高中数学概率大题（经典一）

一．解答题（共10小题）

1．在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．

（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望；

（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？

2．某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：

从第一个顾客开始办理业务时计时．

（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

3．某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．

（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？

（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．

4．一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．

（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；

（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；

（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．

5．某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．

（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；

（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．

6．将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2．

（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；

（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小．

7．某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：

方案1：运走设备，此时需花费4000元；

方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；

方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．

（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；

（2）试比较哪一种方案好．

8．2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是．

（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；

（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；

（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．

9．在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．

（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；

（2）求这3个数和为18的概率；

（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

10．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．

（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；

（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．

参考答案与试题解析

一．解答题（共10小题）

1．（2016•南通模拟）在一次运动会上，某单位派出了有6名主力队员和5名替补队员组成的代表队参加比赛．

（1）如果随机抽派5名队员上场比赛，将主力队员参加比赛的人数记为X，求随机变量X的数学期望；

（2）若主力队员中有2名队员在练习比赛中受轻伤，不宜同时上场；替补队员中有2名队员身材相对矮小，也不宜同时上场；那么为了场上参加比赛的5名队员中至少有3名主力队员，教练员有多少种组队方案？

【解答】解：（1）由题意知随机变量X的取值是0、1、2、3、4、5，

∵当X=0时，表示主力队员参加比赛的人数为0，以此类推，

∴P（X=0）=；

P（X=1）=；

P（X=2）=；

P（X=3）=；

P（X=4）=；

P（X=5）=．

∴随机变量X的概率分布如下表：

E（X）=0×+1×+2×+3×+4×+5×

=≈2.73

（2）由题意知

①上场队员有3名主力，方案有：（C63﹣C41）（C52﹣C22）=144（种）

②上场队员有4名主力，方案有：（C64﹣C42）C51=45（种）

③上场队员有5名主力，方案有：（C65﹣C43）C50=C44C21=2（种）

教练员组队方案共有144+45+2=191种．

2．（2012•陕西）某银行柜台设有一个服务窗口，假设顾客办理业务所需的时间互相独立，且都是整数分钟，对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如表：

从第一个顾客开始办理业务时计时．

（1）估计第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务的概率；

（2）X表示至第2分钟末已办理完业务的顾客人数，求X的分布列及数学期望．

【解答】解：设Y表示顾客办理业务所需的时间，用频率估计概率，得Y的分布如下：

（1）A表示事件“第三个顾客恰好等待4分钟开始办理业务”，则时间A对应三种情形：

①第一个顾客办理业务所需时间为1分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为3分钟；

②第一个顾客办理业务所需的时间为3分钟，且第二个顾客办理业务所需的时间为1分钟；

③第一个和第二个顾客办理业务所需的时间均为2分钟．

所以 P（A）=0.1×0.3+0.3×0.1+0.4×0.4=0.22

（2）X所有可能的取值为：0，1，2．

X=0对应第一个顾客办理业务所需的时间超过2分钟，所以P（X=0）=P（Y＞2）=0.5；

X=1对应第一个顾客办理业务所需的时间为1分钟且第二个顾客办理业务所需时间超过1分钟，或第一个顾客办理业务所需的时间为2分钟，所以P（X=1）=0.1×0.9+0.4=0.49；

X=2对应两个顾客办理业务所需的时间均为1分钟，所以P（X=2）=0.1×0.1=0.01；

所以X的分布列为

EX=0×0.5+1×0.49+2×0.01=0.51．

3．（2012•海安县校级模拟）某单位举办2010年上海世博会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“世博会会徽”或“海宝”（世博会吉祥物）图案；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“海宝”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．

（1）有三人参加抽奖，要使至少一人获奖的概率不低于，则“海宝”卡至少多少张？

（2）现有甲乙丙丁四人依次抽奖，用ξ表示获奖的人数，求ξ的分布列及Eξ的值．

【解答】解：（1）记至少一人获奖事件为A，则都不获奖的事件，

设“海宝”卡n张，

则任一人获奖的概率，

∴，由题意：，

∴n≥7．至少7张“海宝”卡，

（2）ξ～的分布列为；

，．

4．（2011•江苏模拟）一袋中有m（m∈N*）个红球，3个黑球和2个白球，现从中任取2个球．

（1）当m=4时，求取出的2个球颜色相同的概率；

（2）当m=3时，设ξ表示取出的2个球中黑球的个数，求ξ的概率分布及数学期望；

（3）如果取出的2个球颜色不相同的概率小于，求m的最小值．

【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

∵试验发生包含的事件是从9个球中任取2个，共有C92=36种结果，

满足条件的事件是取出的2个球的颜色相同，包括三种情况，共有C42+C32+C22

=10

设“取出的2个球颜色相同”为事件A，

∴P（A）==．

（2）由题意知黑球的个数可能是0，1，2

P（ξ=0）=

P（ξ=1）=，P（ξ=2）=

∴ξ的分布列是

∴Eξ=0×+1×+2×=．

（3）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

事件发生所包含的事件数Cx+52，

满足条件的事件是Cx1C31+Cx1C21+C31C21，

设“取出的2个球中颜色不相同”为事件B，则

P（B）=＜，

∴x2﹣6x+2＞0，

∴x＞3+或x＜3﹣，

x的最小值为6．

5．（2010•鼓楼区校级模拟）某商场为促销设计了一个抽奖模型，一定数额的消费可以获得一张抽奖券，每张抽奖券可以从一个装有大小相同的4个白球和2个红球的口袋中一次性摸出3个球，至少摸到一个红球则中奖．

（Ⅰ）求一次抽奖中奖的概率；

（Ⅱ）若每次中奖可获得10元的奖金，一位顾客获得两张抽奖券，求两次抽奖所得的奖金额之和X（元）的概率分布和期望E（X）．

【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生的所有事件是从6个球中取三个，共有C63种结果，

而满足条件的事件是摸到一个红球或摸到两个红球，共有C21C42+C22C41

设“一次抽奖中奖”为事件A，

∴

即一次抽奖中奖的概率为；

（2）X可取0，10，20，

P（X=0）=（0.2）2=0.04，

P（X=10）=C21×0.8×0.2=0.32，

P（X=20）=（0.8）2=0.64，

∴X的概率分布列为

∴E（X）=0×0.04+10×0.32+20×0.64=16．

6．（2010•盐城三模）将一枚硬币连续抛掷15次，每次抛掷互不影响．记正面向上的次数为奇数的概率为P1，正面向上的次数为偶数的概率为P2．

（Ⅰ）若该硬币均匀，试求P1与P2；

（Ⅱ）若该硬币有暇疵，且每次正面向上的概率为，试比较P1与P2的大小．

【解答】解：（Ⅰ）抛硬币一次正面向上的概率为，

∴正面向上的次数为奇数次的概率为P1=P15（1）+P15（3）+…+P15（15）

=

∴

（Ⅱ）∵P1=C151p1（1﹣p）14+C153p3（1﹣p）12+…+C1515p15，

P2=C150p0（1﹣p）15+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1

则P2﹣P1=C150p0（1﹣p）15﹣C151p1（1﹣p）14+C152p2（1﹣p）13+…+C1514p14（1﹣p）1﹣C1515p15

=[（1﹣p）﹣p]15

=（1﹣2p）15，

而，

∴1﹣2p＞0，

∴P2＞P1

7．（2010•南通模拟）某地位于甲、乙两条河流的交汇处，根据统计资料预测，今年汛期甲河流发生洪水的概率为0.25，乙河流发生洪水的概率为0.18（假设两河流发生洪水与否互不影响）．现有一台大型设备正在该地工作，为了保护设备，施工部门提出以下三种方案：

方案1：运走设备，此时需花费4000元；

方案2：建一保护围墙，需花费1000元，但围墙只能抵御一个河流发生的洪水，当两河流同时发生洪水时，设备仍将受损，损失约56000元；

方案3：不采取措施，此时，当两河流都发生洪水时损失达60000元，只有一条河流发生洪水时，损失为10000元．

（1）试求方案3中损失费ξ（随机变量）的分布列；

（2）试比较哪一种方案好．

【解答】解：（1）在方案3中，记“甲河流发生洪水”为事件A，“乙河流发生洪水”为事件B，

则P（A）=0.25，P（B）=0.18，

所以，有且只有一条河流发生洪水的概率为P（A•+•B）=P（A）•P（）+P（）•P（B）=0.34，

两河流同时发生洪水的概率为P（A•B）=0.045，

都不发生洪水的概率为P（•）=0.75×0.82=0.615，

设损失费为随机变量ξ，则ξ的分布列为：

（2）对方案1来说，花费4000元；

对方案2来说，建围墙需花费1000元，它只能抵御一条河流的洪水，

但当两河流都发生洪水时，损失约56000元，而两河流同时发生洪水的概率为P=0.25×0.18=0.045．

所以，该方案中可能的花费为：1000+56000×0.045=3520（元）．

对于方案来说，损失费的数学期望为：Eξ=10000×0.34+60000×0.045=6100（元），

比较可知，方案2最好，方案1次之，方案3最差．

8．（2010•海安县校级模拟）2009年10月1日，为庆祝中华人们共和国成立60周年，来自北京大学和清华大学的共计6名大学生志愿服务者被随机平均分配到天安门广场运送矿泉水、清扫卫生、维持秩序这三个岗位服务，且运送矿泉水岗位至少有一名北京大学志愿者的概率是．

（1）求6名志愿者中来自北京大学、清华大学的各几人；

（2）求清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学人各一人的概率；

（3）设随机变量ζ为在维持秩序岗位服务的北京大学志愿者的人数，求ζ分布列及期望．

【解答】解：（1）记“至少一名北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”为事件A，则A的对立事件为“没有北京大学志愿者被分到运送矿泉水岗位”

设有北京大学志愿者x个，1≤x＜6，那么P（A）=，解得x=2，即来自北京大学的志愿者有2人，来自清华大学志愿者4人；

（2）记“清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各有一人”为事件E，

那么P（E）=，

所以清扫卫生岗位恰好北京大学、清华大学志愿者各一人的概率是；

（3）ξ的所有可能值为0，1，2，

P（ξ=0）=，P（ξ=1）=，P（ξ=2）=，

所以ξ的分布列为

Eξ=

9．（2010•苏州模拟）在1，2，3，…9这9个自然数中，任取3个不同的数．

（1）求这3个数中至少有1个是偶数的概率；

（2）求这3个数和为18的概率；

（3）设ξ为这3个数中两数相邻的组数（例如：若取出的数为1，2，3，则有两组相邻的数1，2和2，3，此时ξ的值是2）．求随机变量ξ的分布列及其数学期望Eξ．

【解答】解：（1）由题意知本题是一个等可能事件的概率，

试验发生所包含的事件数C93，

满足条件的事件3个数中至少有1个是偶数，包含三种情况一个偶数，两个偶数，三个偶数，

这三种情况是互斥的，根据等可能和互斥事件的概率公式得到

；

（2）记“这3个数之和为18”为事件B，

考虑三数由大到小排列后的中间数只有可能为5、6、7、8，

分别为459，567，468，369，279，378，189七种情况，

∴；

（3）随机变量ξ的取值为0，1，2，

P（ξ=0）=

P（ξ=1）=

P（ξ=2）=

∴ξ的分布列为

∴ξ的数学期望为．

10．（2005•湖南）某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．

（Ⅰ）求3个景区都有部门选择的概率；

（Ⅱ）求恰有2个景区有部门选择的概率．

【解答】解：某单位的4个部门选择3个景区可能出现的结果数为34．

由于是任意选择，这些结果出现的可能性都相等．

（I）从4个部门中任选2个作为1组，

另外2个部门各作为1组，共3组，共有C42=6种分法，

每组选择不同的景区，共有3！种选法，

∴3个景区都有部门选择可能出现的结果数为C42•3!

记“3个景区都有部门选择”为事件A1，

∴事件A1的概率为

P（A1）==．

（II）先从3个景区任意选定2个，共有C32=3种选法，

再让4个部门来选择这2个景区，分两种情况：

第一种情况，从4个部门中任取1个作为1组，另外3个部门作为1组，共2组，每组选择2个不同的景区，共有C41•2!种不同选法．

第二种情况，从4个部门中任选2个部门到1个景区，另外2个部门在另1个景区，共有C42种不同选法，

∴恰有2个景区有部门选择可能的结果为3（C41•2!+C42）．

∴P（A2）==．