2017年全国高中数学联赛A卷

一试

一、填空题

1.设50bbd36e1fd2333108437a2ca378be62.png是定义在e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png上的函数，对任意实数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png有d31a2a438bec0a83da59479a2559ae39.png.又当fcc964c2b350b5bba82232319950300a.png时，be03e559fe6779b8b54450287b78869f.png，则d8e91f54351e6ef3d0ea0b53e45bcd8a.png的值为__________.

2.若实数f10bc3c94b77e1d6b9f98106daf335c1.png满足d3d49739af91268c71edeba1223a6300.png，则6028f35e1b6d04d4f1d356fc60c5991c.png的取值范围是__________.

3.在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，椭圆0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的方程为62752553746d418df2b7b99f35cc713d.png，800618943025315f869e4e1f09471012.png为0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的上焦点，7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png的右顶点，44c29edb103a2872f519ad0c9a0fdaaa.png是0d61f8370cad1d412f80b84d143e1257.png上位于第一象限内的动点，则四边形74bfdb016a2d88c3b66c9ed2a0387118.png的面积的最大值为__________.

4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是

5.正三棱锥f2267ffc9b3f68f642cde73351eeae52.png中，5985309ccee9b7f6ce883983d55aad5e.png，338b01490bcad9bbc9a7b8617cdf7fba.png，过b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png的平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png将其体积平分，则棱88dba0c4e2af76447df43d1e31331a3d.png与平面ab410a966ac148e9b78c65c6cdf301fd.png所成角的余弦值为__________.

6.在平面直角坐标系4fdf4e11d662a2fa39a87dcb39945bb6.png中，点集cdac7a1819ccf227a003db77e4c909b9.png.在a5f3c6a11b03839d46af9fb43c97c188.png中随机取出三个点，则这三点中存在两点之间距离为aa4e3cfb024c7ff30a8846913966dfb1.png的概率为__________.

7.在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，69691c7bdcc3ce6d5d8a1361f22d04ac.png是边f85b7b377112c272bc87f3e73f10508d.png的中点，8d9c307cb7f3c4a32822a51922d1ceaa.png是线段5089fa881630360a9b3361469c1a0c5d.png的中点.若cb9042a659779adcb4a5929644641b55.png，75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的面积为91a24814efa2661939c57367281c819c.png，则5c40d2d62d2eb13d75fedf5a2993abb7.png的最小值为__________.

8.设两个严格递增的正整数数列878db43915bb2827ad15845fbc3f5301.png满足：2ef8c70aa7187aea64f8a97ba8b52169.png，对任意正整数7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png，有35a03c359eceec812d05e21eb8c5a473.png，b16ec42a0bea7cfc2106efc08744d3ae.png，则427072a5e2d063dbbe9e8d00fd8bf955.png的所有可能值为__________.

二、解答题

9.设635bfa729486346af1d1011ab9b40366.png为实数，不等式d8b918d63db271c52da39bda030e1e26.png对所有76e7bbcfdfe9bc525687591264cbf75b.png成立.证明：009cfea0b32a493d4ff5450ea18cc598.png.

10.设f1b850cae96c67f362658f6786f507d8.png是非负实数，满足e98324f9b90bf96250f6ff0c7a9a1de5.png，求694577b63fffd4c86771ab1f8664f050.png的最小值和最大值.

11.设复数69748c0e35087dc0d3c54ab0a0d41cd6.png满足0014ebf8ec027937b782a1f7899d3848.png，e7d7aa550d66b86d51f6de2f0e7bbd11.png，且ac6fa53dca1a0f2ea1dcb912d0783904.png（其中6a64c54c1e94aa0cf5ec106d1c33325a.png表示复数fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png的实部）.

（1）求9d9fb06acaffb97f0b798b38fc18a7a6.png的最小值；

（2）求54b4b36426f1604c6d8fa4753fbafc5b.png的最小值.

2017年全国高中数学联赛A卷

二试

一.如图，在75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png中，43ba751498edce747fdf63faa5c4f925.png，dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.png为75b781a7c7441078ffd5053329c34092.png的内心，以7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为圆心，b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png为半径作圆7f1c8ddd7f5c756a4770f88aedb3ca0a.png，以dd7536794b63bf90eccfd37f9b147d7f.png为圆心，fa2452c388ed1c0da4d2fcf91ac4c8c6.png为半径作圆6fa99bc88bb349c0d83fbaedf75d13cc.png，过点f920dbe462755ea68304de619f8dff9a.png的圆25202deae0c032f8e5a5e060a4e48366.png与7f1c8ddd7f5c756a4770f88aedb3ca0a.png,6fa99bc88bb349c0d83fbaedf75d13cc.png分别交于点b76af6019c297461898fa12f2850ca87.png（不同于点9d5ed678fe57bcca610140957afab571.png）.设a12a3079e14ced46e69ba52b8a90b21a.png与ab98bb8e9dd1e9ce9979c553a2a92923.png交于点e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png.证明：543c18b9f22bb771854159383143212d.png

二.设数列02731f49cef7ec135770140b199cf7cb.png定义为ce7bccd95db37776721a69c77d633ac3.png，dd3c8d8270598ce657d9505e8b1afb54.png.求满足2fd945153e36d6f1034c7c3f81bd34c9.png的正整数4b43b0aee35624cd95b910189b3dc231.png的个数.

三.将a5ad8bdc9d63e8b2d2a137ff3643ec25.png方格纸中每个小方格染三种颜色之一，使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边”.试求分隔边条数的最小值.

四.设0779458e5cb9f831cdfa2b3b7e9553e2.png均是大于1的整数，9bcf514eefa7948f2ad8161fc666ccb1.png，634760e0ab41f9ea78d0a480aa84e183.png是7b8b965ad4bca0e41ab51de7b31363a1.png个不超过6f8f57715090da2632453988d9a1501b.png的互不相同的正整数，且634760e0ab41f9ea78d0a480aa84e183.png互素.证明：对任意实数9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png，均存在一个605fe18114218950e9b98e9e41f543de.png，使得7fe00b1be2e8809d3fcd06ffd6ea7f96.png，这里f36371954103810b81ebefb013df4ee1.png表示实数415290769594460e2e485922904f345d.png到与它最近的整数的距离.

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一试答案

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

2017年全国高中数学联赛A卷

二试答案

一.

二、

三.

四