2018-2019学年安徽省合肥五十中东校区九年级（上）期中数学试卷

一、选择题（每题4分，共40分）

1．（4分）下列二次函数的图象，不能通过函数y＝3x2的图象平移得到的是（　　）

A．y＝3x2+2 B．y＝3（x﹣1）2

C．y＝3（x﹣1）2+2 D．y＝2x2

2．（4分）下列四组线段中，不是成比例线段的是（　　）

A．a＝3 b＝6 c＝2 d＝4

B．a＝1 b＝ c＝ d＝2

C．a＝4 b＝6 c＝5 d＝10

D．a＝2 b＝ c＝ d＝2

3．（4分）若抛物线y＝x2﹣2x+c与y轴的交点为（0，﹣3），则下列说法不正确的是（　　）

A．抛物线的开口向上

B．抛物线的对称轴是x＝1

C．当x＝1时，y的最大值为﹣4

D．当x≥2时，y随x增大而增大

4．（4分）如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若y≤1，则x的范围为（　　）

A．x≥1 B．x≥2 C．x＜0或0＜x≤1 D．x＜0或x≥2

5．（4分）如图，△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，能满足△APC和△ACB相似的条件是（　　）

A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③

6．（4分）如图，反比例函数y＝的图象经过矩形OABC的边AB的中点D，则矩形OABC的面积为（　　）

A．2 B．4 C．5 D．8

7．（4分）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，则点A的对应点A′的坐标是（　　）

A．（﹣2，1） B．（﹣8，4）

C．（﹣8，4）或（8，﹣4） D．（﹣2，1）或（2，﹣1）

8．（4分）已知抛物线y＝（x﹣1）2+k上有三点A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（2，y3），则y1，y2，y3的大小关系为（　　）

A．y1＞y2＞y3 B．y3＞y2＞y1 C．y2＞y3＞y1 D．y2＞y1＞y3

9．（4分）a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　）

A． B．

C． D．

10．（4分）如图所示，已知点E，F分别是△ABC中AC、AB边的中点，BE，CF相交于点G，S△EFG＝1，则四边形BCEF的面积是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

二、填空题（每题5分，共20分）

11．（5分）反比例函数的图象在第一、三象限，则m的取值范围是　 　．

12．（5分）赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数关系式为y＝﹣，当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为　 　米．

13．（5分）如图，平面内有16个格点，每个格点小正方形的边长为1，则图中阴影部分的面积为　 　．

14．（5分）如图，点A的坐标为（1，1），点C是线段OA上的一个动点（不运动至O，A两点），过点C作CD⊥x轴，垂足为D，以CD为边在右侧作正方形CDEF．连接AF并延长交x轴的正半轴于点B，连接OF，若以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，B点的坐标是　 　．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．（8分）已知函数y＝3x2﹣2x﹣1，求出此抛物线与坐标轴的交点坐标．

16．（8分）装卸工人往一辆大型运货车上装载货物，装完货物所需时间y（min）与装载速度x（t/min）之间的函数关系如图：

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）货车到达目的地后开始卸货，如果以1.5t/min的速度卸货，需要多长时间才能卸完货物？

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．（8分）如图所示，小明从路灯下向前走了5米，发现自己在地面上的影子长DE是2米，如果小明的身高是1.6米，那么路灯离地面的高度AB是多少米？

18．（8分）如图，已知反比例函数y＝的图象与一次函数y＝kx+b的图象交于点A（1，m），B（n，2）两点．

（1）求一次函数的解析式；

（2）直接写出不等式≥kx+b的解集．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．（10分）如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起，A为公共顶点，∠BAC＝∠AGF＝90°．AF、AG与边BC的交点分别为D、E（点D不与点B重合，点E不与点C重合）．

（1）图中共有对相似而不全等的三角形；

（2）选取其中一对进行证明．

20．（10分）如图，在直角坐标系中，抛物线经过点A（0，4），B（1，0），C（5，0）

（1）求抛物线的解析式和顶点E坐标；

（2）该抛物线有一点D，使得S△DBC＝S△EBC，求点D的坐标．

六、（本题满分12分）

21．（12分）如图是3×5的网格，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点的图形叫做格点图．

（1）图1中的格点△ABC与△DEF相似吗？请说明理由；

（2）请在图2中选择适当的位似中心作△A1B1C1与△ABC位似，且相似比不为1；

（3）请在图3中画一个格点△A2B2C2与△ABC相似（注意：△A2B2C2与△ABC、△DEF、△A1B1C1都不全等）．

七、（本题满分12分）

22．（12分）俄罗斯世界杯足球赛期间，某商店销售一批足球纪念册，每本进价40元，规定销售单价不低于44元，且获利不高于30%．试销售期间发现，当销售单价定为44元时，每天可售出300本，销售单价每上涨1元，每天销售量减少10本，现商店决定提价销售．设每天销售量为y本，销售单价为x元．

（1）请直接写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

（2）将足球纪念册销售单价定为多少元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大？最大利润是多少元？

八、（本题满分14分）

23．（14分）已知正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O．

（1）如图1，E，G分别是OB，OC上的点，CE与DG的延长线相交于点F．若DF⊥CE，求证：OE＝OG；

（2）如图2，H是BC上的点，过点H作EH⊥BC，交线段OB于点E，连结DH交CE于点F，交OC于点G．若OE＝OG，

①求证：∠ODG＝∠OCE；

②当AB＝1时，求HC的长．

2018-2019学年安徽省合肥五十中东校区九年级（上）期中数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（每题4分，共40分）

1．【解答】解：A、y＝3x2的图象向上平移2个单位得到y＝3x2+2，故A选项错误；

B、y＝3x2的图象向右平移1个单位得到y＝3（x﹣1）2，故B选项错误；

C、y＝3x2的图象向右平移1个单位，向上平移2个单位得到y＝3（x﹣1）2+2，故C选项错误；

D、y＝3x2的图象平移不能得到y＝2x2，故D选项正确．

故选：D．

2．【解答】解：A、3×4＝6×2，是成比例线段，故本选项错误；

B、1×2＝×，是成比例线段，故本选项错误；

C、4×10≠6×5，不是成比例线段，故本选项正确；

D、2×＝×2，是成比例线段，故本选项错误．

故选：C．

3．【解答】解：把（0，﹣3）代入y＝x2﹣2x+c中得c＝﹣3，

抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

所以：抛物线开口向上，对称轴是x＝1，

当x＝1时，y的最小值为﹣4，

当x≥2时，y随x增大而增大

观察选项，B选项符合题意．

故选：C．

4．【解答】解：在第一象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为x≥2；

在第三象限纵坐标为1的以及小于1的函数图象所对应的自变量的取值为x＜0．

故选：D．

5．【解答】解：当∠ACP＝∠B，

∠A公共，

所以△APC∽△ACB；

当∠APC＝∠ACB，

∠A公共，

所以△APC∽△ACB；

当AC2＝AP•AB，

即AC：AB＝AP：AC，

∠A公共，

所以△APC∽△ACB；

当AB•CP＝AP•CB，即＝，

而∠PAC＝∠CAB，

所以不能判断△APC和△ACB相似．

故选：D．

6．【解答】解：∵y＝，

∴OA•AD＝2．

∵D是AB的中点，

∴AB＝2AD．

∴矩形的面积＝OA•AB＝2AD•OA＝2×2＝4．

故选：B．

7．【解答】解：∵点A（﹣4，2），B（﹣6，﹣4），以原点O为位似中心，相似比为，把△ABO缩小，

∴点A的对应点A′的坐标是：（﹣2，1）或（2，﹣1）．

故选：D．

8．【解答】解：因为a＝＞0，开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，

根据二次函数图象的对称性可知，C（2，y3）和（0，y3）关于直线x＝1对称，

因为﹣2＜﹣1＜0，故y1＞y2＞y3，

故选：A．

9．【解答】解：当a＞0时，函数y＝的图象位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项，

当a＜0时，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合；

故选：D．

10．【解答】解：∵点E，F分别是AC、AB边的中点，

∴EF∥BC，EF＝BC，

∴△EFG∽△BCG，

∴＝＝，＝（）2＝，

∴S△BGF＝2S△EFG＝2，S△CGE＝S△EFG＝2，S△BGC＝4S△EFG＝4，

∴四边形BCEF的面积＝1+2+2+4＝9，

故选：C．

二、填空题（每题5分，共20分）

11．【解答】解：∵反比例函数的图象在第一、三象限，

∴m﹣1＞0，

解得m＞1．

故答案为：m＞1．

12．【解答】解：当y＝﹣4时，

﹣4＝﹣，

解得，x1＝﹣10，x2＝10，

∴当水面离桥拱顶的高度DO是4米时，这时水面宽度AB为：10﹣（﹣10）＝20（米），

故答案为：20．

13．【解答】解：如图，

∵GF∥HC，

∴△AGF∽△AHC，

∴＝＝，

∴GF＝HC＝，

∴OF＝OG﹣GF＝2﹣＝．

同理MN＝，则有OM＝．

∴S△OFM＝××＝，

∴S阴影＝1﹣＝．

故答案为：．

14．【解答】解：过点A作AH⊥OB，

∵点A的坐标为（1，1），

∴AH＝OH＝1，∠AOB＝45°，

∴OD＝CD，

设CF＝x，

∵四边形CDEF是正方形，

∴CF∥DE，CD＝CF＝EF＝DE，

∴CD＝CF＝EF＝DE＝x，

∴OE＝OD+DE＝2EF，

∵以B，E，F为顶点的三角形与△OFE相似，

∴①EF＝2EB，则EB＝x，

∴OB＝OE+EB＝2x+x＝x，

∵CF∥DE，

∴△ACF∽△AOB，

∴＝，

即＝1﹣x，

解得x＝，

OB＝×＝，

∴点B的坐标为（，0），

②EB＝2EF时，则EB＝2x，

∴OB＝OE+EB＝2x+2x＝4x，

∵CF∥DE，

∴△ACF∽△AOB，

∴＝，

即＝1﹣x，

解得x＝，

OB＝4x＝4×＝3，

∴点B的坐标为（3，0）．

③如图当点B在点E左边时，设正方形的边长为x，

∵△OEF∽△FEB，

∴OE：EF＝EF：BE＝2：1，

∴BE＝x，OB＝x，

∵＝，

∴＝，

∴x＝，

∴OB＝，

∴B（，0），

综上所述，点B的坐标是（，0）或（3，0）或（，0）．

故答案为：（，0）或（3，0）或（，0）．

三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

15．【解答】解：∵函数y＝3x2﹣2x﹣1，

∴当y＝0时，0＝3x2﹣2x﹣1＝（3x+1）（x﹣1），

解得，x1＝﹣，x2＝1，

当x＝0时，y＝﹣1，

∴此抛物线与坐标轴的交点坐标是（﹣，0），（1，0），（0，﹣1）．

16．【解答】解：（1）x（t/min）代表装载速度，y（min）代表装完货物所需时间，货物的质量m＝xy，

把（0.5，40）代入得货物的质量m＝0.5×40＝20；

由xy＝20得；

（2）当x＝1.5时，

．

需要分钟时间才能卸完货物

四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分）

17．【解答】解：由图知，DE＝2米，CD＝1.6米，AD＝5米，

∴AE＝AD+DE＝5+2＝7米

∵CD∥AB，

∴△ECD∽△EBA

∴

即

∴米．

答：路灯离地面的高度AB是5.6米．

18．【解答】解：（1）把点A（1，m），B（n，2），分别代入得m＝6，2n＝6，解得n＝3，

∴A点坐标为（1，6），B点坐标为（3，2），

把A（1，6），B（3，2）分别代入y＝kx+b得，

解得，

∴一次函数解析式为y＝﹣2x+8；

（2）不等式≥kx+b的解集是0＜x≤1或x≥3．

五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分）

19．【解答】解：（1）图中共有相似而不全等的三角形：△ABE∽△DAE，△ABE∽△DCA，△DAE∽△DCA3对；

（2）∵△ABC与△GAF是等腰直角三角形，

∴∠B＝∠GAF＝∠C＝90°，

∵∠AEB＝∠DEA，

∴△ABE∽△DAE，

∵∠ADC＝∠EDA，∠DAE＝∠C＝45°，

∴△DAE∽△DCA，

∴∠DAC＝∠DEA，

∠B＝∠C，

∴△DAE∽△DCA．

20．【解答】解：（1）由题意，设y＝a（x﹣1）（x﹣5），

代入A（0，4），得，

∴，

∴，

故顶点E坐标为；

（2）∵S△DBC＝S△EBC，

∴两个三角形在公共边BC上的高相等，

又点E到BC的距离为，

∴点D到BC的距离也为，

则（x﹣3）2﹣＝，

解得x＝3±2，

则点D或．

六、（本题满分12分）

21．【解答】解：（1）相似，理由如下：

∵，

∴，故相似

（2）如图2所示：

（3）如图3所示：

七、（本题满分12分）

22．【解答】解：（1）由题意得：y＝﹣10x+740（≤x≤52），

（2）w＝（x﹣40）（﹣10x+740）＝（x﹣57）2+2890，

当x＜57时，w随x的增大而增大，

而44≤x≤52，所以当x＝52时，w有最大值，最大值为2640，

答：将足球纪念册销售单价定为52元时，商店每天销售纪念册获得的利润w元最大，最大利润2640元．

八、（本题满分14分）

23．【解答】（1）证明：如图1中，∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，OD＝OC，

∴∠DOG＝∠COE＝90°，

∴∠OEC+∠OCE＝90°，

∵DF⊥CE，

∴∠OEC+∠ODG＝90°，

∴∠ODG＝∠OCE，

∴△DOG≌△COE（ASA），

∴OE＝OG．

（2）①证明：如图2中，

∵AC，BD为对角线，

∴OD＝OC，

∵OG＝OE，∠DOG＝∠COE＝90°，

∴△ODG≌△OCE，

∴∠ODG＝∠OCE．

②解：设CH＝x，

∵四边形ABCD是正方形，AB＝1，

∴BH＝1﹣x，∠DBC＝∠BDC＝∠ACB＝45°，

∵EH⊥BC，

∴∠BEH＝∠EBH＝45°，

∴EH＝BH＝1﹣x，

∵∠ODG＝∠OCE，

∴∠BDC﹣∠ODG＝∠ACB﹣∠OCE，

∴∠HDC＝∠ECH，

∵EH⊥BC，

∴∠EHC＝∠HCD＝90°，

∴△CHE∽△DCH，

∴＝，

∴HC2＝EH•CD，

∴x2＝（1﹣x）•1，

解得x＝或（舍弃），

∴HC＝．