江苏省丹徒高级中学、句容实验高中、扬中二中2019-2020学年高一数学下学期期中试题

考试时间：120分钟 试卷总分150分

一．单项选择题（本大题共8小题,每小题5分,共计40分）.

1. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）

A． B． C． D．

2. 复数的虚部为(　 　)

A．1 B． -1 C． D．

3. 已知向量,则等于( )

A.(5,3) B.(5,1) C.(-1,3) D.(-5,-3)

4. 如图，已知向量，那么下列结论正确的是（ ）

A． B． C． D．

5. 在△ABC中，a＝2，b＝，B＝，则角A为( )

A． B． C． D．或

6. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状为（ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

7. 在边长为2的正方形ABCD中，E,F分别为BC和DC的中点，则（ ）

A． B． C． D．

8. 在△ABC中，A＝60°，b＝1， 求=( )

A． B． C． D．

二．多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.漏选得3分，错选不得分）.

9. 在下列四个命题中，错误的有（ ）

A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率[]

B．直线的倾斜角的取值范围是，

C．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率

D．直线y＝3x﹣2 在y轴上的截距为2

10. 已知复数，则以下说法正确的是（ ）

A．复数的虚部为 B．的共轭复数

C． D．在复平面内与对应的点在第二象限

11. 对于，有如下判断，其中正确的判断是（ ）

A．若，则

B．若，则为等腰三角形

C．若，则是钝角三角形

D． 若，，，则符合条件的有两个

12. 在△ABC中，下列结论正确的是( )

A.;

B.;

C. 若,则△ABC是锐角三角形

D. 若,则△ABC是等腰三角形;

三．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）.

13. 直线l过点M(1，－2)，倾斜角为60°.则直线l的斜截式方程为______________

14. 如图，测量河对岸的塔高时，选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D.现测得，，，并在点C测得塔顶A的仰角为，则塔高=

15. 已知向量，，且与的夹角为锐角，则实数的取值范围是________.

16. 在△中，为边的中点，,, ，则 ．

四．解答题（本大题共6小题，共计70分.解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）

17. 已知复数（其中且为虚数单位），且为纯虚数．

（1）求实数的值；

（2）若，求复数的模．

18. 已知平面向量＝(1，x)，＝(2x＋3，－x)，x∈R.

(1)若⊥，求x的值；

(2)若∥，求|－|的值．

19. 已知，，分别是中角，，的对边，且.

（1）求角的大小；

（2）若，，求的面积.

20. 如图，已知正三角形的边长为1，设，.

（1）若是的中点，用分别表示向量，；

（2）求；

（3）求与的夹角.

21. 已知直线l过点P（3，4）

(1)它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，求直线l的方程.

(2)若直线l与轴，轴的正半轴分别交于点，求△的面积的最小值.

22. 如图，在中，，，.是内一点，且.

（1）若，求线段的长度；

（2）若，求的面积.

高一下学期数学期中试卷参考答案

1.D 2.B 3.A 4.C 5.D 6.B 7. C 8.D

9.BCD 10.CD 11.AC 12.ABD

13. 14.20 15. 16.

17. （1）, ……………………………………………………………2分

因为为纯虚数，所以，解得：． …………………………………………………5分

（2），，………………………………………8分

．…………………………………………………10分

18. (1)若⊥，则·＝(1，x)·(2x＋3，－x)＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0，………………… 3分

整理得x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3. …………………………………5分

(2)若∥，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0，

即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2. ……………………………7分

当x＝0时，＝(1，0)，＝(3，0)，－＝(－2，0)，

∴|－|＝＝2；………………………………………… 9分

当x＝－2时，＝(1，－2)，＝(－1，2)，－＝(2，－4)，

∴|－|＝＝2.……………………………………11分

综上，可知|－|＝2或2.…………………………………………………12分

19.（1）由及正弦定理，………………………2分

得，所以，又，故.……………………………………5分

（2）由及，得.………………………………………7分

由及余弦定理，

得.所以，.……………………………………………10分

故.…………………………………………………12分

20（1），…………………………………………………1分

………………………………3分

（2）由题意知，，且，

则 …………5分

所以 …………………………………………………7分

（3） 与（2）解法相同，可得…………………………………………………9分

设与的夹角为，

则，…………………11分

因为

所以与的夹角为.…………………………………………………12分

(范围不写或写错扣1分)

21.（1）①当直线l过原点时，符合题意，斜率k=，直线方程为，即4x﹣3y=0；.…………………………………………………2分

②当直线l不过原点时，∵它在y轴上的截距是在x轴上截距的2倍，

∴可设直线l的方程为：．

∵直线l过点P（3，4），∴，解得a=5．

∴直线l的方程为：，即2x+y﹣10=0．.………………………………………………5分

综上所述，所求直线l方程为4x﹣3y=0或2x+y﹣10=0．.…………………………………6分

（2）设直线l的方程为（a＞0，b＞0），

由直线l过点P（3，4）得：．.…………………………………8分

∴，化为ab≥48，当且仅当a=6，b=8时取等号．.……………………………10分

∴△AOB的面积==24，其最小值为24．.…………………………………………………12分

22.（1）因为，

所以在中，，，，

所以．.………………………………………2分

在中，，，，

由余弦定理得，所以．.…………………………………………………5分

（2）设，则，

在中，，，，

所以，.……………………………………7分

在中，，，，，

由正弦定理得，.

所以 ，

所以，

又，

所以，.…………………………………………………10分

所以 ..…………………………………………………12分