4.9 热点专题——三角函数与解三角形的热点问题

1．(2016·山东卷)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tan A＋tan B)＝＋.

(1)证明：a＋b＝2c；

(2)求cos C的最小值．

【解析】 (1)证明 由题意知2＝＋，化简得2(sin Acos B＋sin Bcos A)＝sin A＋sin B，

即2sin(A＋B)＝sin A＋sin B，

因为A＋B＋C＝π，

所以sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C.

从而sin A＋sin B＝2sin C.

由正弦定理得a＋b＝2c.

(2)由(1)知c＝，

所以cos C＝＝

＝－≥，

当且仅当a＝b时，等号成立．

故cos C的最小值为.

2．(2016·邵阳模拟)如图，在△ABC中，D为AB边上一点，DA＝DC，已知B＝，BC＝1.

(1)若△ABC是锐角三角形，DC＝，求角A的大小；

(2)若△BCD的面积为，求边AB的长．

【解析】 (1)在△BCD中，B＝，BC＝1，DC＝，

由正弦定理得，＝，

解得sin∠BDC＝＝，

则∠BDC＝或.

由△ABC是锐角三角形，可得∠BDC＝.

又由DA＝DC，得A＝.

(2)由于B＝，BC＝1，△BCD的面积为，

则·BC·BD·sin＝，解得BD＝.

由余弦定理得CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos＝1＋－2××＝，故CD＝，

则AB＝AD＋BD＝CD＋BD＝，

故边AB的长为.

3．(2016·郑州模拟)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知＋＝，且b＝，a＞c.

(1)求ac的值；

(2)若△ABC的面积S＝，求a，c的值．

【解析】 (1)因为＋＝

＝＝，

所以＝，

即sin2B＝sin Asin C.

由正弦定理可得b2＝ac，又b＝，所以ac＝2.

(2)S＝acsin B＝sin B＝，

又ac＝2且a＞c，

所以a2＞ac＝2，即a＞，又b＝，

所以A＞B，故角B一定为锐角，因此cos B＝＝.

由余弦定理可知cos B＝＝，

所以a2＋c2＝5，

由ac＝2且a＞c，解得a＝2，c＝1.

4．(2016·天津卷)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asin 2B＝ bsin A.

(1)求B；

(2)若cos A＝，求sin C的值．

【解析】 (1)在△ABC中，由＝，

可得asin B＝bsin A，

又由asin 2B＝bsin A，得

2asin Bcos B＝bsin A＝asin B，

所以cos B＝，得B＝.

(2)由cos A＝，可得sin A＝，则

sin C＝sin[π－(A＋B)]＝sin(A＋B)＝sin

＝sin A＋cos A＝.

5．(2016·淄博模拟)已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且sin＝2cos A.

(1)若cos C＝，求证：2a－3c＝0；

(2)若B∈，且cos(A－B)＝，求sin B的值．

【解析】 由sin＝2cos A，得sin A＋cos A＝2cos A，

即sin A＝cos A.

因为A∈(0，π)，且cos A≠0，

所以tan A＝，所以A＝.

(1)证明 因为sin2C＋cos2C＝1，cos C＝，C∈(0，π)，

所以sin C＝，

由正弦定理知＝，即＝＝＝，

即2a－3c＝0.

(2)因为B∈，所以A－B＝－B∈，

因为sin2(A－B)＋cos2(A－B)＝1，所以sin(A－B)＝，所以sin B＝sin[A－(A－B)]

＝sin Acos(A－B)－cos Asin(A－B)＝.

6．(2016·四川)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且＋＝.

(1)证明：sin Asin B＝sin C；

(2)若b2＋c2－a2＝bc，求tan B.

【解析】 (1)证明 根据正弦定理，可设＝＝＝k(k＞0)．

则a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.

代入＋＝中，有＋＝，变形可得

sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B＝sin(A＋B)．

在△ABC中，由A＋B＋C＝π，有sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，

所以sin Asin B＝sin C.

(2)由已知，b2＋c2－a2＝bc，根据余弦定理，有

cos A＝＝.

所以sin A＝＝.

由(1)，sin Asin B＝sin Acos B＋cos Asin B，

所以sin B＝cos B＋sin B，

故tan B＝＝4.