绵阳市高中2018级第一次诊断性考试

数 学（理工类）

本试卷分为试题卷和答题卷两部分，其中试题卷由第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）组成，共4页；答题卷共4页。满分150分，考试结束后将答题卡和答题卷一并交回。天网

第I卷（选择题，共60分）

注意事项：

1、答第1卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上。

3、参考公式：

如果事件A、B互斥，那么P（A+B）=P（A）+P（B）；

如果事件A、B相互独立，那么P（A·B）=P（A）·P（B）；

如果事件A在一次试验中发生的概率为P，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率：。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把它选出来填涂在答题卡上。

1. 复数

A. 0 B. 1 C. i D.

2. “m>1,n>1”是“logmn>0”的

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

3. 与函数有相同图象的一个函数是

A. B.

C. D.

4. 某公司有N个员工，下设若干部门，现采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为n的样本（N是n的正整数倍）。已知某部门被抽取了m个员工，则这一部门的员工数为

A. B. C. D.

5. 命题“若a，b都是奇数，则a+b是偶数”的逆否命题是

A. 若a+b不是偶数，则a，b都不是奇数

B . 若a+b不是偶数，则a，b不都是奇数

C. 若a+b是偶数，则a，b都是奇数

D. 若a+b是偶数，则a，b不都是奇数

6. 设函数在点x = 0处连续，则a的值为

A. 0 B. C. D. 1

7. 若存在，则a的值为

A. 0 B. 1 C. －1 Ｄ.

8. 设随机变量服从正态分布N(0，1)，记，则下列结论不正确的是

A. B.

C. D.

9. 函数的图象具有的特征：① 原点O（0，0）是它的对称中心；②最低点是（1，2a）；③y轴是它的一条渐进线。其中正确的是

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

10. 曲线y=xsinx在点处的切线与x轴、直线x=所围成的三角形的面积为

A. B.　 　Ｃ. D.

11. 设二次函数的图象与x轴的左右两个交点的横坐标分别为x1，x2，则的取值范围为

A. （0，1） B. C. D.

12. 如果偶函数在上单调递增，则与大小关系是

A. B.

C. D. 无法确定

第II卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上。

13. 已知函数= 。

14. 已知数列的前n项和是，则= 。

15. 如果为纯虚数，则实数a= 。

16. 已知定义在[0，1]上的函数y =f (x) 图象如图所示，则对满足的任意x1，x2，下列关系：

①；

②

③，

其中一定正确的是 。

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17. （本题满分12分）已知全集I=R，函数的定义域为M，，若

18. （本题满分12分）小王参加一次知识竞赛，已知在备选的10道试题中，他能答对其中的6道。规定每次考试都从备选题中随机抽出3道题进行测试，求小王答对试题数的概率分布及数学期望。

19. （本题满分12分）已知f (x)是奇函数，且在定义域内可导并满足，解关于m的不等式。

20. （本题满分12分）集合A是由具备下列性质的函数f (x)组成的：①函数f (x)的定义域是；②函数f (x) 的值域是；③函数f (x) 在上是增函数。试分别探究下列两小题：

（1）判断函数及是否属于集合A，并简要说明理由；

（2）对于（1）中你认为属于集合A的函数f (x)，不等式是否对于任意的x≥0总成立？若不成立，为什么？若成立，请证明你的结论。

21. （本题满分14分）已知是定义在上的不恒为零的函数，且对定义域内的任意x, y, f (x)都满足。

（1）求f (1)、f (-1)的值；

（2）判断f (x)的奇偶性，并说明理由；

（3）请用数学归纳法证明（n是正整数）

22. （本题满分12分）讨论函数的单调区间，并求出它的极值。

参考解答及评分标准

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

DACAB BCDBC BA

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

13、2 14、 15、－２ 16、①③

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、解：由，有，

∴……………………2分

∴C1………………4分

由，即，

∴……………………6分

∵(C1

∴………………9分

即。

∵；

∴a=1……………………11分

∴

∴………………12分

18、解：由题知=0，1，2，3，……………………2分

∴；；

即小王答对试题数ξ的概率分布为

……………………………………10分

∴他答对试题数的数学期望。

…………………………12分

19、解：∵在定义域内可导并满足，

∴在内是减函数。……………………3分

∴由

∴由是奇函数得……………………6分

∴…………………………10分

∴。

∴原不等式的解集为（）……………………12分

20、（1）解：∵的值域为，∴………………2分

对于，定义域为，满足条件①。

而由知∴，满足条件②

又∵，∴在上是减函数。

∴在上是增函数，满足条件③

∴属于集合A。……………………………………6分

（2）由（1）知，属于集合A。

∴原不等式为 ………………8分

整理为：。…………………………10分

∵对任意，

∴原不等式对任意总成立……………………12分

21、解：（1）∵对任意x,y都有，

∴令x=y=1时，有，

∴f (1)=0…………………………………………2分

∴令x=y=－1时，有，

∴f (－1)=0。…………………………………………5分

（2）∵f(x)对任意x，y都有

∴令x=t，y=－1,有

将代入得，

∴函数是上的奇函数。……………………8分

（3）①当n=1时，左边=，右边=，等式成立。

当n=2时，左边=，

右边=，等式成立…………………………10分

② 假设当n=k时，等式成立，即

则当n=k+1时，有

=

=

=。

表明当n=k+1时等式也成立。

综上①②，对任意正整数，等式成立…………………………14分

22、解：由，……………………4分

令即，得。…………………………5分

又当时函数的导数不存在。…………………………6分

当即时，由下表

∴的单调递增区间为，，递减区间为，

当x=时有极大值。………………………………9分

当即时，由下表

∴的单调递增区间为，，递减区间为，当x=时有极小值。

∴综上所述，当时，原函数的递增区间为，，递减区间为，有极大值；当时，原函数的递增区间为，，递减区间为，有极小值。…………………………12分