/media/image303_1.png是正方形word/media/image304_1.png中心

∴word/media/image305_1.png

∴word/media/image306_1.png且word/media/image307_1.png

∴四边形word/media/image308_1.png是平行四边形

∴word/media/image309_1.png

∵word/media/image310_1.png面word/media/image311_1.png

∴word/media/image312_1.png面word/media/image313_1.png

（Ⅱ）word/media/image314_1.png正弦值

解：如图所示建立空间直角坐标系word/media/image315_1.png

word/media/image316_1.png

word/media/image317_1.png，word/media/image318_1.png，word/media/image319_1.png，word/media/image320_1.png

设面word/media/image321_1.png的法向量word/media/image322_1.png

word/media/image323_1.png

得：word/media/image324_1.png

∴word/media/image325_1.png

∵word/media/image326_1.png面word/media/image327_1.png，

∴面word/media/image328_1.png的法向量word/media/image329_1.png

word/media/image330_1.png

word/media/image331_1.png

（Ⅲ）∵word/media/image332_1.png

∴word/media/image333_1.png

设word/media/image334_1.png

∴word/media/image335_1.png

得：word/media/image336_1.png

word/media/image337_1.png

word/media/image338_1.png

6、（2016年全国I高考）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角DAFE与二面角CBEF都是．

（）证明：平面ABEF平面EFDC；

（）求二面角EBCA的余弦值．

【解析】

∵为正方形

∴

∵

∴

∵

∴面 面

∴平面平面

由知

∵

平面

平面

∴平面

平面

∵面面

∴,∴

∴四边形为等腰梯形

以为原点，如图建立坐标系，设

，，

设面法向量为.

，即

设面法向量为

.即

设二面角的大小为.

二面角的余弦值为

7、（2016年全国II高考）如图，菱形word/media/image389_1.png的对角线word/media/image390_1.png与word/media/image391_1.png交于点word/media/image392_1.png，word/media/image393_1.png，点word/media/image394_1.png分别在word/media/image395_1.png上，word/media/image396_1.png，word/media/image397_1.png交word/media/image398_1.png于点word/media/image399_1.png．将word/media/image400_1.png沿word/media/image401_1.png折到word/media/image402_1.png位置，word/media/image403_1.png．

（Ⅰ）证明：word/media/image404_1.png平面word/media/image389_1.png；

（Ⅱ）求二面角word/media/image405_1.png的正弦值．

【解析】⑴证明：∵，∴，

∴．

∵四边形为菱形，∴，

∴，∴，∴．

∵，∴；

又，，∴，

∴，

∴，

∴，

∴．

又∵，

∴面．

⑵建立如图坐标系．

，，，，

，，，

设面法向量，

由得，取，

∴．

同理可得面的法向量，

∴，

∴．

8、（2016年全国III高考）如图，四棱锥word/media/image445_1.png中，word/media/image446_1.png地面word/media/image447_1.png，word/media/image448_1.png，word/media/image449_1.png，word/media/image450_1.png，word/media/image451_1.png为线段word/media/image452_1.png上一点，word/media/image453_1.png，word/media/image454_1.png为word/media/image455_1.png的中点．

（I）证明word/media/image457_1.png平面word/media/image458_1.png；

（II）求直线word/media/image459_1.png与平面word/media/image460_1.png所成角的正弦值.

设word/media/image462_1.png为平面word/media/image463_1.png的法向量，则word/media/image464_1.png，即word/media/image465_1.png，可取word/media/image466_1.png，

于是word/media/image467_1.png.

9、（2016年浙江高考）如图,在三棱台中,平面平面

, ,BE=EF=FC=1,BC=2,AC=3.

()求证：BF⊥平面ACFD；

()求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

（II）方法一：

过点作，连结．

因为平面，所以，则平面，所以．

所以，是二面角的平面角．

在中，，，得．

在中，，，得．

所以，二面角的平面角的余弦值为．