2020年北京高考数学试卷

1、选择题10小题，每小题4分，共40分．

1.已知集合，，则（ ）．

A. B. C. D.

2.在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（ ）．

A. B. C. D.

3.在的展开式中，的系数为（ ）．

A. B. 5 C. D. 10

4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）．

A. B. C. D.

5.已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）．

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

6.已知函数，则不等式的解集是（ ）．

A. B.

C. D.

7.设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（ ）．

A. 经过点 B. 经过点

C. 平行于直线 D. 垂直于直线

8.在等差数列中，，．记，则数列（ ）．

A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项

C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项

9.已知，则“存在使得”是“”的（ ）．

A 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（ ）．

A B.

C. D.

第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.

11.函数的定义域是____________．

12.已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．

13.已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．

14.若函数最大值为2，则常数的一个取值为________．

15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

三、解答题共6小题，共85分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.

16.如图，在正方体中，E为的中点．

（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求直线与平面所成角正弦值．

17.在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：

（Ⅰ）a的值：

（Ⅱ）和的面积．

条件①：； 条件②：．

注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．

18.某校为举办甲、乙两项不同活动，分别设计了相应的活动方案：方案一、方案二．为了解该校学生对活动方案是否支持，对学生进行简单随机抽样，获得数据如下表：

假设所有学生对活动方案是否支持相互独立．

（Ⅰ）分别估计该校男生支持方案一的概率、该校女生支持方案一的概率；

（Ⅱ）从该校全体男生中随机抽取2人，全体女生中随机抽取1人，估计这3人中恰有2人支持方案一的概率；

（Ⅲ）将该校学生支持方案的概率估计值记为，假设该校一年级有500名男生和300名女生，除一年级外其他年级学生支持方案二的概率估计值记为，试比较与的大小．（结论不要求证明）

19.已知函数．

（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；

（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．

20.已知椭圆过点，且．

（Ⅰ）求椭圆C的方程：

（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．

21.已知是无穷数列．给出两个性质：

①对于中任意两项，中都存在一项，使；

②对于中任意项，在中都存在两项．使得．

(Ⅰ)若，判断数列是否满足性质①，说明理由；

(Ⅱ)若，判断数列是否同时满足性质①和性质②，说明理由；

(Ⅲ)若是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：为等比数列.

2020年北京高考数学试卷答案

1.D.2.B.3.C.4.D.

5.设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A.

6.因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

故选：D.

7.如图所示：．

因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.

故选：B.

8.由题意可知，等差数列的公差，

则其通项公式为：，

注意到，

且由可知，

由可知数列不存在最小项，

由于，

故数列中的正项只有有限项：，.

故数列中存在最大项，且最大项为.

故选：B.

9.(1)当存在使得时，

若为偶数，则；

若为奇数，则；

(2)当时，或，，即或，

亦即存在使得．

所以，“存在使得”是“”的充要条件.

故选：C.

10.单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，

所以，单位圆内接正边形的周长为，

单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，

，

则.

故选：A.

11.由题意得，故答案：

12.在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，

双曲线的渐近线方程为，即，

所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.

故答案为：；.

13.以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，

则点、、、，

，

则点，，，

因此，，.

故答案为：；.

14.因为，

所以，解得，故可取.

故答案为：（均可）.

15.表示区间端点连线斜率的负数，

在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；

甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；

在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；

在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；

故答案为：①②③

16.（Ⅰ）如下图所示：

在正方体中，且，且，

且，所以，四边形为平行四边形，则，

平面，平面，平面；

（Ⅱ）以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，

设正方体的棱长为，则、、、，，，

设平面的法向量为，由，得，

令，则，，则.

.

因此，直线与平面所成角的正弦值为.

17.选择条件①（Ⅰ）

（Ⅱ）

由正弦定理得：

选择条件②（Ⅰ）

由正弦定理得：

（Ⅱ）

18.（Ⅰ）该校男生支持方案一的概率为，

该校女生支持方案一的概率为；

（Ⅱ）3人中恰有2人支持方案一分两种情况，（1）仅有两个男生支持方案一，（2）仅有一个男生支持方案一，一个女生支持方案一，

所以3人中恰有2人支持方案一概率为：;

（Ⅲ）

19.（Ⅰ）因为，所以，

设切点为，则，即，所以切点为，

由点斜式可得切线方程为：，即.

（Ⅱ）显然，

因为在点处的切线方程为：，

令，得，令，得，

所以，

不妨设时，结果一样，

则，

所以

，

由0' altImg='88150e780a92f3af2203b85a742ed007.png' w='79' h='21' class='_4'>，得，由，得，

所以在上递减，在上递增，

所以时，取得极小值，

也是最小值为.

20.(1)设椭圆方程为：，由题意可得：

，解得：，

故椭圆方程为：.

(2)设，，直线的方程为：，

与椭圆方程联立可得：，

即：，

则：.

直线MA的方程为：，

令可得：，

同理可得：.

很明显，且：，注意到：

，

而：

，

故.

从而.

21.(Ⅰ)不具有性质①；

(Ⅱ)具有性质①；

具有性质②；

(Ⅲ)解法一

首先，证明数列中的项数同号，不妨设恒为正数：

显然，假设数列中存在负项，设，

第一种情况：若，即，

由①可知：存在，满足，存在，满足，

由可知，从而，与数列的单调性矛盾，假设不成立.

第二种情况：若，由①知存在实数，满足，由的定义可知：，

另一方面，，由数列的单调性可知：，

这与的定义矛盾，假设不成立.

同理可证得数列中的项数恒为负数.

综上可得，数列中的项数同号.

其次，证明：

利用性质②：取，此时，

由数列的单调性可知，

而，故，

此时必有，即，

最后，用数学归纳法证明数列为等比数列：

假设数列的前项成等比数列，不妨设，

其中，（的情况类似）

由①可得：存在整数，满足，且 （*）

由②得：存在，满足：，由数列的单调性可知：，

由可得： （**）

由（**）和（*）式可得：，

结合数列的单调性有：，

注意到均为整数，故，

代入（**）式，从而.

总上可得，数列的通项公式为：.

即数列为等比数列.

解法二：

假设数列中的项数均为正数：

首先利用性质②：取，此时，

由数列的单调性可知，

而，故，

此时必有，即，

即成等比数列，不妨设，

然后利用性质①：取，则，

即数列中必然存在一项的值为，下面我们来证明，

否则，由数列的单调性可知，

在性质②中，取，则，从而，

与前面类似的可知则存在，满足，

若，则：，与假设矛盾；

若，则：，与假设矛盾；

若，则：，与数列的单调性矛盾；

即不存在满足题意的正整数，可见不成立，从而，

然后利用性质①：取，则数列中存在一项，

下面我们用反证法来证明，

否则，由数列的单调性可知，

在性质②中，取，则，从而，

与前面类似的可知则存在，满足，

即由②可知：，

若，则，与假设矛盾；

若，则，与假设矛盾；

若，由于为正整数，故，则，与矛盾；

综上可知，假设不成立，则.

同理可得：，从而数列为等比数列，

同理，当数列中的项数均为负数时亦可证得数列为等比数列.

由推理过程易知数列中的项要么恒正要么恒负，不会同时出现正数和负数.

从而题中的结论得证，数列为等比数列.