11.4 热点专题——概率与统计中的热点问题

1．(2017·济南模拟)某社区在元宵节活动上，组织了“摸灯笼猜灯谜”的趣味游戏．已知在一个不透明的箱子内放有大小和形状相同的标号分别为1，2，3的小灯笼若干个，每个灯笼上都有一个谜语，其中标号为1的小灯笼1个，标号为2的小灯笼2个，标号为3的小灯笼n个．若参赛者从箱子中随机摸取1个小灯笼进行谜语破解，取到标号为3的小灯笼的概率为.

(1)求n的值；

(2)从箱子中不放回地摸取2个小灯笼，记第一次摸取的小灯笼的标号为a，第二次摸取的小灯笼的标号为b.记“a＋b≥4”为事件A，求事件A的概率．

【解析】 (1)由题意得，＝，∴n＝1.

(2)记标号为2的小灯笼分别为a1，a2，从箱子中不放回地摸取2个小灯笼的所有基本事件为(1，a1)，(1，a2)，(1，3)，(a1，1)，(a2，1)，(3，1)，(a1，a2)，(a1，3)，(a2，a1)，(3，a1)，(a2，3)，(3，a2)，共12个．

事件A包含的基本事件为(1，3)，(3，1)，(a1，a2)，(a2，a1)，(a1，3)，(3，a1)，(a2，3)，(3，a2)，共8个．

∴P(A)＝＝.

2．(2017·晋中模拟)某校学生参加了“铅球”和“立定跳远”两个科目的体能测试，每个科目的成绩分为A，B，C，D，E五个等级，该校某班学生两科目测试成绩的数据统计如图所示，其中“铅球”科目的成绩为E的学生有8人．

(1)求该班学生中“立定跳远”科目的成绩为A的人数；

(2)已知该班学生中恰有2人的两科成绩等级均为A，在至少有一科成绩等级为A的学生中，随机抽取2人进行访谈，求这2人的两科成绩等级均为A的概率．

【解析】 (1)因为“铅球”科目的成绩等级为E的学生有8人，所以该班有8÷0.2＝40人，所以该班学生中“立定跳远”科目的成绩等级为A的人数为40×(1－0.375－0.375－0.15－0.025)＝40×0.075＝3.

(2)由题意可知，至少有一科成绩等级为A的有4人，其中恰有2人的两科成绩等级均为A，另2人只有一个科目成绩等级为A.

设这4人为甲、乙、丙、丁，其中甲、乙是两科成绩等级都是A的同学，则在至少有一科成绩等级为A的学生中，随机抽取2人进行访谈，基本事件空间为Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}，一共有6个基本事件．

设“随机抽取2人进行访谈，这2人的两科成绩等级均为A”为事件M，所以事件M中包含的基本事件有1个，为(甲，乙)，则P(M)＝.

3．(2017·南宁模拟)某位同学进行寒假社会实践活动，为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究，他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温x(℃)与该奶茶店的这种饮料销量y(杯)，得到如下数据：

(1)若先从这5组数据中抽出2组，求抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率；

(2)请根据所给5组数据，求出y关于x的线性回归方程＝x＋；并根据线性回归方程预测当气象台预报1月16日的白天平均气温为7℃时奶茶店这种饮料的销量．

附：线性回归方程＝x＋中，

【解析】 (1)设“选取的2组数据恰好是相邻2天数据”为事件A，

∵所有基本事件(m，n)(其中m，n为1月份的日期数)有(11，12)，(11，13)，(11，14)，(11，15)，(12，13)，(12，14)，(12，15)，(13，14)，(13，15)，(14，15)，共10个．

事件A包括的基本事件有(11，12)，(12，13)，(13，14)，(14，15)，共4个．

∴抽出的2组数据恰好是相邻2天数据的概率P(A)＝＝.

∴由公式，求得＝2.1，＝－＝4，

∴y关于x的线性回归方程为＝2.1x＋4，

∵当x＝7时，＝2.1×7＋4＝18.7，

∴该奶茶店这种饮料的销量大约为19杯(或18杯)．

4．(2017·江西八校联考)“双节”期间，高速公路车辆较多，某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/h)分成六段：[60，65)，[65，70)，[70，75)，[75，80)，[80，85)，[85，90)后得到如图的频率分布直方图．

(1)求这40辆小型汽车车速的众数和中位数的估计值；

(2)若从车速在[60，70)内的车辆中任抽取2辆，求车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率．

【解析】 (1)众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5.

中位数的估计值x满足0.01×5＋0.02×5＋0.04×5＋0.06×(x－75)＝0.5，

解得x＝77.5，即中位数的估计值为77.5.

(2)从题图中可知，车速在[60，65)内的车辆数为m1＝0.01×5×40＝2，

车速在[65，70)内的车辆数为m2＝0.02×5×40＝4.

设车速在[60，65)内的车辆为a，b，车速在[65，70)内的车辆为c，d，e，f，

则所有基本事件有(a，b)，(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，(c，d)，(c，e)，(c，f)，(d，e)，(d，f)，(e，f)，共15个，

其中车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的事件有(a，c)，(a，d)，(a，e)，(a，f)，(b，c)，(b，d)，(b，e)，(b，f)，共8个．

所以车速在[65，70)内的车辆恰有一辆的概率为P＝.

5．(2017·长春模拟)某校甲、乙两个班级各有5名编号为1，2，3，4，5的学生进行投篮训练，每人投10次，投中的次数统计如下表：

(1)从统计数据看，甲、乙两个班哪个班成绩更稳定(用数字特征说明)；

(2)在本次训练中，从两班中分别任选1名同学，比较2人的投中次数，求甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率．

【解析】 (1)两个班数据的平均值都为7，

甲班的方差

s＝＝2，

乙班的方差

s＝

＝，

因为s<s，甲班的方差较小，所以甲班的成绩更稳定．

(2)甲班1到5号记作a，b，c，d，e，乙班1到5号记作1，2，3，4，5，从两班中分别任选1名同学，得到的基本样本空间为Ω＝{a1，a2，a3，a4，a5，b1，b2，b3，b4，b5，c1，c2，c3，c4，c5，d1，d2，d3，d4，d5，e1，e2，e3，e4，e5}，Ω由25个基本事件组成，

将“甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数”记作事件A，

则A＝{a1，b1，c1，d1，d2，d4，d5，e1，e4，e5}，A由10个基本事件组成，

所以甲班同学投中次数高于乙班同学投中次数的概率为P(A)＝＝.

6．(2017·洛阳统考)有2 000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费(消费金额不超过1 000元)，其中有女士1 100名，男士900名．该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2 000名网购者中抽取200名进行分析，如下表．(消费金额单位：元)

女士消费情况：

男士消费情况：

(1)计算x，y的值，在抽出的200名且消费金额在[800，1 000](单位：元)的网购者中随机选出2名发放网购红包，求选出的2名网购者都是男士的概率；

(2)若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人”，低于600元的网购者为“非网购达人”，根据以上统计数据填写下面2×2列联表，并回答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关？”

附：

K2＝，n＝a＋b＋c＋d

【解析】 (1)依题意，女士应抽取110名，男士应抽取90名，故x＝10，y＝15.

消费金额在[800，1 000](单位：元)的网购者共有15名，从中选出2名共有105种选法，若2名网购者都是男士，共有10种选法，所以选出的2名网购者都是男士的概率为＝.

(2)列联表如下：

K2＝≈4.714.

又4.714>3.841，故能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为‘网购达人’与性别有关”．