小学数学空间与图形复习资料（二）

A、 图形的认识

(一)线与角

一、线

1、直线：直线没有端点；长度无限，无法比较长短；过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。

2、射线：射线只有一个端点；长度无限，无法比较长短。

3、线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中线段最短。

4、平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线间的垂线段长度都相等。

5、垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，相交的点叫做垂足。

点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度叫做这点到直线的距离。

二、角

1、角的定义：从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

2、角的特点：角的大小与角两边的长短无关，与角两边叉开的大小有关。

3、角的分类：

锐角：小于900的角叫做锐角；直角：等于900的角叫做直角；钝角：大于900而小于1800的角叫做钝角。平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角，平角1800。周角：角的一边旋转一周，与另一边重合，周角是3600 。注意：平角不能理解为一条直线，周角不能理解为一条射线。

4、角的度量：量角器中心点与顶点重合，角的一边与量角器的零刻度线重合。即点与点重合，边与边重合的量角方法。看量角器的度数，就需要看刻度线在哪边了。

（二）平面图形

一、长方形 特征：对边相等，4个角都是直角的四边形；有2条对称轴。

二、正方形 特征：4条边都相等，4个角都是直角的四边形；有4条对称轴。

三、三角形

1、特征：由三条线段围成的图形；三角形两边之和大于第三条边；三角形内角和是180度；三角形具有稳定性；三角形有三条高。

2、分类：

（1）按角分 锐角三角形：三个角都是锐角。 直角三角形：有一个角是直角；等腰直角三角形的两个锐角都为45度，它有1条对称轴。 钝角三角形：有一个角是钝角。

（2）按边分 任意三角形：三条边长度不相等。 等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有1条对称轴。 等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有3条对称轴。

四、平行四边形 特征：两组对边分别平行，相对的边平行且相等；

五、梯形 特征：只有一组对边平行的四边形；等腰梯形有1条对称轴。

六、圆

1、圆是由曲线围成的封闭图形。圆上每一点到圆心的距离都相等。

连接圆心和圆上每一点的线段就叫半径。两点在圆上且通过圆心的线段叫直径。

圆心决定圆的位置，半径决定圆的大小。

圆有无数条半径，有无数条直径。同一个圆里所有的半径都相等，所有的直径都相等。

同一个圆里，半径是直径的93b05c90d14a117ba52da1d743a43ab1.png，直径是半径的2倍。

圆是一个轴对称图形，它有无数条对称轴，每一条直径都是它的对称轴。

2、圆的画法：把圆规的两脚分开，定好两脚间的距离（即半径）；把针尖固定在一点（即圆心）上；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。

（三）立体图形

一、长方体的特征

6个面都是长方形（有可能有两个相对的面是正方形），相对的两个面的面积相等；12条棱，相对的4条棱长度相等；有8个顶点。

两个面相交的边叫做棱；3条棱相交的点叫做顶点；相交于一个顶点的3条棱的长度分别叫做长、宽、高。

二、正方体的特征

6个面都是正方形，6个面的面积都相等；12条棱的棱长都相等；有8个顶点。

正方体可以看作是特殊的长方体。

三、圆柱的特征

圆柱的上下两个面是大小相同的圆，叫做底面；圆柱有一个曲面叫做侧面；两个底面之间的距离叫做高，圆柱的高有无数条。

圆柱的侧面展开图是一个长方形或正方形，长方形的长相当于圆柱的底面周长，宽相当于圆柱的高；如果圆柱的侧面展开图是一个正方形，那么它的底面周长和高相等。

四、圆锥体的特征

圆锥的底面是个圆，圆锥的侧面是个曲面；从圆锥的顶点到圆心的距离是圆锥的高。圆锥只有一条高。

测量圆锥的高：先把圆锥的底面放平，用一块平板水平地放在圆锥的顶点上面，竖直地量出平板和底面之间的距离。

把圆锥的侧面展开得到一个扇形。

B：图形与测量

一、周长： 围成平面图形的线段或曲线的总长度叫做图形的周长。

长方形周长C=2（a+b） 正方形周长C=4a

圆的周长C=πd=2πr 半圆的周长=πr+2r=(π+2)r

长方体的棱长和=4(a+b+c) 正方体的棱长和=12a

二、面积：物体表面或围成的平面图形的大小叫做图形的面积。

长方形的面积S=ab 正方形的面积S=a2 平形四边形的面积S=ah

三角形的面积S=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.pngah 梯形的面积S=df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png(a+b)h

长方体的表面积S=2(ab+ah+bh) 正方体的表面积S=6 a2

圆的面积S=πr2 环形的面积S=πR2-πr2

圆柱的侧面积S=ch 圆柱的表面积S=侧面积+2底面积=ch+2πr2

三、体积和容积：物体所占空间的大小叫体积；容器所能容纳物体的体积叫容积。

相同点：计算方法相同。

不同点：求物体的体积是从外面测量长、宽、高，求容积是从容器的里面测量长、宽、高。一般地容器的体积大于它的容积。

长方体的体积V=abh 正方体的体积V=aaa=a3

长方体（正方体）的体积=底面积×高 V=sh

圆柱的体积V=sh 圆锥的体积V=7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.pngsh

四、平面图形的面积公式的推导过程。

长方形：用数方格的方法。正方形：把正方形看作长和宽相等的长方形。

平行四边形：通过割补、平移转化成长方形。把平行四边形沿高剪开，拼成一个长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高，因为长方形的面积=长×宽，所以平行四边形的面积=底×高。等底等高的两个平行四边形面积相等，但面积相等的两个平行四边形不一定是等底等高的。

梯形：把两个完全相同的梯形，通过旋转、平移转化成平行四边形。梯形的面积是拼成的平行四边形面积的一半。

三角形：把两个完全相同的三角形，通过旋转、平移转化成与它等底等高的平行四边形 。三角形的面积等于与等底等高的平行四边形面积的一半。两个完全一样的三角形才能一定拼成一个平行四边形；两个面积相等的三角形或等底等高的三角形，不一定能拼成一个平行四边形。等底等高的两个三角形面积相等，但面积相等的两个三角形不一定是等底等高的。

圆：把一个圆平均分成若干份后，可以拼成一个近似的长方形。长方形的长相当于圆周长的一半，宽相当于圆的半径。把圆切拼成一个近似长方形，面积不变，但周长增加了两条半径。

五、圆柱和圆锥体积公式的推导。

1、把一个圆柱切割成若干扇形块，再拼成一个近似的长方体，体积不变，它的底面积相当于圆柱的底面积，高就是圆柱的高。但表面积增加了长方体左右两个面。

2、一个圆锥形容器装满沙或水再倒入与它等底等高的圆柱形容器中，倒3次才能倒满。

圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱体积的7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png。

等底等高的圆锥和圆柱体积之间的关系：

（1）圆柱体积是圆锥体积的3倍，圆锥体积是圆柱体积的7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png；

（2）它们的体积之和是圆柱的（1+7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png），是圆锥的（1+3）倍；

（3）它们的体积之差是圆柱的（1-7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png），是圆锥的（3-1）倍。

六、常见题型

1、运用周长、面积（表面积）、体积的计算公式来解决实际问题。

2、运用周长、面积（表面积）、体积的变形公式（或方程法）来解决实际问题。

3、等面积或等体积问题：根据面积或体积不变来解决问题。

4、重量问题：单位面积（或单位体积）的重量×面积（或体积）=总重量

5、求长方体、正方体、圆柱实际物体表面积问题：注意考虑实物是由几个面组成的。

6、立体图形的切拼问题：切时注意增加了几个什么样的面；拼时注意减少了几个什么样的面。增高或减高时增加或减少的是高为几的侧面积。

7、变化问题：长度变化几倍，面积就变化几的平方倍，体积就变化几的立方倍。

已知两个量的变化关系，求第三个量的变化关系。

8、组合图形的面积或体积：分割、移补、等积转化。

9、最大或最小问题： 圆内最大的正方形（先画两条互相垂直的直径，再按顺序连接两条直径的4个端点）、 正方形内最大的圆（以正方形的边长为直径的圆）、 长方形内最大的圆（以长方形最短边为直径的圆）、 正方体内最大的圆柱或圆锥（最大底面是正方体底面内最大的圆，高与正方体的高相等）、 圆柱内最大的圆锥（是与圆柱等底等高的）。

C图形与变换

一、轴对称图形

特征：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。

正方形有4条对称轴；长方形有2条对称轴；等腰三角形有1条对称轴；等边三角形有3条对称轴；等腰梯形有1条对称轴；圆有无数条对称轴；半圆有1条对称轴。

二、平移

1、平移的定义：物体或图形在同一平面内沿着直线 （水平或垂直）方向运动，我们把这样的运动方式称为平移。

2、平移的要素：一是平移的方向；二是平移的距离。

三、旋转

1、旋转定义：物体或图形以一个点或一个轴为中心进行圆周运动，我们把这样的运动称为旋转。

2、旋转的要素：一是围绕的定点或轴；二是旋转的方向（逆时针或顺时针）；三是旋转角度。

四、图形的放缩

把一个图形的各边按一定的比例进行放大与缩小，从而得到该图形的放大图或缩小图。

（变化比为变化后的：变化前的） 特点：形状相同，大小不同。

D、图形与位置

一、观察物体

（1）能正确辨认从不同方向（正面、左面、上面）观察到的立体图形的形状；

（2）能确定随着观察点的变化而改变的观察范围。

二、物体位置

（1）用方位词和距离来确定位置：在地图或平面图中，通常都是上北、下南、左西、右东，还有东北、西北、东南、西南

（2）用方位角和距离来确定位置：如东偏北600是以东西方向为水平线向北偏600

（3）用数对表示位置：（列，排）

三、描述简单的路线图

运用方位和位置的知识描述路线图时，一般要求列举出从一个地点到另一个地点的行走路线，要说清楚向哪一个方向走，走多少距离，图中经过哪些地方等。