河南省新乡市高一（下）期末

数学试卷

一.选择题（每小题5分，共60分）

1．下列选项中小于tan的是（　　）

A．sin B．cos C．sin D．cos

2．下列各组向量中能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（　　）

A． =（0，0），=（1，﹣2） B． =（3，2），=（6，4）

C． =（﹣1，2），=（5，7） D． =（﹣3，﹣1），=（3，1）

3．从甲、乙、丙、丁四人任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（　　）

A． B． C． D．

4．若2弧度的圆心角所夹的扇形的面积是4cm2，则该圆心角所对的弧长为（　　）

A．2πcm B．2cm C．4πcm D．4cm

5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

6．函数y=2sin2（x﹣）﹣1是（　　）

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数

7．设D为△ABC所在平面内一点，且=3，则（　　）

A． =﹣+ B． =﹣

C． =﹣ D． =﹣+

8．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76， =﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（　　）

A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元

9．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（　　）

A．93 B．123 C．137 D．167

10．向量=（cosx， +sinx）在向量=（1，1）方向上的投影的最大值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．1+ D．2

11．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数fn（x）=anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f（x）=0.5x6+4x5﹣x4+3x3﹣5x当x=3时的值时，最先计算的是（　　）

A．﹣5×3=﹣15 B．0.5×3+4=5.5

C．3×33﹣5×3=66 D．0.5×36+4×35=1336.6

12．若动直线x=a与函数f（x）=sin（x+）和g（x）=sin（﹣x）的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（　　）

A．1 B．2 C． D．1+

二.填空题（每小题5分，共20分）

13．sin40°cos10°+cos140°sin10°=　　　　　　．

14．某校为了了解学生对周末家庭作业量的态度，拟采用分层抽样的方法分别从高一、高二、高三的高中生中随机抽取一个容量为200的样本进行调查，已知从700名高一、高二学生中共抽取了140名学生，那么该校有高三学生　　　　　　名．

15．已知集合M={x|0＜x≤6}，从集合M中任取一个数x，使得函数y=log2x的值大于1的概率为　　　　　　．

16．给出下列命题：

①存在实数x，使sinx+cosx=；

②若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；

③函数y=sin（x+）是偶函数；

④函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x的图象．

其中正确命题的序号是　　　　　　（把正确命题的序号都填上）

三.解答题（本大题共70分）

17．已知与均为单位向量，它们的夹角为60°．

（Ⅰ）求|﹣3|

（Ⅱ）若x﹣与+x垂直，求x的值．

18．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学同学的成绩如表：

（Ⅰ）求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s；

（Ⅱ）若从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间[68，75）中的概率．

19．化简求值：

（Ⅰ）

（Ⅱ）tan20°+4sin20°．

20．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；

（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．

21．已知点A（2sinx，﹣cosx）、B（cosx，2cosx），记f（x）=•．

（Ⅰ）若x0是函数y=f（x）﹣1的零点，求tanx0的值；

（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最值及对应的x的值．

22．某海滨浴场每年夏季每天的海浪高度y（米）是时间x（0≤x≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（x），下表是每年夏季每天某些时刻的浪高数据：

（1）经观察发现可以用三角函数y=Acosωx+b对这些数据进行拟合，求函数f（x）的表达式；

（2）浴场规定，每天白天当海浪高度高于1.25米时，才对冲浪爱好者开放，求冲浪者每天白天可以在哪个时段到该浴场进行冲浪运动？

2019-2020学年河南省新乡市高一（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一.选择题（每小题5分，共60分）

1．下列选项中小于tan的是（　　）

A．sin B．cos C．sin D．cos

【考点】任意角的三角函数的定义．

【分析】根据特殊角的三角函数值比较大小即可．

【解答】解：tan=，sin=，cos=，sin=1，cos=，

故小于tan的是cos，

故选：B．

2．下列各组向量中能作为表示它们所在平面内的所有向量的基底的是（　　）

A． =（0，0），=（1，﹣2） B． =（3，2），=（6，4）

C． =（﹣1，2），=（5，7） D． =（﹣3，﹣1），=（3，1）

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【分析】可知，两个向量不共线时便可作为基底，这样判断每个选项的两个向量是否共线即可．

【解答】解：根据基底的概念，只要两个向量不共线即可作为基底；

A.，∴向量共线；

B.，∴向量共线；

C．﹣1×7+2×5=3≠0，∴向量不共线；

D.，∴共线；

故选C．

3．从甲、乙、丙、丁四人任选两人参加问卷调查，则甲被选中的概率是（　　）

A． B． C． D．

【考点】古典概型及其概率计算公式．

【分析】先求出基本事件总数，再求出甲没被选中包含的基本事件个数，由此利用对立事件概率计算公式能求出甲被选中的概率．

【解答】解：从甲、乙、丙、丁四人任选两人参加问卷调查，

基本事件总数n==6，

甲没被选中包含的基本事件个数m==3，

∴甲被选中的概率p=1﹣=1﹣=．

故选：A．

4．若2弧度的圆心角所夹的扇形的面积是4cm2，则该圆心角所对的弧长为（　　）

A．2πcm B．2cm C．4πcm D．4cm

【考点】扇形面积公式．

【分析】利用扇形的面积求出扇形的半径，然后由弧长公式求出弧长的值．

【解答】解：设扇形的弧长为l，圆心角大小为α（rad），半径为r，扇形的面积为S，

则：r2===4．解得r=2，

可得：扇形的弧长为l=rα=2×2=4cm．

故选：D．

5．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的k的值是（　　）

A．4 B．5 C．6 D．7

【考点】程序框图．

【分析】根据流程图所示的顺序，逐框分析程序中各变量、各语句的作用可知：该程序的作用是计算满足S=≥100的最小项数

【解答】解：根据流程图所示的顺序，程序的运行过程中各变量值变化如下表：

是否继续循环 S K

循环前/0 0

第一圈 是 1 1

第二圈 是 3 2

第三圈 是 11 3

第四圈 是 2059 4

第五圈 否

∴最终输出结果k=4

故答案为A

6．函数y=2sin2（x﹣）﹣1是（　　）

A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为2π的奇函数

C．最小正周期为π的偶函数 D．最小正周期为2π的偶函数

【考点】三角函数的周期性及其求法．

【分析】由条件利用二倍角的余弦公式、诱导公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的周期性和奇偶性，得出结论．

【解答】解：函数y=2sin2（x﹣）﹣1=﹣[1﹣2sin2（x﹣）]=﹣cos（2x﹣）=﹣sin2x，

故函数是最小正周期为=π的奇函数，

故选：A．

7．设D为△ABC所在平面内一点，且=3，则（　　）

A． =﹣+ B． =﹣

C． =﹣ D． =﹣+

【考点】平面向量的基本定理及其意义．

【分析】根据向量减法的几何意义以及条件便可得出，然后进行向量的数乘运算即可求出向量，从而找出正确选项．

【解答】解：∵；

∴；

∴；

∴．

故选D．

8．为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：

据上表得回归直线方程=x+，其中=0.76， =﹣，据此估计，该社区一户收入为15万元家庭年支出为（　　）

A．11.4万元 B．11.8万元 C．12.0万元 D．12.2万元

【考点】线性回归方程．

【分析】由题意可得和，可得回归方程，把x=15代入方程求得y值即可．

【解答】解：由题意可得=（8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10，

=（6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，

代入回归方程可得═8﹣0.76×10=0.4，

∴回归方程为=0.76x+0.4，

把x=15代入方程可得y=0.76×15+0.4=11.8，

故选：B．

9．某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数为（　　）

A．93 B．123 C．137 D．167

【考点】收集数据的方法．

【分析】利用百分比，可得该校女教师的人数．

【解答】解：初中部女教师的人数为110×70%=77；高中部女教师的人数为150×40%=60，

∴该校女教师的人数为77+60=137，

故选：C．

10．向量=（cosx， +sinx）在向量=（1，1）方向上的投影的最大值为（　　）

A．1 B．﹣1 C．1+ D．2

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】进行向量数量积的坐标运算求出的值，并根据两角和的正弦公式得到，并求出向量的长度，从而便可求出向量在向量方向上的投影，根据正弦函数的最值即可求出该投影的最大值．

【解答】解： =，；

在方向上的投影为： ==；

∴时，在方向上的投影为2．

故选D．

11．秦九韶算法是中国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，对于求一个n次多项式函数fn（x）=anxn+an﹣1xn﹣1+…+a1x+a0的具体函数值，运用常规方法计算出结果最多需要n次加法和乘法，而运用秦九韶算法由内而外逐层计算一次多项式的值的算法至多需要n次加法和n次乘法．对于计算机来说，做一次乘法运算所用的时间比做一次加法运算要长得多，所以此算法极大地缩短了CPU运算时间，因此即使在今天该算法仍具有重要意义．运用秦九韶算法计算f（x）=0.5x6+4x5﹣x4+3x3﹣5x当x=3时的值时，最先计算的是（　　）

A．﹣5×3=﹣15 B．0.5×3+4=5.5

C．3×33﹣5×3=66 D．0.5×36+4×35=1336.6

【考点】秦九韶算法．

【分析】先把一个n次多项式f（x）写成0.5x6+4x5﹣x4+3x3﹣5x=（（（（（0.5x+4）x﹣1）x+3）x+0）x﹣5）x的形式，然后由内向外计算，可得结论．

【解答】解：f（x）=0.5x6+4x5﹣x4+3x3﹣5x=（（（（（0.5x+4）x﹣1）x+3）x+0）x﹣5）x，

然后由内向外计算，最先计算的是0.5×3+4=5.5，

故选：B．

12．若动直线x=a与函数f（x）=sin（x+）和g（x）=sin（﹣x）的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为（　　）

A．1 B．2 C． D．1+

【考点】正弦函数的图象．

【分析】构造函数F（x）=f（x）﹣g（x），根据辅助角公式，对函数的解析式进行化简，再根据正弦函数求出其最值，即可得到答案．

【解答】解：令F（x）=f（x）﹣g（x）

=sin（x+）﹣sin（﹣x）

=sin（x+）﹣cos（x+）

=2sin[（x+）﹣]

=2sinx，

当x=+2kπ，k∈Z时，F（x）取得最大值2；

故|MN|的最大值为2．

故选：B．

二.填空题（每小题5分，共20分）

13．sin40°cos10°+cos140°sin10°=　　．

【考点】两角和与差的正弦函数．

【分析】由条件利用诱导公式、两角差的正弦公式，进行化简所给的式子，可得结果．

【解答】解：sin40°cos10°+cos140°sin10°=sin40°cos10°﹣cos40°sin10°=sin（40°﹣10°）=，

故答案为：．

14．某校为了了解学生对周末家庭作业量的态度，拟采用分层抽样的方法分别从高一、高二、高三的高中生中随机抽取一个容量为200的样本进行调查，已知从700名高一、高二学生中共抽取了140名学生，那么该校有高三学生　300　名．

【考点】分层抽样方法．

【分析】由从700名高一、高二学生中共抽取了140名学生，得到每个个体被抽到的概率，求出高三年级抽取的人数，除以概率得到结果．

【解答】解：∵从700名高一、高二学生中共抽取了140名学生，

∴每个个体被抽到的概率是=，

高三年级有÷=300，

故答案为：300．

15．已知集合M={x|0＜x≤6}，从集合M中任取一个数x，使得函数y=log2x的值大于1的概率为　　．

【考点】几何概型．

【分析】根据对数的性质求出log2x＞1的范围，结合几何概型的概率公式进行求解即可．

【解答】解：依题意，结合y=log2x＞1得2＜x≤6，

则对应的概率P==，

故答案为：．

16．给出下列命题：

①存在实数x，使sinx+cosx=；

②若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；

③函数y=sin（x+）是偶函数；

④函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=cos2x的图象．

其中正确命题的序号是　③④　（把正确命题的序号都填上）

【考点】命题的真假判断与应用．

【分析】利用三角函数的有界性以及平移后图象的变换，即可得出答案．

【解答】解：对命题进行一一判断：

①sinx+cosx=sin（x+）≤，故不存在x是的sinx+cosx=，故①错误；

②若α，β是第一象限角，且α＞β，不妨取α=390°，β=30°，可知cosα=cosβ，故②错误；

③函数y=sin（x+）=cosx是偶函数；故③正确；

④函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数y=sin（2（x+））=sin（2x+）=cos2x的图象，故④正确．

故答案为：③④．

三.解答题（本大题共70分）

17．已知与均为单位向量，它们的夹角为60°．

（Ⅰ）求|﹣3|

（Ⅱ）若x﹣与+x垂直，求x的值．

【考点】平面向量数量积的运算．

【分析】（Ⅰ）可知，并且，根据向量数量积的运算便可求出，这样即可得出||的值；

（Ⅱ）根据向量垂直的充要条件以及向量数量积的运算便可得出，这样即可求出x的值．

【解答】解：（Ⅰ）根据条件，，；

∴=1﹣3+9=7；

∴；

（Ⅱ）∵与垂直；

∴=

==0；

∴x=±1．

18．在某次测验中，有6位同学的平均成绩为75分．用xn表示编号为n（n=1，2，…，6）的同学所得成绩，且前5位同学同学的成绩如表：

（Ⅰ）求第6位同学的成绩x6及这6位同学成绩的标准差s；

（Ⅱ）若从前5位同学中，随机地选2位同学，求恰有1位同学成绩在区间[68，75）中的概率．

【考点】古典概型及其概率计算公式；众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．

【分析】（Ⅰ）第6位同学的成绩x6=75×6﹣70﹣76﹣72﹣70﹣72=90；先求出S2，再求S．

（2）利用等可能事件概率计算公式能求出恰有1位同学成绩在区间[68，75）中的概率．

【解答】解：（Ⅰ）由题意知，

第6位同学的成绩x6=75×6﹣70﹣76﹣72﹣70﹣72=90．

S2= [（70﹣75）2+（76﹣75）2+（72﹣75）2+（70﹣75）2+（72﹣75）2+（90﹣75）2]=49，

∴S==7．

（2）试验发生包含的事件是从5位同学中选2个，共有C52=10种结果，

满足条件的事件是恰有一位成绩在区间（68，75）中，共有C41=4种结果，

根据古典概型概率个数得到P==0.4．

19．化简求值：

（Ⅰ）

（Ⅱ）tan20°+4sin20°．

【考点】三角函数的化简求值．

【分析】（Ⅰ）利用诱导公式化简即可得解．

（Ⅱ）首先利用弦切互化公式及正弦的倍角公式对原式进行变形，再两次运用和差化积公式，同时结合正余弦互化公式，则问题解决．

【解答】（本题满分为12分）

解：（Ⅰ） ====1；…6分

（Ⅱ）tan20°+4sin20°

=

=

=

=

=

=

=．…12分

20．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：

（Ⅰ）在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；

（Ⅱ）西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．

【考点】概率的应用．

【分析】（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，即可估计西安市在该天不下雨的概率；

（Ⅱ）求得4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，可得晴天的次日不下雨的概率，即可得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）在4月份任取一天，不下雨的天数是26，以频率估计概率，估计西安市在该天不下雨的概率为；

（Ⅱ）称相邻的两个日期为“互邻日期对”，由题意，4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的概率为，

从而估计运动会期间不下雨的概率为．

21．已知点A（2sinx，﹣cosx）、B（cosx，2cosx），记f（x）=•．

（Ⅰ）若x0是函数y=f（x）﹣1的零点，求tanx0的值；

（Ⅱ）求f（x）在区间[，]上的最值及对应的x的值．

【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算；正弦函数的图象．

【分析】（1）根据向量数量积的坐标公式结合三角函数的辅助角公式将函数进行化简，解方程求出x0的值即可．

（2）求出2x﹣的范围，结合三角函数的最值性质进行求解即可．

【解答】解：（Ⅰ）f（x）=•=（2sinx，﹣cosx）•（cosx，2cosx）=2sinxcosx﹣2cos2x=sin2x﹣1﹣cos2x=2sin（2x﹣）﹣1，

若x0是函数y=f（x）﹣1的零点，

则f（x0）﹣1=2sin（2x0﹣）﹣1﹣1=0，即sin（2x0﹣）=1，

故2x0﹣=2kπ+，则x0=kπ+，k∈Z，

则tanx0=tan（kπ+）=tan=．

（Ⅱ）当x∈[，]时，2x﹣∈[，]，

当2x﹣=或时，即x=或x=，函数f（x）取得最小值，此时f（x）=2sin﹣1=2×﹣1=1﹣1=0，

当2x﹣=时，即x=，函数f（x）取得最大值，此时f（x）=2sin﹣1=2﹣1=1．

22．某海滨浴场每年夏季每天的海浪高度y（米）是时间x（0≤x≤24，单位：小时）的函数，记作y=f（x），下表是每年夏季每天某些时刻的浪高数据：

（1）经观察发现可以用三角函数y=Acosωx+b对这些数据进行拟合，求函数f（x）的表达式；

（2）浴场规定，每天白天当海浪高度高于1.25米时，才对冲浪爱好者开放，求冲浪者每天白天可以在哪个时段到该浴场进行冲浪运动？

【考点】函数模型的选择与应用．

【分析】（1）根据表格进行分析可知：，ω===，即可得到y=f（x）=，利用f（3）==1.0，解得b即可；

（2）由f（x）＞1.25，即，可得，解得12k﹣2＜x＜12k+2（k∈Z），由于浴场只在白天开放，可知k=1，得到10＜x＜14，即可知道：浴场冲浪者每天白天可以在哪个时段到该浴场进行冲浪运动．

【解答】解：（1）根据表格进行分析可知：，ω===，

∴y=f（x）=，

∵f（3）==1.0，解得b=1．

∴f（x）=．

（2）由f（x）＞1.25，即，化为，

∴，解得12k﹣2＜x＜12k+2（k∈Z），

∵浴场只在白天开放，∴k=1，

∴10＜x＜14，可知：浴场冲浪者每天白天可以在10点至14点时段到该浴场进行冲浪运动．