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    2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高一上学期期末考试数学试题(解析版)-

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    2020-2021学年宁夏银川市长庆高级中学高一上学期期末考试数学试题


    一、单选题
    1．直线l：3x3y10的倾斜角为（ ） A．30 【答案】A 【分析】根据直线方程，得出斜率，进而可得倾斜角. 【详解】因为直线l：3x3y10的斜率为k则倾斜角为30. 故选：A. 【点睛】本题主要考查求直线的倾斜角，属于基础题. 2．若x2y2xy2m0是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ） A．,B．45
    C．60
    D．90
    3，
    31 4B．1, 41 4C．1, 4D．,【答案】C 【分析】根据D2E24F0即可求出结果. 【详解】据题意，得11242m0，所以m【点睛】本题考查圆的一般方程，属于基础题型. 3．已知一个正方体的体积为8，求此正方体内切球的表面积为（ ） A．21. 44
    3B．8 C．4 D．16
    【答案】C 【分析】求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出内切球的表面积. 【详解】正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S4R24，故选：C. 第 1 页 共 15 页

    4．如图梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的斜二侧直观图，若A1D1Oy，2A1B1C1D1，A1B1C1D12，A1D11，则四边形ABCD的面积是(
    3
    A．10 【答案】B B．5 C．52 D．102
    【详解】根据斜二测画法的原则，可得四边形ABCD中，AB∥CD，ABAD，且22ABA1B1C1D1CD2，AD2A1D12，
    3311所以四边形ABCD的面积是SABCDAD525. 22故选：B. 5．平行直线5x12y30与10x24y50的距离是（ ） A．2
    13B．1
    13C．1
    26D．5
    26【答案】C 【分析】本题可以先观察两条直线，将直线转化为axbym0与axbyn0的形式，然后再通过两平行直线之间的距离公式得出结果．
    【详解】因为两平行直线axbym0与axbyn0间的距离是mnab22，
    5x12y30即10x24y60，
    所以两平行直线5x12y30与10x24y50间的距离是故选C．
    【点睛】本题考查的是直线的相关性质，主要考查两平行直线之间的距离，考查计算能力，考查对两平行直线之间的距离的公式的使用，是简单题．如果有两平行直线561022421．
    26axbym0与axbyn0，则两平行直线之间的距离为22mnab22．
    226．若圆C1:xy1与圆C2:xy6x8ym0相切，则实数m（ ）
    A．9 【答案】D B．11 C．11或9 D．9或11
    第 2 页 共 15 页

    【分析】化为圆的一般式方程为标准方程，求出圆心和半径，外切时两圆心间的距离等于半径和；
    内切由两圆心间的距离等于半径差的绝对值，可求解答案. 22【详解】由圆C1:xy1，得到圆心坐标C1(0,0，半径为r11， 22由圆C2:xy6x8ym0，得x3y425mm25，
    22圆心坐标C2(3,4，半径为r225m，
    圆心C1与圆C2外切时，所以324225m1，解得m9，
    22圆心C1与圆C2内切时，所以3425m1，解得m11，
    综上所述，m11或m9. 故选：D．
    【点睛】本题主要考查了两圆的位置关系的应用，其中解答中熟记两圆的位置关系的合 理应用，列出相应的方程求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．7．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）

    A．(224 【答案】A B．(226 C．6 D．(24
    【分析】由三视图可知该几何体是一个圆柱上、下底面各拼上一个与同底的圆锥构成，其表面积即为两个圆锥的侧面与圆柱侧面之和. 【详解】由该几何体的三视图可知该几何体是由一个底面半径为1，高为2的圆柱和两个底面半径均为1，高为1的圆锥组合而成. 因为圆锥的底面半径为1，高为1，故其母线长为2，
    所以该几何体的表面积为2π122(π12(422π. 故选:A. 【点睛】本题主要考查对三视图所表达的空间几何体的识别及几何体体积的计算．由三第 3 页 共 15 页

    视图还原几何体求体积，要弄清楚几何体的特征，把三视图中的数据、图形特点准确地转化为对应几何体中的线段长度、图形特点，进而用公式求解．
    8．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线AC与直线BC1所成的角、直线AC与平面A1D所成的角分别为（ ） A．45,60 【答案】D 【分析】根据异面直线的定义知直线AC与直线BC1所成角为D1AC，根据线面角定义得直线AC与平面A1D所成角为CAD，由此能求出结果. 【详解】如图：
    B．90,45
    C．60,60
    D．60,45

    ∵AD1//BC1，∴直线AC与直线BC1所成角为D1AC， ∵△ACD1是等边三角形，∴D1AC60，
    ∵CD平面ADD1A1，∴直线AC与平面A1D所成角为CAD， ∵ADC是等腰直角三角形，∴CAD45， 故选：D. 9．设a、b是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列正确的个数为（ ）①若ab,a，则b//；②若a//,a，则； ③若aA．1 【答案】B 【分析】根据线线、线面、面面平行和垂直的判定定理、性质定理判定即可. 【详解】解：对于①.若ab,a，当b时有b//，故错误； 对于②.若a//,a，根据面面垂直判定定理可得成立，故正确；
    第 4 页 共 15 页
    ,，则a//；④若aB．2 b,a,bC．3 ，则
    D．4

    对于③.若a,，当a时有a//，故错误；
    对于④.若ab,a则b或者b//，又b则成立，故正确. 故选：B 【点睛】直线与平面平行的判定定理：
    （1）文字语言：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行⇒线面平行 （2）图形语言：

    （3）符号语言：a//l,a,ll//
    注意：应用判定定理时，要注意“内”“外”“平行”三个条件必,须都具备，缺一不可. 10．圆P:(x32(y421关于直线x＋y－2＝0对称的圆Q的方程是( A．(x22(y121 C．(x22(y521 【答案】B 【分析】因为圆P关于直线对称的圆Q大小一样，所以只需确定圆Q的圆心即可．根据点关于直线的对称点的求法求出Q的圆心，即可得圆Q的方程．
    【详解】因为圆P(x3(y41的圆心为3,4，设其关于直线xy2022B．(x22(y521 D．(x42(y321
    b411a2a3 解得 ， 的对称点为a,b，所以a3b4b52022故圆Q的方程是(x2(y51． 故选：B．
    【点睛】本题主要考查直线的标准方程的应用以及点关于直线的对称点的求法，属于基础题．
    11．如果正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍，则侧面与底面所成的角等于( A．30 【答案】C 第 5 页 共 15 页
    B．45
    C．60
    D．75
    2    2
    【分析】根据题意画出立体图像,根据正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍,即可求得答案. 【详解】根据题意画出立体图形:
    设正四棱锥的底面边长为a,侧面面高为h
    1S底a2 ，S侧4ah2ah

    2根据正四棱锥的侧面积等于底面积的2倍
    21a1 故可得
    S侧22ah2S底即a1
    h取BC中点为E,链接SE,OE SEBC,OEBC
    SEO为侧面与底面所成的角
    a1

    cosSEO2=h2故SEO60 故选:C. 【点睛】本题考查了侧面与底面所成的角,解题关键是掌握面面角的定义,考查了空间想象能力和计算能力,属于基础题. 12．已知圆C:(x32(y323和直线l:3xy40，点P是直线l上的动点，过点P作圆C的两条切线PA,PB，切点是A,B，则APB的最大值是（ ） A．60 【答案】C 【分析】根据几何关系可知，当CPl时，C到直线l上的点的距离最小，此时B．90
    C．120
    D．150
    sinAPC最大，可求出APC的最大值，从而可得APB的最大值. 第 6 页 共 15 页

    【详解】
    如图，由几何知识可知，APCBPC．所以当APC最大时，APB也最大． 当CPl时，C到直线l上的点的距离最小为d|334|2，此时31sinAPC3，
    2所以APC取得最大值为60，从而APB的最大值是120. 故选：C 【点睛】关键点点睛：解题关键是转化思想的应用，将角的大小与长度的大小建立关系.

    二、填空题
    13．设直线yk(x31，当k变动时，直线经过定点为__________．
    1 【答案】(3，【分析】直接令x30，解出x可得定点坐标. 【详解】由x30得x3，此时y1， 即直线经过定点为3,1， 故答案为：3,1. 14．过点P(2,3，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是______． 【答案】3x2y0或xy10
    【分析】当直线过原点时，由点斜式求出直线的方程．当直线不过原点时，设方程为xy1，把点P2,3代入可得a的值，从而得到直线方程．综合以上可得答案． aa3033，故直线方程为yx，即【详解】当直线过原点时，由于斜率为20223x2y0．
    第 7 页 共 15 页

    当直线不过原点时，设方程为xy1，把点P2,3代入可得a1， aa故直线的方程为xy10，
    3x2y0或xy10． 故答案为：【点睛】本题主要考查用待定系数法求直线的方程，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题．
    15．已知圆的方程为x2y26x8y0.设该圆过点（2,6）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_____________． 【答案】205
    【详解】圆的方程为xy6x8y0化为(x32(y4225. 圆心坐标P(3,4，半径是5. 由于点（2,6）到圆心的距离为5,小于半径,则点（2,6）在圆内， 则最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是E（2,6），且AC⊥BD. 22PE(322(4625 AC2510,BD25则SABCD25245，
    11ACBD1045205. 22故答案为: 205. 16．已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SA平面ABC,且ABBC2,【答案】ABBCSA22，则球O的体积是_____________．
    32
    3【分析】根据题意可知SC的中点为球心，从而可得SC为直径，再利用球的体积公式即可求解. 【详解】由SA平面ABC，则SABC 又ABBC，SAABA， 所以BC⊥平面SAB， 所以BCSB，
    所以SBC为直角三角形， 又SAC为直角三角形，
    第 8 页 共 15 页


    所以SC是外接球直径，O是SC的中点， 又ABBC2,所以SCSA22，
    22222224，
    所以外接球半径为2， 所以球O的体积V故答案为：432. 233332
    3
    三、解答题
    17．如图，四边形ABCD是直角梯形，求图中阴影部分绕AB旋转一周所成几何体的体积．（注：台体的体积公式：v1(S1S1S2S2h（S1表示上底面面积，S2表3示下底面面积，h表示台体的体高））

    【答案】140cm3． 3【分析】根据题意绕AB旋转一周所成几何体的是圆台，其上底面挖去一个半球，求出圆台的体积、半球的体积，相减即可得出该几何体的体积. 【详解】解：根据题意绕AB旋转一周所成几何体的是圆台，其上底面挖去一个半球，第 9 页 共 15 页

    因为圆台的体积V13222552452cm3，
    半球的体积V2143162cm3． 23316140cm3． 33所以所求几何体的体积为V1V252【点睛】求体积的常用方法：
    （1）直接法：对于规则的几何体，利用相关公式直接计算；
    （2）等体积法：选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；
    （3）割补法：首先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计算. 18．已知ABC的三个顶点是A(0,3，B(2,1，C(1,m. （1）求边AB的垂直平分线方程； （2）若ABC的面积为8，求实数m的值. 【答案】（1）xy10 （2）m12或-4 【分析】（1）求出线段AB的中点坐标以及垂直平分线的斜率，由点斜式即可求出直线方程；
    （2）求出线段AB的长度，再求出点C到直线AB的距离，由三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：（1）A(0,3，B(2,1
    线段AB的中点坐标为（1,2）

    记边AB的垂直平分线为l，则kABkl1
    31kl1，得kl021
    线段AB的垂直平分线l的方程为y21(x1，
    即xy10. （2）AB(202(31222

    直线lAB:y11(x2，即xy30

    第 10 页 共 15 页

    设点C到直线l的距离为d，则d1m31122m42，

    Sm411ABd228， 222|m4|8
    ∴m12或4. 【点睛】本题主要考查点斜式求直线方程、点到直线的距离公式，属于基础题. 19．如图，已知圆C与x轴相切于点T(1,0，与y轴正半轴交于两点A,B，且|AB|2．
    （1）求圆C的标准方程．
    （2）求圆C在点B处的切线方程．
    【答案】（1）(x12(y222；（2）yx21．
    【分析】（1）做辅助线，利用勾股定理，求|BC|的长度，然后得出C的坐标，根据圆的标准方程，即可得出答案；
    （2）利用直线垂直，斜率之积为1，计算切线的斜率，利用点斜式，即可得到方程．【详解】（1）
    过C点作CDBA，连结BC，因为|AB|2，所以|BD|1，
    因为T(1,0所以|CD|1，所以圆的半径r|BC||BD|2|CD|212122 故点C的坐标为(1,2，所以圆的方程为(x12(y222. （2）点B的坐标为(0,21，又C(1,2，所以直线BC的斜率为第 11 页 共 15 页

    k011
    212故切线斜率为1，所以在点B处的切线方程为y(211(x0，即yx21，
    所以圆C在点B处的切线方程yx21. 20．如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是菱形，BAD60，PAPDAD2，点M在线段PC上，且PM2MC，N为AD的中点.

    （1）求证：AD平面PNB；
    （2）若平面PAD平面ABCD，求三棱锥P【答案】（1）证明见解析；（2）NBM的体积.
    2
    3【分析】（1）由已知可得△ABD,△PAD为等边三角形，从而有PN即可证明结论；
    （2）由（1）可得BC⊥平面PNB，VPNBMVMPNB面ABCD，可得PN平面ABCD，从而有PNAD，BNAD，2VCPNB，由平面PAD平3NB，求出S△PNB即可. AD，
    【详解】（1）∵PAPD，N为AD的中点，∴PN又∵底面ABCD是菱形，BAD60，∴△ABD为等边三角形， ∴BNAD，又∵PNBNN，∴AD平面PNB，
    NB3，
    平面ABCDAD，
    （2）∵PAPDAD2，∴PN又∵平面PAD平面ABCD，平面PADPNAD，PN平面ABCD，∴PN12333，
    2NB，
    ∴S△PNB第 12 页 共 15 页

    ∵AD平面PNB，AD∥BC，∴BC⊥平面PNB，又PM2MC， ∴VPNBMVMPNB22132VCPNB2. 33323【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面垂直、求椎体的体积，注意空间垂直关系的相互转化，考查逻辑推理能力，属于中档题. 21．如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的点．

    （1）证明：平面AMD平面BMC；
    （2）在线段AM上是否存在点P，使得MC//平面PBD？若不存在，说明理由，若存在请证明你的结论并说明P的位置．
    【答案】（1）证明见解析；（2）存在；证明见解析；P为AM中点．
    【分析】（1）要证明面面垂直，需先证明线面垂直，根据垂直关系证明CM平面（2）首先作辅助线，连接BD，AC交于点O，连接PD，PB，PO，在△ACMADM；中，利用中位线，证明线线平行，说明线面平行，同时得到点P的位置. 【详解】连结CM，
    （1）∵正方形ABCD半圆面CMD，
    AD半圆面CMD,AD平面MCD．
    CM在平面MCD内，ADCM，又M是半圆弧CD上异于C,D的点，CMMD．
    又ADDMD,CM平面ADM，CM在平面BCM内，∴平面BCM平面ADM．

    （2）线段AM上存在点P且P为AM中点，证明如下：
    第 13 页 共 15 页

    连接BD，AC交于点O，连接PD，PB，PO；在矩形ABCD中，O是AC中点，P是AM的中点；
    OP//MC，OP在平面PDB内，MC不在平面PDB内，MC//平面PDB．

    【点睛】方法点睛：本题考查面面垂直和线面平行的证明，考查空间想象能力和计算能力，不管证明面面垂直还是证明线面垂直，关键都需转化为证明线线垂直，一般证明线线垂直的方法包含1.矩形，直角三角形等，2.等腰三角形，底边中线，高重合，3.菱形对角线互相垂直，4.线面垂直，线线垂直. 22．已知圆C经过点A(1,3，B(3,3两点，且圆心C在直线xy10上. （1）求圆C的方程；
    （2）设M(5,2，对圆C上任意一点P，在直线MC上是否存在与点M不重合的点PNN，使是常数，若存在，求出点N坐标；若不存在，说明理由.
    PM22【答案】（1）(x1(y25（2）存在N1,2满足条件 6【分析】（1）由圆的性质可知圆心是线段AB的垂直平分线和直线xy10的交点，再求圆的半径，写出圆的标准方程；
    （2）假设存在点N(t,2(t5满足条件，设P(x,y，利用两点距离公式计算PNPM22(22txt24，若为常数时，求t的值. 12x29∴线段AB的中垂线所在的直线方程为x1， 【详解】（1）线段AB的中点坐标为(1,3，∵圆心C在直线xy10与直线x1的交点上， 联立两条直线方程可得圆心C的坐标为(1,2，
    设圆C的标准方程为(x1(y2r，将点A坐标代入可得，r25， ∴圆C的方程为(x12(y225. 第 14 页 共 15 页
    2    2    2
    （2）点C(1,2，M(5,2，直线MC方程为y2，
    22假设存在点N(t,2(t5满足条件，设P(x,y，则有(x1(y25，
    |PM|2(x52(y22(x525(x1212x29， |PN|2(xt2(y22(xt25(x12(22txt24，
    PNPN当是常数时，PMPM22(22txt24是常数，
    12x2922tt24,(6t1(t50,1229∴存在Nt5,t1. 61,2满足条件. 6【点睛】本题考查圆的方程的求法，以及定值问题的综合应用，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于中档题型.
    第 15 页 共 15 页

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