模块综合测试

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．下列有关坐标系的说法，错误的是(　　)

A．在直角坐标系中，通过伸缩变换圆可以变成椭圆

B．在直角坐标系中，平移变换不会改变图形的形状和大小

C．任何一个参数方程都可以转化为直角坐标方程和极坐标方程

D．同一条曲线可以有不同的参数方程

解析：　直角坐标系是最基本的坐标系，在直角坐标系中，伸缩变形可以改变图形的形状，但是必须是相近的图形可以进行伸缩变化得到，例如圆可以变成椭圆；而平移变换不改变图形和大小而只改变图形的位置；对于参数方程，有些比较复杂的是不能化成普通方程的，同一条曲线根据参数选取的不同可以有不同的参数方程．

答案：　C

2．把函数y＝sin2x的图象经过________变化，可以得到函数y＝sinx的图象．(　　)

A．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标伸长为原来的2倍

B．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的2倍

C．横坐标缩短为原来的倍，纵坐标缩短为原来的倍

D．横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的

解析：　本题主要考查直角坐标系的伸缩变换，根据变换的方法和步骤可知，把函数y＝sin2x的图象的横坐标伸长为原来的2倍可得y＝sinx的图象，再把纵坐标缩短为原来的，得到y＝sinx的图象．

答案：　D

3．极坐标方程ρ2－ρ(2＋sinθ)＋2sinθ＝0表示的图形是(　　)

A．一个圆与一条直线　　　　 B．一个圆

C．两个圆 D．两条直线

解析：　所给方程可以化为(ρ－2)(ρ－sinθ)＝0，即ρ＝2或ρ＝sinθ.化成直角坐标方程分别为x2＋y2＝4和x2＋y2－y＝0，可知分别表示两个圆．

答案：　C

4．在极坐标系中，如果一个圆方程是ρ＝4cosθ＋6sinθ，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是(　　)

A．ρsinθ＝3 B．ρsinθ＝－3

C．ρcosθ＝2 D．ρcosθ＝－2

答案：　A

5．将参数方程(θ为参数)化为普通方程为(　　)

A．y＝x－2 B．y＝x＋2

C．y＝x－2(2≤x≤3) D．y＝x＋2(0≤y≤1)

解析：　由知x＝2＋y(2≤x≤3)

所以y＝x－2　(2≤x≤3)．

答案：　C

6．经过点M(1,5)且倾斜角为的直线，以定点M到动点P的位移t为参数的参数方程是(　　)

A． B．

C． D．

解析：　根据直线参数方程的定义，易得，

即.

答案：　D

7．x2＋y2＝1经过伸缩变换，后所得图形的焦距(　　)

A．4 B．2

C．2 D．6

解析：　变换后方程变为：＋＝1，

故c2＝a2－b2＝9－4＝5，c＝，

所以焦距为2.

答案：　C

8．已知直线(t为参数)与圆x2＋y2＝8相交于B、C两点，则|BC|的值为(　　)

A．2 B．

C．7 D．

解析：　⇒

(t′为参数)．

代入x2＋y2＝8，得t′2－3t′－3＝0，

∴|BC|＝|t′1－t′2|＝

＝＝，故选B．

答案：　B

9．已知P点的柱坐标是，点Q的球面坐标为，根据空间坐标系中两点A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)之间的距离公式|AB|＝，可知P、Q之间的距离为(　　)

A． B．

C． D．

解析：　首先根据柱坐标和空间直角坐标之间的关系，把P点的柱坐标转化为空间直角坐标(，，1)，再根据球面坐标与空间直角坐标之间的关系把Q点的球坐标转化为空间直角坐标，代入两点之间的距离公式即可得到距离为.

答案：　B

10．如果直线ρ＝与直线l关于极轴对称，则直线l的极坐标方程是(　　)

A．ρ＝ B．ρ＝

C．ρ＝ D．ρ＝

解析：　由ρ＝知ρcosθ＋2ρsinθ＝1，

∴x＋2y＝1.

答案：　C

11．圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程是(　　)

A． (φ为参数)

B． (θ为参数)

C． (φ为参数)

D． (θ为参数)

解析：　圆心在原点，半径为2的圆的渐开线的参数方程为

答案：　A

12．如图，在平面直角坐标系中，Ω是一个与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别相切于点C、D的定圆所围成的区域(含边界)，A、B、C、D是该圆的四等分点．若点P(x，y)、点P′(x′，y′)满足x≤x′，且y≥y′，则称P优于P′.如果Ω中的点Q满足：不存在Ω中的其他点优于Q，那么所有这样的点Q组成的集合是劣弧(　　)

A． B．

C． D．

解析：　∵x≤x′且y≥y′，

∴点P(x，y)在点P′(x′，y′)的左上方．

∵Ω中不存在优于Q的点，

∴点Q组成的集合是劣弧，故选D．

答案：　D

二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把正确答案填在题中横线上)

13．已知直线的极坐标方程为ρsin＝，则极点到该直线的距离是________

解析：　对于求一点到一条直线的距离问题，我们联想到的是直角坐标系中的距离公式，因此应首选把极坐标平面内的问题化为直角坐标问题的解决方法，这需把极点、直线的方程化为直角坐标系内的点的坐标、直线的方程．极点的直角坐标为O(0,0)，ρsin＝ρ＝，

∴ρsinθ＋ρcosθ＝1，化为直角坐标方程为x＋y－1＝0.

∴点O(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离为d＝＝，

即极点到直线ρsin＝的距离为.

答案：　

14．直线(t为参数)与圆(φ为参数)相切，则此直线的倾斜角α＝________.

解析：　直线：y＝x·tanα，圆：(x－4)2＋y2＝4，如图，sinα＝＝，

∴α＝或π.

答案：　或π.

15．已知直线l的参数方程(t为参数)，若以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin.则圆的直角坐标方程为__________，直线l和圆C的位置关系为__________(填相交、相切、相离)．

解析：　(1)消去参数t，得直线l的普通方程为y＝2x＋1.ρ＝2sin即ρ＝2(sinθ＋cosθ)，两边同乘以ρ得ρ2＝2(ρsinθ＋ρcosθ)，消去参数θ，得⊙C的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2.

(2)圆心C到直线l的距离d＝＝<，

所以直线l和⊙C相交．

答案：　(x－1)2＋(y－1)2＝2；相交

16．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π])，则圆C的圆心坐标为______，圆心到直线l的距离为______.

解析：　直线和圆的方程分别是x＋y－6＝0，x2＋(y－2)2＝22，所以圆心为(0,2)，其到直线的距离为d＝＝2.

答案：　(0,2)　2

三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17．(12分)(1)化ρ＝cosθ－2sinθ.为直角坐标形式并说明曲线的形状；

(2)化曲线F的直角坐标方程：x2＋y2－5－5x＝0为极坐标方程．

解析：　(1)ρ＝cosθ－2sinθ两边同乘以ρ得

ρ2＝ρcosθ－2ρsinθ

∴x2＋y2＝x－2y

即x2＋y2－x＋2y＝0

即2＋(y＋1)2＝2

表示的是以为圆心，半径为的圆．

(2)由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ得

x2＋y2－5－5x＝0的极坐标方程为：

ρ2－5ρ－5ρcosθ＝0.

18．(12分)在极坐标系中，已知圆C的圆心C，半径为1.Q点在圆周上运动，O为极点．

(1)求圆C的极坐标方程；

(2)若P在直线OQ上运动，且满足＝，求动点P的轨迹方程．

解析：　(1)设M(ρ，θ)为圆C上任意一点，

如图，在△OCM中，|OC|＝3，|OM|＝ρ，|CM|＝1，∠COM＝，

根据余弦定理，

得1＝ρ2＋9－2·ρ·3·cos，化简整理，得ρ2－6·

ρcos＋8＝0为圆C的轨迹方程．

(2)设Q(ρ1，θ1)，

则有ρ－6·ρ1cos＋8＝0①

设P(ρ，θ)，则OQ∶QP＝ρ1∶(ρ－ρ1)

＝2∶3⇒ρ1＝ρ，

又θ1＝θ，即

代入①得ρ2－6·ρcos(θ－)＋8＝0，

整理得ρ2－15ρcos＋50＝0为P点的轨迹方程．

19．(12分)已知椭圆C的极坐标方程为ρ2＝，点F1，F2为其左，右焦点，直线l的参数方程为(t为参数，t∈R)．

(1)求直线l和曲线C的普通方程；

(2)求点F1，F2到直线l的距离之和．

解析：　(1)直线l的普通方程为y＝x－2；

曲线C的普通方程为＋＝1.

(2)∵F1(－1,0)，F2(1,0)，

∴点F1到直线l的距离d1＝＝.

点F2到直线l的距离d2＝＝，

∴d1＋d2＝2.

20．(12分)已知直线l过点P(2,0)，斜率为，直线l与抛物线y2＝2x相交于A，B两点，设线段AB的中点为M.

(1)求P、M两点间的距离；

(2)求M点的坐标；

(3)求线段AB的长|AB|.

解析：　(1)∵直线l过点P(2,0)，斜率为，

设倾斜角为α，tanα＝，cosα＝，sinα＝，

∴直线l的参数方程为(t为参数)，

∵直线l与抛物线相交，把直线l的参数方程代入抛物线方程y2＝2x，整理得8t2－15t－50＝0，设这个方程的两个根为t1、t2，则t1＋t2＝，t1·t2＝－.

由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，

得|PM|＝＝.

(2)由(1)知，中点M所对参数为tM＝，

代入直线的参数方程，M点的坐标为，

即M.

(3)由参数t的几何意义，

|AB|＝|t2－t1|＝＝.

21．(12分)如图，自双曲线x2－y2＝1上一动点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN中点P的轨迹方程．

解析：　设点Q的坐标为(secφ，tanφ)，(φ为参数)．

∵QN⊥l，

∴可设直线QN的方程为x－y＝λ ①

将点Q的坐标代入①得：λ＝secφ－tanφ

所以线段QN的方程为x－y＝secφ－tnaφ ②

又直线l的方程为x＋y＝2. ③

由②③解得点N的横坐标xN＝

设线段QN中点P的坐标为(x，y)，

则x＝＝， ④

4×④－②得

3x＋y－2＝2secφ. ⑤

4×④－3×②得

x＋3y－2＝2tanφ. ⑥

⑤2－⑥2化简即得所求的轨迹方程为

2x2－2y2－2x＋2y－1＝0.

22．(14分)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上且长轴长为4，短轴长为2，直线l的参数方程为(t为参数)．当m为何值时，直线l被椭圆截得的弦长为？

解析：　椭圆方程为＋x2＝1，化直线参数方程

为(t′为参数)．

代入椭圆方程得

(m＋t′)2＋42＝4⇔8t′2＋4mt′＋5m2－20＝0

当Δ＝80m2－160m2＋640＝640－80m2>0，

即－2<m<2.

方程有两不等实根t′1，t′2，

则弦长为|t′1－t′2|＝＝

依题意知＝＝，

解得m＝±.