2018年四川省遂宁市初中学业水平考试试卷

数学

（满分120分，考试时间90分钟）

一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．

1．（2018四川遂宁，1，4分）-2×（-5）的值是

A.-7 B.7 C.-10 D.10

【答案】D.

【解析】解：-2×（-5）=10.

故选D.

【知识点】有理数的乘法

2.（2018四川遂宁，2，4分） 下列等式成立的是

A．word/media/image1_1.png B．0.00028=2.8×10-3 C．word/media/image2_1.png D．(-a+b)(-a-b)=b2-a2

【答案】C.

【解析】A选项，word/media/image3_1.png，故错误；

B选项，0.00028=2.8×10-4，故错误；

C选项，word/media/image4_1.png，故正确；

D选项，(-a+b)(-a-b)=(-a)2-b2=a2-b2，故错误.

故先C.

【知识点】合并同类项，科学记数法，积的乘方，平方差公式

3.（2018四川遂宁，3，4分） 二元一次方程组word/media/image5_1.png的解是（ ）

A．word/media/image6_1.png B．word/media/image7_1.png C．word/media/image8_1.png D．word/media/image9_1.png

【答案】B.

【解析】解：word/media/image10_1.png

①+②，得x=2，

把x=2代入①，得y=0，

所以方程组的解为word/media/image7_1.png.

故选B.

【知识点】加减消元法解二元一次方程组

4.（2018四川遂宁，4，4分） 下列说法正确的是（ ）

A．有两条边和一个角对应相等的两个三角形全等

B．正方形既是轴对称图形又是中心对称图形

C．矩形的对角线互相垂直平分

D．六边形的内角和是540°

【答案】B.

【解析】解：A选项，三角形的其中两条边对应相等，且两条边的夹角也对应相等的两个三角形全等，故错误；

B选项，正方形既是轴对称图形又是中心对称图形，故正确；

C选项，矩形的对角互相平分，且相等，不垂直，故错误；

D选项，六边形的内角和为720°，故错误.

故选B.

【知识点】全等三角形的判定，矩形的对角线性质，轴对称图形，中心对称图形，多边形内角和公式

5.（2018四川遂宁，5，4分）如图，5个完全相同的小正方体组成一个几何体，

则这个几何体的主视图是（ ）

A． B． C． D．

【答案】D.

【解析】解：从前面看得出的图形第一层是三个小正方形，第二层中间是一个小正方形，

故选D.

【知识点】几何体的三视图

6．（2018四川遂宁，6，4分） 已知圆锥的母线长为6，将其侧面沿着一条母线展开后所得扇形的圆心角为120°，则扇形的面积是（ ）

A．4π B．8π C．12π D．16π

【答案】C.

【解析】解：根据题意可得扇形的面积为word/media/image16_1.png.

故选C.

【知识点】扇形的面积计算公式

7.（2018四川遂宁，7，4分） 已知一次函数y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=word/media/image17_1.png(m≠0)的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x满足的条件是（ ）

A．1＜x＜3 B．1≤x≤3 C．x＞1 D．x＜3

【答案】A.

【解析】解：∵y1＞y2，

∴根据图象可得当1＜x＜3时y1的图象在y2的上方，

∴自变量x满足的条件是1＜x＜3.

故选A.

【知识点】函数图象的交点

8．（2018四川遂宁，8，4分） 如图，在⊙O中，AE是直径，半径OC垂直于弦AB于D，连接BE，若AB=2word/media/image19_1.png，CD=1，则BE的长是（ ）

A．5 B．6 C．7 D．8

【答案】B.

【解析】解：设⊙O的半径为r，则OA=OE=OC=r，

∵OC⊥AB，

∴AD=word/media/image21_1.pngAB=word/media/image22_1.png.

∵CD=1，

∴OD=r-1，

∴OD2+AD2=OA2，

∴(r-1)2+(word/media/image23_1.png)2=r2,

∴r=4，

∴OD=3.

∵AE是⊙O的直径，

∴AB⊥BE，

∴OD∥BE，

∴BE=2OD=6.

故选B.

【知识点】垂径定理，勾股定理

9．（2018四川遂宁，9，4分）已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，则以下结论同时成立的是（ ）

A.word/media/image24_1.png B.word/media/image25_1.png C.word/media/image26_1.png D.word/media/image27_1.png

【答案】C.

【解析】解：根据抛物线的图象可得a＞0，c＜0，根据对称轴可得word/media/image29_1.png，所以b＜0，所以abc＞0.

∵当x=1时，函数的图象位于x轴的下方，

∴a+b+c＜0.

故选C.

【知识点】二次函数图象与系数的关系

10．（2018四川遂宁，10，4分）已知如图，在正方形ABCD中，AD=4，E，F分

别是CD，BC上的一点，且∠EAF=45°，EC=1，将△ADE绕点A沿顺时针方向

旋转90°后与△ABG重合，连接EF，过点B作BM∥AG，交AF于点M，则以

下结论：①DE+BF=EF，②BF=word/media/image30_1.png，③AF=word/media/image31_1.png，④S△MBF=word/media/image32_1.png中正确的是

A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

【答案】D.

【解析】解：∵∠ABC=90°，

∴∠ABG=90°，

在△ADE和△ABG中，

word/media/image34_1.png，

∴△ADE≌△ABG（SAS），

∴AE=AG，∠DAE=∠BAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAF+∠DAE=45°，

∴BAF+∠BAG=45°，

即∠GAF=45°，

∴∠EAF=∠GAF，

在△AEF和△AGF中，

word/media/image35_1.png，

∴△AEF≌△AGF（SAS），

∴EF=GF，

∵GF=BG+BF=DE+BF，

∴EF=DE+BF．

故①正确；

设BF=x，则FC=4-x，GF=EF=3+x，

在Rt△EFC中，

∵FC2+EC2=EF2，

∴(4-x)2+12=(3+x)2，解得x=word/media/image36_1.png，

故②正确；

在Rt△ABF中，

∵AB2+BF2=AF2，

∴AF2=42+(word/media/image36_1.png)2=word/media/image37_1.png，

∴AF=word/media/image38_1.png，

故③错误；

S△AGF=word/media/image39_1.pngGF·AB=word/media/image40_1.png.

∵BM∥AG，

∴△BFM∽△GFA，

∵word/media/image41_1.png,

∴S△MBF=word/media/image42_1.png×S△AGF=word/media/image43_1.png.

故④正确.

故选D.

【知识点】全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质

二、填空题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．

11．（2018四川遂宁，11，5分） 因式分解：word/media/image44_1.png= ．

【答案】3(a-b)(a+b)

【解析】解：word/media/image44_1.png=3(a2-b2)=3(a-b)(a+b)

故答案为3(a-b)(a+b)

【知识点】提公因式法，公式法

12.（2018四川遂宁，12，5分）已知一组数据：12，10，8，15，6，8.则这组数据的中位数是 ．

【答案】9.

【解析】解：该组数据按从小到大的顺序排列为6，8，8，10，12，15，

中位数为word/media/image45_1.png×(10+8)=9.

故答案为9.

【知识点】中位数

13．（2018四川遂宁，13，5分）已知反比例函数y=word/media/image46_1.png(k≠0)的图象过点A（-1，2），则当x＞0时，y随x的增大而 ．

【答案】增大.

【解析】解：∵反比例函数y=word/media/image46_1.png的图象过点A（-1，2），

∴k=-2，

∴当x＞0时，y随x的增大而增大.

故答案为增大.

【知识点】反比例函数的性质

14．（2018四川遂宁，14，5分）A，B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地，若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程 ．

【答案】word/media/image47_1.png

【解析】解：根据题意可得甲车的速度为(x+15)千米/小时，根据甲车比乙车早半小时到达目的地，

可列出方程word/media/image47_1.png.

故答案为word/media/image47_1.png.

【知识点】分式方程的应用

15．（2018四川遂宁，15，5分） 如图，已知抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)与反函数y=word/media/image48_1.png的图象相交于点B，且B点的横坐标为3，抛物线与y轴交于点C(0，6)，A是抛物线y=ax2-4x+c的顶点，P点是x轴上一动点，当PA+PB最小时，P点的坐标为 ．

【答案】(word/media/image50_1.png,0)

【解析】解：∵B点的横坐标为3，且点B在反函数y=word/media/image48_1.png的图象上，

∴B(3,3).

∵抛物线y=ax2-4x+c(a≠0)经过B，C两点，

∴word/media/image51_1.png，解得word/media/image52_1.png，

∴抛物线的解析式为y=x2-4x=6=(x-2)2+2，

∴抛物线的顶点A坐标为（2，2），

∴点A关于x轴的对称点A′的坐标为（2，-2）.

设A′B所在的直线方程为y=kx+b，

则word/media/image53_1.png，解得word/media/image54_1.png，

∴直线A′B的方程为y=5x-12，

令y=0，解得x=word/media/image55_1.png，

∴直线A′B与x轴的交点坐标为(word/media/image50_1.png,0).

根据两点之间线段最短，可得当P的坐标为(word/media/image50_1.png,0)时，PA+PB最小.

故答案为(word/media/image50_1.png,0).

【知识点】待定系数法求二次函数的解析式和一次函数的解析式，一次函数与x轴的交点，两点之间线段最短，在坐标平面内点关于坐标轴对称的问题

三、解答题（本大题共8小题，满分64分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

16．（2018四川遂宁，16，7分） 计算：word/media/image56_1.png.

【思路分析】首先分别计算出负整数指数幂，零指数幂，三角函数的值，然后将所得结果相加即可.

【解题过程】解：原式=3+1+2×word/media/image57_1.png+2-word/media/image58_1.png=6

【知识点】负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数的值，绝对值

17.（2018四川遂宁，17，8分）先化简，再求值word/media/image59_1.png，（其中x=1，y=2）

【思路分析】首先对分式进行化简，然后将x和y的值代入化简后的式子中计算即可.

【解题过程】解：原式=word/media/image60_1.png=word/media/image61_1.png=word/media/image62_1.png，

当x=1，y=2时，

原式=word/media/image63_1.png=-3.

【知识点】提公因式法，公式法，同分母分式的加法，分式的乘法

18. （2018四川遂宁，18，8分） 如图，在口ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF.

求证：四边形AECF是菱形.

【思路分析】首先根据四边形ABCD是平行四边形可得AD∥BC，AD=BC，由条件DE=BF，可得word/media/image65_1.png，然后根据AC⊥EF即可证明出结论.

【解题过程】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC.

∵DE=BF,

∴AD-DE=BC-BF,

∴AE=FC，

∴word/media/image65_1.png,

∴四边形AECF是平行四边形.

又∵AC⊥EF，

∴四边形AECF是菱形.

【知识点】平行四边形的性质，菱形的判定

19.（2018四川遂宁，19，8分）已知关于x的一元二次方程x2-2x+a=0的两个实数根word/media/image66_1.png，word/media/image67_1.png满足word/media/image68_1.png，求a的取值范围.

【思路分析】首先根据一元二次方程有两个实数根，可得出△=b2-4ac≥0，进而得出a的范围，然后根据根与系数的关系以及word/media/image68_1.png可得出a的范围，进而得出答案.

【解题过程】解：∵该一元二次方程有两个实数根，

∴△=b2-4ac≥0，

∴（-2）2-4×1×a≥0，

∴4-4a≥0，

∴a≤1.

又由根与系数的关系可得：word/media/image69_1.png=a，word/media/image70_1.png=2，

且word/media/image68_1.png，

∴a+2＞0，

∴a＞-2，

∴-2＜a≤1.

【知识点】一元二次方程根的判别式，一元二次方程跟与系数的关系，解一元一次不等式

20.（2018四川遂宁，20，9分） 如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数word/media/image71_1.png（m≠0）的图象交于第二、四象限A，B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=word/media/image72_1.png，且点B的坐标为（n，-2）.

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；

（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标.

【思路分析】（1）首先根据锐角三角函数的定义以及AD的长得出A点的坐标，进而得出反比例函数的解析，然后根据反比例函数的解析式得出B点的坐标，进而得出一次函数的解析式；

（2）分别写出以OA为腰的和以OA为底的四种情况即可.

【解题过程】解：（1）∵一次函数y=kx+b与反比例函数word/media/image71_1.png的图象交于A，B两点，且AD⊥x轴于D，

∴∠ADO=90°，

在Rt△ADO中，AD=4，sin∠AOD=word/media/image74_1.png，

∴word/media/image75_1.png,

∴AO=5，

由勾股定理得：DO=word/media/image76_1.png=3,

∴A（-3,4），

把A（-3,4）代入word/media/image71_1.png中得：m=-12，

∴反比例函数的解析式为word/media/image77_1.png，

又∵B点在反比例函数word/media/image77_1.png的图像上，

∴n×（-2）=-12，

∴n=6，

∴B（6，-2），

把A（-3,4），B（6，-2）代入y=kx+b中得

word/media/image78_1.png，解得word/media/image79_1.png，

∴一次函数解析式为y=-word/media/image80_1.pngx+2.

（2）E点坐标分别为E1（0,8），E2（0,5），E3（0，-5），E4（0，word/media/image81_1.png）.

【知识点】待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，锐角三角函数定义，等腰三角的判定

21.（2018四川遂宁，21，10分）如图，过⊙O外一点P作⊙O的切线PA切⊙O于点A，连接PO并延长，与⊙O交于C，D两点，M是半圆CD的中点，连接AM交CD于点N，连接AC、CM.

（1）求证：CM2=MN·MA

（2）若∠P=30°，PC=2，求CM的长.

【思路分析】（1）首先根据圆周角定理得出∠CAM=∠DCM，进而得出△CMN∽△AMC，然后根据相似三角形的性质可得word/media/image83_1.png，进而证明出结论；

（2）首先连接OA，DM，根据切线的性质可得∠PAO=90°，由∠P=30°，可求出半径r的值，然后根据M点是半圆CD的中点，可得CM=DM，在Rt△CMD中，由勾股定理可得出结果.

【解题过程】（1）证明：∵在⊙O中M点是半圆CD的中点，

∴∠CAM=∠DCM，

又∵∠M是公共角，

∴△CMN∽△AMC，

∴word/media/image83_1.png,

∴CM2=MN·MA.

（2）解：连接OA，DM，

∴PA是⊙O的切线，

∴∠PAO=90°，

又∵∠P=30°，

∴OA=word/media/image85_1.pngPO=word/media/image85_1.png(PC+CO)，

设⊙O的半径为r，

∵PC=2,

∴r=word/media/image85_1.png（2+r），

解得r=2，

又∵CD是直径，

∴∠CMD=90°，

∵M点是半圆CD的中点，

∴CM=DM，

∴△CMD是等腰直角三角形，

∴在Rt△CMD中，由勾股定理得

CM2+DM2=CD2,

∴2CM2=(2r)2=16,

∴CM2=8,

∴CM=2word/media/image86_1.png

【知识点】切线性质，圆周角定理，勾股定理

22.（2018四川遂宁，22，8分） 请阅读以下材料：已知向量word/media/image87_1.png，word/media/image88_1.png满足下列条件：

①word/media/image89_1.png，word/media/image90_1.png，②word/media/image91_1.png（角α的取值范围是0°＜α＜90°），③word/media/image92_1.png，利用上述所给条件解答问题：

如：已知word/media/image93_1.png，word/media/image94_1.png，求角α的大小；

解：∵word/media/image95_1.png=word/media/image96_1.png=2，

word/media/image97_1.png=word/media/image98_1.png=word/media/image99_1.png=2word/media/image100_1.png，

∴word/media/image91_1.png=2×2word/media/image101_1.pngcosα=4word/media/image102_1.pngcosα

又∵word/media/image92_1.png=1×(-word/media/image103_1.png)+word/media/image104_1.png×3=2word/media/image105_1.png，

∴word/media/image106_1.png

∴word/media/image107_1.png，

∴word/media/image108_1.png，

∴角α的值为60°.

请仿照以上解答过程，完成下列问题：

已知word/media/image109_1.png，word/media/image110_1.png，求角α的大小

【思路分析】首先根据题意可求出word/media/image111_1.png的值，进而得出cosα=word/media/image112_1.png，然后根据特殊角的三角函数值得出角α的度数.

【解题过程】解：∵word/media/image109_1.png，word/media/image110_1.png，

∴word/media/image95_1.png=word/media/image113_1.png，word/media/image97_1.png=word/media/image114_1.png，

∴word/media/image91_1.png=1×word/media/image115_1.png·cosα=word/media/image115_1.pngcosα，

word/media/image92_1.png=1×1+0×（-1）=1，

∴word/media/image115_1.pngcosα=1，

∴cosα=word/media/image112_1.png，

∴α=45°，

∴角α的值为45°.

【知识点】特殊角的三角函数值

23.（2018四川遂宁，23，10分）学习习近平总书记关于生态文明建设重要讲话，牢固树立“绿水青山就是金山银山”的科学观，让环保理念深入到学校，某校张老师为了了解本班学生3月植树成活情况，对本班全体学生进行调查，并将调查结果分了三类：A：好，B：中，C：差

（1）求全班学生总人数

（2）将上面的条形统计图与扇形统计图补充完整

（3）张老师在班上随机抽取了4名学生，其中A类1人，B类2人，C类1人，若再从这4人中随机抽取2人，请用画树状图或列表法求出全是B类学生的概率

【思路分析】（1）根据条形图A类学生的人数，扇形图中B类学生占总数的百分比可得出全班学生的总数；

（2）根据全班学生的总数可得出C类学是的人数，进而得出C类和B类学生占总数的百分比，补全统计图即可；

（3）根据题意列出表格，然后根据概率计算公式计算出概率即可.

【解题过程】解：（1）∵10÷25％=40（人），

∴全班学生总人数为40人

（2）∵全班学生总人数为40人，

∴由条形统计图得：C类学生人数40-10-24=6（人）

∴6÷40×100％=15％，

∴C类所占的百分比为15％，

∴由扇形统计图得：B类所占百分比为1-25％-15％=60％，

（3）列表：

∵所有机会均等结果共有12种，全是B类的有2种，

∴P（全是B类）=word/media/image120_1.png=word/media/image121_1.png

【知识点】条形图，扇形图，列表（树状图）求概率

24.（2018四川遂宁，24，10分）如图，某测量小组为了测量山BC的高度，在底面A处测得山顶B的仰角45°，然后沿着坡度为i=1：word/media/image122_1.png的坡面AD走了200米达到D处，此时在D处测得山顶B的仰角为60°，求山高BC（结果保留根号）

【思路分析】首先过点D作DF⊥AC，根据坡度以及锐角三角函数的定义可得出DF的长，进而得出CE的长，然后根据∠BAC=45°，BC⊥AC可得出AD=BD，最后在Rt△BDE中，利用锐角三角函数的定义可得sin∠BDE=word/media/image124_1.png，进而求出BE的长，进而得出山高BC的长.

【解题过程】解：如图所示，过点D作DF⊥AC，垂足为F，

∵坡面AD的坡度i=1：word/media/image122_1.png，且AD=200米，

∴tan∠DAF=word/media/image126_1.png,

∴∠DAF=30°，

∴DF=word/media/image127_1.pngAD=word/media/image127_1.png×200=100，

∵∠DEC=∠BCA=∠DFC=90°，

∴四边形DECF是矩形，

∴EC=BF=100（米）

又∵∠BAC=45°，BC⊥AC，

∴∠ABC=45°，

∵∠BDE=60°，DE⊥BC，

∴∠DBE=90°-∠BDE=90°-60°=30°，

∴∠ABD=∠ABC-∠DBE=45°-30°=15°，

∠BAD=∠BAC-∠DAF=45°-30°=15°，

∴∠ABD=∠BAD，

∴AD=BD=200米，

在Rt△BDE中，sin∠BDE=word/media/image124_1.png,

∴BE=BDsin∠BDE=200×sin60°=200×word/media/image128_1.png=100word/media/image129_1.png

∴BC=BE+EC=100+100word/media/image129_1.png

∴山高为（100+100word/media/image129_1.png）米.

【知识点】锐角三角函数的定义，等腰三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，矩形的判定与性质

25.（2018四川遂宁，25，12分）如图，已知抛物线word/media/image130_1.png的对称轴是直线x=3，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧），与y轴交于C点。

（1）求抛物线的解析式和A、B两点的坐标

（2）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使△PBC的面积最大，若存在，请求出△PBC的最大面积；若不存在，试说明理由

（3）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN=3时，求M点的坐标

【思路分析】（1）首先根据抛物线的对称轴可得出a的值，进而得出抛物线的解析式，然后令y=0，得出A,B的坐标即可；

（2）首先由抛物线解析式得出C点的坐标，进而得出直线BC的解析式，然后连接PB，PC，过P点作PD∥y轴，可得S△PBC=word/media/image133_1.pngPD·OB=word/media/image134_1.png，最后利用二次函数的性质得出结果；

（3）首先根据平行于y轴的直线上两点的距离公式以及MN=3得出word/media/image135_1.png，然后根据绝对值的意义分别求解方程word/media/image135_1.png和word/media/image136_1.png即可.

【解题过程】解：（1）∵抛物线word/media/image130_1.png的对称轴是直线x=3，

∴word/media/image137_1.png，解得a=-word/media/image138_1.png，

∴抛物线解析式为word/media/image139_1.png，

又抛物线与x轴交于点A，B两点，且B点在A点右侧，

令y=0，得word/media/image140_1.png，解得x1=-2，x2=8，

∴A(-2,0)，B（8,0）

（2）∵抛物线与y轴交与点C，

令x=0，得word/media/image141_1.png=4，

∴C(0，4).

设直线BC的解析式：yBC=kx+b(k≠0)，

把B，C两点坐标代入，可得

word/media/image142_1.png，解得word/media/image143_1.png，

∴word/media/image144_1.png,

假设存在，设P（x，y）（0＜x＜8）

连接PB，PC，过点P作PD∥y轴交直线BC于点D，

∴PD=yP-yD=（word/media/image145_1.png）-（word/media/image146_1.png）=word/media/image147_1.png=word/media/image148_1.png

又∵S△PBC=word/media/image133_1.pngPD·OB=word/media/image133_1.png×8×[word/media/image148_1.png]=word/media/image134_1.png

∴当x=4时，△PBC的面积最大，最大面积是16，

又∵0＜x＜8，

∴存在点P使△PBC的面积最大，最大面积是16.

（3）∵M是抛物线上任意一点，

设M点的横坐标为m，

∴M点的纵坐标为yM=word/media/image149_1.png，

∵MN∥y轴，N是直线MN与直线BC交点，

∴N点的纵坐标yN=word/media/image150_1.png，

∵MN=3，

∴word/media/image151_1.png，

∴word/media/image152_1.png，

∴word/media/image135_1.png，

当word/media/image153_1.png时，解得m1=2，m2=6；

当word/media/image154_1.png时，解得m3=4+2word/media/image155_1.png,m4=4-2word/media/image155_1.png

∴M的坐标为（2,6）或（6,4）或（4+2word/media/image155_1.png，-1-word/media/image155_1.png）或（4-2word/media/image155_1.png，-1+word/media/image155_1.png）.

【知识点】二次函数图象与系数的关系，函数图象与坐标轴的交点问题，二次函数的性质，待定系数法求一次函数的解析式，平行于坐标轴的直线上的两点的距离，解一元二次方程