第2节　参数方程

最新考纲　1.了解参数方程，了解参数的意义；2.能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆的参数方程.

知 识 梳 理

1.曲线的参数方程

一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数.

2.参数方程与普通方程的互化

通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程.在参数方程与普通方程的互化中，必须使用x，y的取值范围保持一致.

3.常见曲线的参数方程和普通方程

温馨提醒　直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为：|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离.

诊 断 自 测

1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)

(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数.(　　)

(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段的数量.(　　)

(3)方程(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆.(　　)

(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　)

答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×

2.(选修4－4P26习题T4改编)在平面直角坐标系中，曲线C： (t为参数)的普通方程为________.

解析　消去t，得x－y＝1，即x－y－1＝0.

答案　x－y－1＝0

3.在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C1的极坐标方程为ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为________.

解析　由ρ(cos θ＋sin θ)＝－2，得x＋y＝－2.①

又(t为参数)消去t，得y2＝8x.②

联立①，②得即交点坐标为(2，－4).

答案　(2，－4)

4.直线y＝b(x－4)与圆(θ为参数)相切，则切线的倾斜角为________.

解析　圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，圆心A(2，0)，半径r＝.

∵直线y＝b(x－4)与圆相切，

∴＝，则b2＝3，b＝±.

因此tan θ＝±，切线的倾斜角为或π.

答案　或

5.(2017·江苏卷)在平面坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，曲线C的参数方程为(s为参数).设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值.

解　由(t为参数)消去t.

得l的普通方程为x－2y＋8＝0，

因为点P在曲线C上，设点P(2s2，2s).

则点P到直线l的距离d＝＝，

∴当s＝时，d有最小值＝.

考点一　参数方程与普通方程的互化

【例1】 已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数).

(1)求直线l和圆C的普通方程；

(2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.

解　(1)直线l的普通方程为2x－y－2a＝0，

圆C的普通方程为x2＋y2＝16.

(2)因为直线l与圆C有公共点，

故圆C的圆心到直线l的距离d＝≤4，

解得－2≤a≤2.即实数a的取值范围是[－2，2].

规律方法　1.将参数方程化为普通方程，消参数常用代入法、加减消元法、三角恒等变换消去参数.

2.把参数方程化为普通方程时，要注意哪一个量是参数，并且要注意参数的取值对普通方程中x及y的取值范围的影响，一定要保持同解变形.

【训练1】 (2016·江苏卷)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为(t为参数)，椭圆C的参数方程为(θ为参数).设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.

解　椭圆C的普通方程为x2＋＝1.

将直线l的参数方程(t为参数)代入x2＋＝1，

得＋＝1，即7t2＋16t＝0，解之得t1＝0，t2＝－.所以|AB|＝|t1－t2|＝.所以线段AB的长为.

考点二　参数方程及应用

【例2－1】 (2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).

(1)若a＝－1，求C与l的交点坐标；

(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.

解　(1)a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.

曲线C的标准方程是＋y2＝1，

联立方程解得或

则C与l交点坐标是(3，0)和.

(2)直线l的普通方程是x＋4y－4－a＝0.

设曲线C上点P(3cos θ，sin θ).

则P到l距离d＝＝，

其中tan φ＝.

又点C到直线l距离的最大值为.

∴|5sin(θ＋φ)－4－a|的最大值为17.

若a≥0，则－5－4－a＝－17，∴a＝8.

若a<0，则5－4－a＝17，∴a＝－16.

综上，实数a的值为a＝－16或a＝8.

【例2－2】 (2018·郴州模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)写出直线l的普通方程以及曲线C的极坐标方程；

(2)若直线l与曲线C的两个交点分别为M，N，直线l与x轴的交点为P，求|PM|·|PN|的值.

解　(1)直线l的参数方程为(t为参数)，

消去参数t，得x＋y－1＝0.

曲线C的参数方程为(θ为参数)，

利用平方关系，得x2＋(y－2)2＝4，则x2＋y2－4y＝0.

令ρ2＝x2＋y2，y＝ρsin θ，代入得C的极坐标方程为ρ＝4sin θ.

(2)在直线x＋y－1＝0中，令y＝0，得点P(1，0).

把直线l的参数方程代入圆C的方程得t2－3t＋1＝0，

∴t1＋t2＝3，t1t2＝1.

由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t1·t2|＝1.

规律方法　1.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.

2.过定点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线参数方程的标准形式为(t为参数)，t的几何意义是的数量，即|t|表示P0到P的距离，t有正负之分.对于形如(t为参数)，当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题.

【训练2】 (2018·衡水中学质检)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数).

(1)写出直线l与曲线C的普通方程；

(2)设曲线C经过伸缩变换得到曲线C′，过点F(，0)作倾斜角为60°的直线交曲线C′于A，B两点，求|FA|·|FB|.

解　(1)直线l的普通方程2x－y＋2＝0.

曲线C的普通方程为x2＋y2＝4.

(2)由得

代入曲线C，得x′2＋4y′2＝4，即＋y′2＝1.

则曲线C′的方程为＋y2＝1表示椭圆.

由题设，直线AB的参数为(t为参数).

将直线AB的参数方程代入曲线C′：＋y2＝1.

得t2＋t－1＝0，则t1·t2＝－，

∴|FA|·|FB|＝|t1||t2|＝|t1·t2|＝.

考点三　参数方程与极坐标方程的综合应用

【例3－1】 (2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为(t为参数)，直线l2的参数方程为(m为参数).设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.

(1)写出C的普通方程；

(2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：ρ(cos θ＋sin θ)－＝0，M为与C的交点，求M的极径.

解　(1)由l1： (t为参数)消去t，

化为l1的普通方程y＝k(x－2)，①

同理得直线l2的普通方程为x＋2＝ky，②

联立①，②消去k，得x2－y2＝4(y≠0).

所以C的普通方程为x2－y2＝4(y≠0).

(2)将直线l3化为普通方程为x＋y＝，

联立得

∴ρ2＝x2＋y2＝＋＝5，∴与C的交点M的极径为.

【例3－2】 (2018·河北“五个一”名校联盟二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcos＝.l与C交于A，B两点.

(1)求曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；

(2)设点P(0，－2)，求|PA|＋|PB|的值.

解　(1)由曲线C： (α为参数)消去α，

得普通方程＋y2＝1.

因为直线l的极坐标方程为ρcos＝，即ρcos θ－ρsin θ＝2，

所以直线l的直角坐标方程为x－y－2＝0.

(2)点P(0，－2)在l上，则l的参数方程为

(t为参数)，

代入＋y2＝1整理得3t2－10t＋15＝0，

由题意可得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1＋t2|＝.

规律方法　1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.

2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用ρ和θ的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.

【训练3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.

(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；

(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.

解　(1)曲线C1的普通方程为＋y2＝1.

又曲线C2：ρsin＝2.所以ρsin θ＋ρcos θ＝4.

因此曲线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.

(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α).因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值.

d(α)＝＝，

当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.

基础巩固题组

(建议用时：50分钟)

1.平面直角坐标系xOy中，曲线C：(x－1)2＋y2＝1.直线l经过点P(m，0)，且倾斜角为.

(1)求圆C和直线l的参数方程；

(2)若直线l与曲线C相交于A，B两点，且|PA|·|PB|＝1，求实数m的值.

解　(1)由曲线C：(x－1)2＋y2＝1.

得参数方程为(θ为参数).

直线l的参数方程为(t为参数).

(2)设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，

将直线l的参数方程代入x2＋y2＝2x中，

得t2＋(m－)t＋m2－2m＝0，所以t1t2＝m2－2m，

由题意得|m2－2m|＝1，得m＝1，m＝1＋或m＝1－.

2.(2018·新乡模拟)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ，曲线M的直角坐标方程为x－2y＋2＝0(x>0).

(1)以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；

(2)设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和.

解　(1)由得

故曲线M的参数方程为.

(2)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ，∴x2＋y2＝4x.

将代入x2＋y2＝4x整理得k2－4k＋3＝0，

∴k1＋k2＝4.

故直线OA与直线OB的斜率之和为4.

3.已知曲线C：＋＝1，直线l： (t为参数).

(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.

解　(1)曲线C的参数方程为(θ为参数).

直线l的普通方程为2x＋y－6＝0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ，3sin θ)到l的距离为

d＝|4cos θ＋3sin θ－6|，

则|PA|＝＝|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝.

当sin(θ＋α)＝－1时，|PA|取得最大值，最大值为.

当sin(θ＋α)＝1时，|PA|取得最小值，最小值为.

4.(2018·黄山二模)已知曲线C的极坐标方程为ρ＝，过点P(1，0)的直线l交曲线C于A，B两点.

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程；

(2)求|PA|·|PB|的取值范围.

解　(1)由ρ＝得ρ2(1＋sin2θ)＝2.

故曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1.

(2)由题意知，直线l的参数方程为(t为参数).

将代入＋y2＝1.

化简得(cos2α＋2sin2α)t2＋2tcos α－1＝0.

设A，B对应的参数分别为t1，t2，

则t1t2＝.

则|PA|·|PB|＝|t1t2|＝＝.

由于≤≤1，

∴|PA|·|PB|的取值范围为.

5.(2016·全国Ⅱ卷)在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.

(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；

(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率.

解　(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.

(2)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R).

设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0.

于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.

|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝.

由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.

所以l的斜率为或－.

能力提升题组

(建议用时：30分钟)

6.(2018·湖南长郡中学联考)已知曲线C1： (t为参数)，C2： (θ为参数).

(1)化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

(2)若C1上的点P对应的参数为t＝，Q为C2上的动点，求PQ的中点M到直线C3： (t为参数)距离的最小值.

解　(1)由C1消去参数t，得曲线C1的普通方程为(x＋4)2＋(y－3)2＝1.

同理曲线C2的普通方程为＋＝1.

C1表示圆心是(－4，3)，半径是1的圆，C2表示中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

(2)当t＝时，P(－4，4)，又Q(8cos θ，3sin θ)，

故M，

又C3的普通方程为x－2y－7＝0，

则M到直线C3的距离d＝|4cos θ－3sin θ－13|＝|3sin θ－4cos θ＋13|＝|5(sin θ－φ)＋13|

，所以d的最小值为.

7.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋＝0，直线l的参数方程为(t为参数).

(1)求曲线C的普通方程；

(2)若直线l与曲线C交于A，B两点，点P的坐标为(3，3)，求|PA|＋|PB|的值.

解　(1)曲线C的极坐标方程为ρ－2cos θ－6sin θ＋＝0，

可得ρ2－2ρcos θ－6ρsin θ＋1＝0，

可得x2＋y2－2x－6y＋1＝0，曲线C的普通方程：x2＋y2－2x－6y＋1＝0.

(2)由于直线l的参数方程为(t为参数).

把它代入圆的方程整理得t2＋2t－5＝0，

∴t1＋t2＝－2，t1t2＝－5，

则|PA|＝|t1|，|PB|＝|t2|，∴|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝＝2.

∴|PA|＋|PB|的值为2.

8.(2018·哈尔滨模拟)已知曲线C的参数方程为(θ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin＝4.

(1)写出曲线C的极坐标方程和直线l的普通方程；

(2)若射线θ＝与曲线C交于O，A两点，与直线l交于B点，射线θ＝与曲线C交于O，P两点，求△PAB的面积.

解　(1)由(θ为参数)，消去θ.

普通方程为(x－2)2＋y2＝4.

从而曲线C的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ＝0，即ρ＝4cos θ，

因为直线l的极坐标方程为ρsin＝4，即ρsin θ＋ρcos θ＝4，

∴直线l的直角坐标方程为x＋y－8＝0.

(2)依题意，A，B两点的极坐标分别为，，

联立射线θ＝与曲线C的极坐标方程得P点极坐标为，

∴|AB|＝2，

∴S△PAB＝×2×2sin＝2.