理科数学高三年级期中考试试题参考答案

1-4、BDAD；5-8、CBAC；9-12、DCBC；13、；14、；15、；16、；

17．⑴ 易知：由题设可知 ………6分

⑵ 由（I）知，

∴

………12分

18.⑴；

∴的最小正周期；

由；解得

∴的单调递减区间为。 ………6分

⑵由，，得

又，∴

又成等差数列，∴

由余弦定理得，解得

周长为 ………12分

19.⑴由列联表可知，

.

∵，

∴能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为市使用共享单车情况与年龄有关. …………4分

⑵①依题意，可知所抽取的10名30岁以上网民中，经常使用共享单车的有（人），

偶尔或不用共享单车的有（人）.

则选出的3人中至少2人经常使用共享单车的概率为. …………8分

②由列联表，可知抽到经常使用共享单位的频率为，

将频率视为概率，即从市市民中任意抽取1人，

恰好抽到经常使用共享单车的市民的概率为.

由题意得，∴；. …………12分

20.⑴在直三棱柱中，

又，平面，，

∴平面，

又∵平面，∴平面平面．· ……………………5分

⑵由（1）可知，

以点为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向，建立坐标系．设

，，，，，，，

，，· ……………………6分

直线的方向向量，平面的法向量，

可知，∴，· ……………………·8分

，，，

设平面的法向量，

∴，∴，· ……………………10分

设平面的法向量，

∴，∴， ……………………11分

记二面角的平面角为，，

∴，

∴二面角的平面角的正弦值为． ……………………12分

21.⑴函数的定义域为，

， ·········1分

①当时，令，解得．

∴的单调递减区间是，单调递增区间是； ·········2分

②当时，令，解得或．

∴在和上单调递增，在上单调递减； ·········3分

③当时，，在上单调递增；· ········4分

④当时，令，解得或，所以在和上单调递增，在

上单调递减． ·········5分

⑵，

①当时，

由（1）知，当时，

，

此时无零点， ·········6分

当时，．

又∵在上单调递增，∴在上有唯一的零点，

∴函数在定义域上有唯一的零点；· ········7分

②当时，

由（1）知，当时，

，此时无零点；· ········8分

当时，，

．

令，，则，，

∵，，在上单调递增，，

∴在上单调递增，得，即．

∴在上有唯一的零点，故函数在定义域上有唯一的零点．·········11分

综合①②知，当时函数在定义域上有且只有一个零点． ……………·12分

22.⑴由得，化为直角坐标方程为，

所以圆的直角坐标系方程为．

由消得，所以直线的普通方程为．…………5分

⑵显然直线过点，

将代入圆的直角坐标方程得，

根据直线参数方程中参数的几何意义知：． ……………………10分

23.⑴若不等式有解，只需的最大值即可．

因为，所以，解得，

所以实数的最大值． ……………………5分

（2）根据（1）知正实数，满足，

由柯西不等式可知，

所以，，因为，均为正实数，

所以(当且仅当时取“=”)． ……………………10分