2016-2017学年安徽省“江淮十校”高三（上）

第一次联考数学试卷（理科）

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合A={1，2，3，4}，B={x|y=log2（3﹣x）}，则A∩B=（　　）

A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{4}

2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（　　）

A． B． C． D．不确定

3．将函数y=sin2x的图象先向左平行移动个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到的函数解析式是（　　）

A．y=sin（2x﹣）+1 B．y=sin（2x+）+1

C．y=sin（2x+）+1 D．y=sin（2x﹣）+1

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C．2π D．

5．执行右边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

6．若变量x、y满足约束条件，则z=的最小值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

7．已知{an}为等差数列，a1+a2+a3=156，a2+a3+a4=147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值的n是（　　）

A．19 B．20 C．21 D．22

8．设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：

①如果α∥β，m⊂α，那么m∥β； ②如果m⊥α，β⊥α，那么m∥β；

③如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β； ④如果m∥β，m⊂α，α∩β=n，那么m∥n

其中正确的命题是（　　）

A．①② B．①③ C．①④ D．③④

9．已知函数f（x）=是R上的增函数，则实数a的取值范围是（　　）

A．﹣1＜a＜1 B．﹣1＜a≤1 C． D．

10．设a＞b＞0，a+b=1，且x=（）b，y=logab，z=loga，则x、y、z的大小关系是（　　）

A．y＜z＜x B．z＜y＜x C．x＜y＜z D．y＜x＜z

11．已知A、B是球O的球面上两点，且∠AOB=120°，C为球面上的动点，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为，则球O的表面积为（　　）

A．4π B． C．16π D．32π

12．设函数f（x）、g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，且f（x）+g（x）=2x，若对x∈[1，2]，不等式af（x）+g（2x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．[﹣1，+∞） B． C． D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．经过圆x2+2x+y2=0的圆心C，且与直线x+y=0垂直的直线方程是　　．

14．已知，则sin2x=　　．

15．设函数f（x）=sin（wx+φ），其中|φ|＜．若f（﹣）≤f（x）≤f（）对任意x∈R恒成立，则正数w的最小值为　　，此时，φ=　　．

16．已知，满足||=||=•=2，且（﹣）•（﹣）=0，则|2﹣|的最小值为　　．

三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．我国是世界上严重缺水的国家．某市政府为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5），[0.5，1），…[4，4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．

（1）求直方图中a的值；

（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3.5吨的人数，并说明理由；

（3）若在该选取的100人的样本中，从月均用水量不低于3.5吨的居民中随机选取3人，求至少选到1名月均用水量不低于4吨的居民的概率．

18．如图，在△ABC中，∠B=，AB=8，点D在边BC上，且CD=2，cos∠ADC=．

（1）求sin∠BAD；

（2）求BD，AC的长．

19．如图所示，凸五面体ABCED中，DA⊥平面ABC，EC⊥平面ABC，AC=AD=AB=1，BC=，F为BE的中点．

（1）若CE=2，求证：

①DF∥平面ABC；

②平面BDE⊥平面BCE；

（2）若二面角E﹣AB﹣C为45°，求直线AE与平面BCE所成角．

20．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，2Sn=（n+1）an，n∈N*．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）令bn=，数列{bn}的前n项和为Tn，试比较Tn与的大小．

21．如图，已知直线l：y=x+4，圆O：x2+y2=3，直线m∥l．

（1）若直线m与圆O相交，求直线m纵截距b的取值范围；

（2）设直线m与圆O相交于C、D两点，且A、B为直线l上两点，如图所示，若四边形ABCD是一个内角为60°的菱形，求直线m纵截距b的值．

22．已知a＞0，b∈R，函数f（x）=4ax2﹣2bx﹣a+b的定义域为[0，1]．

（Ⅰ）当a=1时，函数f（x）在定义域内有两个不同的零点，求b的取值范围；

（Ⅱ）记f（x）的最大值为M，证明：f（x）+M＞0．

2016-2017学年安徽省“江淮十校”高三（上）第一次联考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．若集合A={1，2，3，4}，B={x|y=log2（3﹣x）}，则A∩B=（　　）

A．{1，2} B．{1，2，3} C．{1，2，3，4} D．{4}

【考点】交集及其运算．

【分析】根据对数函数的定义求出集合B中元素的范围，再由交集的定义求出A∩B即可．

【解答】解：∵A={1，2，3，4}，B={x|y=log2（3﹣x）}={x|x＜3}，

则A∩B={1，2}，故选：A．

2．取一根长度为3m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得两段的长都不小于1m的概率是（　　）

A． B． C． D．不确定

【考点】几何概型；任意角的三角函数的定义．

【分析】根据题意确定为几何概型中的长度类型，将长度为3m的绳子分成相等的三段，在中间一段任意位置剪断符合要求，从而找出中间1m处的两个界点，再求出其比值．

【解答】解：记“两段的长都不小于1m”为事件A，

则只能在中间1m的绳子上剪断，剪得两段的长都不小于1m，

所以事件A发生的概率．故选B

3．将函数y=sin2x的图象先向左平行移动个单位长度，再向上平行移动1个单位长度，得到的函数解析式是（　　）

A．y=sin（2x﹣）+1 B．y=sin（2x+）+1

C．y=sin（2x+）+1 D．y=sin（2x﹣）+1

【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．

【分析】第一次变换可得可得函数y=sin2（x+）的图象，第二次变换可得函数y=sin2（x+）+1的图象，从而得出结论．

【解答】解：将函数y=sin2x的图象先向左平行移动个单位长度，可得函数y=sin2（x+）的图象，

再向上平行移动1个单位长度，可得函数y=sin2（x+）+1=sin（2x+）+1 的图象，故选B．

4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C．2π D．

【考点】由三视图求面积、体积．

【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个上部为半圆锥、下部为圆柱的几何体，故可以分部分求出半圆锥与圆柱的体积再相加求出此简单组合体的体积．

【解答】解：所求几何体为一个圆柱体和半圆锥体构成．

其中半圆锥的高为2．其体积为=，

圆柱的体积为π•12•1=π

故此简单组合体的体积V=π+=．故选：A．

5．执行右边的程序框图，若p=0.8，则输出的n=（　　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【考点】循环结构．

【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．

【解答】解：根据流程图所示的顺序，

该程序的作用是判断S=＞0.8时，n+1的值．

当n=2时， 当n=3时，，

此时n+1=4．则输出的n=4故选B．

6．若变量x、y满足约束条件，则z=的最小值为（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【考点】简单线性规划．

【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用目标函数的几何意义：平面区域内的一点与原点连线的斜率求最小值

【解答】解：作出的可行域如图所示的阴影部分，

由于z==1+2的几何意义是平面区域内的一点与原点连线的斜率的2倍加1，结合图形可知，直线OA的斜率最小，

由可得A（2，1），此时z===2．故选：C．

7．已知{an}为等差数列，a1+a2+a3=156，a2+a3+a4=147，{an}的前n项和为Sn，则使得Sn达到最大值的n是（　　）

A．19 B．20 C．21 D．22

【考点】等差数列的前n项和．

【分析】写出前n项和的函数解析式，再求此式的最值是最直观的思路，但注意n取正整数这一条件．

【解答】解：设{an}的公差为d，由题意得：

a1+a2+a3=a1+a1+d+a1+2d=156，即a1+d=52，①

a2+a3+a4=a1+d+a1+2d+a1+3d=147，即a1+2d=49，②

由①②联立得a1=55，d=﹣3，

∴Sn=55n+×（﹣3）=﹣n2+n=﹣（n﹣）2+．

∴观察选项，当n=19时，使得Sn达到最大值．

故选：A．

8．设m、n是两条不同的直线α、β是两个不同的平面，有下列四个命题：