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2015学年浙江省五校联考第二次考试

数学（理科）试题卷

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题：（每小题5分, 共40分）

1．命题“存在R， 0”的否定是． （ ▲ ）

A．不存在R, >0 B．存在R, 0

C．对任意的R, 0 D．对任意的R, >0

2．给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．

其中，为真命题的是 （ ▲ ）

A． ①和② B． ②和③ C． ③和④ D． ②和④

3．为得到函数，只需将函数 （ ▲ ）

A． 向左平移 B．向右平移 C．向左平移 D．向右平移

4．已知、、为直线上不同的三点，点直线，实数满足关系式

，有下列结论中正确的个数有 （ ▲ ）

①； ②；③的值有且只有一个； ④的值有两个；⑤ 点是线段的中点．

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

5．已知映射．设点，，点是线段上一动点，．当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为 （ ▲ ）

A． B．　 C． D．

6．如图，已知椭圆C1： +y2=1，双曲线C2：—=1（a>0，b>0），

若以C1的长轴为直径的圆与C2的一条渐近线交于A、B两点，且C1与该

渐近线的两交点将线段AB三等分，则C2的离心率为 （ ▲ ）

A． B．5 C． D．

7．半径为的球内部装有4个半径相同的小球，则小球半径的可能最大值为（ ▲ ）．

A． B． C． D．

8．某学生对一些对数进行运算，如下图表格所示：

现在发觉学生计算中恰好有两次地方出错，那么出错的数据是 （ ▲ ）

A． B． C． D．

非选择题部分（共110分）

二、填空题本大题共7小题, 每小题4分, 共28分．

9．设全集，集合，，

则= ▲ ， = ▲ ， = ▲ ．

10．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体的体积为__▲ ，

外接球的表面积为__▲ ．

11．若表示两数中的最大值，若，则的最小值为 ▲ ，若关于对称，则 ▲ ．

12．，若表示集合中元素的个数，则__▲ ，则__▲ ．

13．直角的三个顶点都在给定的抛物线上，且斜边和轴平行，

则斜边上的高的长度为 ▲ ．

14．圆的半径为，为圆周上一点，现将如图放置的边长为的正方形

（实线所示 ，正方形的顶点和点重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若

干次滚动，点第一次回到点的位置，则点走过的路径的长度为 ▲ ．

15．已知动点满足，则的最小值为 ▲ ．

三、解答题：（本大题共5小题, 共74分。解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分15分）已知的面积为，且．

（1）求；

（2）求求周长的最大值．

17．（本小题满分15分）在四棱锥中，底面为直角梯形，，侧面底面，，．

（1）若中点为．求证：；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

18．（本小题满分15分）函数，

（1）若，试讨论函数的单调性；

（2）若，试讨论的零点的个数；

19．（本小题满分15分）如图，在平面直角坐标系中，离心率为的椭圆的左顶点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于两点，直线分别与轴交于两点．若直线斜率为时，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）试问以为直径的圆是否经过定点（与直线的斜率无关）？请证明你的结论．

20．（本小题满分14分）已知数列（，）满足，其中，．

（1）当时，求关于的表达式，并求的取值范围；

（2）设集合．

①若，，求证：；

②是否存在实数，，使，，都属于？若存在，请求出实数，；若不存在，请说明理由．

2014学年浙江省五校联考第二次考试

数学（理科）答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题５分，共40分）

二、填空题（本大题共7小题，9-12题每题6分，每格3分，13-14题每题4分，共36分）

9． =， =， =．

10．；．11．；．12．；．13．．14．．15．．

三、解答题：（共5题，其中第20题14分，其余每题15分）

解答：（1）∵△的面积为，且，∴，

∴，∴为锐角，且，

∴，所以．

（2）

所以周长为

==

，所以，,所以

所以周长最大值为．

另解：由余弦定理可得：

又因为，所以

所以：当且仅当时取到等号．

17．证明（1）取的中点，连结，

，且，所以为平行四边形．

，且不在平面内，在平面内，

所以

（2）等体积法

令点到平面的距离为，

又

直线与平面所成角的正弦值．

18．解答：（1）

图像如下：

所以在和上为增函数，在上为减函数；

（2）的零点，除了零点以外的零点,即方程的根,作图和，如图可知：

当直线的斜率：当时有一根；当时有两根；

当时，有一根；当时，有一根；

当（当和相切时）没有实数根；

当（当和相切时）有一根；

当时有两根．

综上所述：

当时，函数有且仅有一个零点；

当或或或时，函数有两个零点；

当或时，有三个零点．

19． 解：（1）设，

∵直线斜率为时，，∴，∴

∴，∵，∴．

∴椭圆的标准方程为．

（2）以为直径的圆过定点．

设，则，且，即，

∵，∴直线方程为： ，∴，

直线方程为： ，∴，

以为直径的圆为

即，∵，∴，

令，，解得，∴过定点：．

20．解：（1）当时，，，．

因为，，或，所以．

（2）①由题意，，．

令，得．因为，，

所以令，则．

②不存在实数，，使，，同时属于．

假设存在实数，，使，，同时属于．

，∴，

从而．

因为，，同时属于，所以存在三个不同的整数（），

使得 从而 则．

因为与互质，且与为整数，

所以，但，矛盾．

所以不存在实数，，使，，都属于．

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