课时跟踪训练(六)　简单计数问题

1．从4名男生和3名女生中选3人分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派的方案共有(　　)

A．108种　　　　　　　　　 B．186种

C．216种 D．270种

2．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是(　　)

A．CA B．CA

C．CA D．CA

3．(大纲全国卷)将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有(　　)

A．12种 B．18种

C．24种 D．36种

4．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法有

(　　)

A．40种 B．50种

C．60种 D．70种

5．将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有________种．

6.要在如图所示的花圃中的5个区域中种入4种颜色不同的花，要求相邻区域不同色，有________种不同的种法．

7．如图，在∠AOB的两边上，分别有3个点和4个点，连同角的顶点共8个点．这8个点能作多少个三角形？

8．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，求在下列条件下，各有多少种分法？

(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；

(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本．

答案

1．选B　(1)直接法：从4名男生和3名女生中选出3人，至少有1名女生的选派方案可分为三类：①恰好有1名女生，2名男生，有CCA种方法；②恰好有2名女生，1名男生，有CCA种方法；③恰好有3名女生，有CA种方法；由分类加法计数原理得共有CCA＋CCA＋CA＝186种不同的选派方案．

(2)间接法：从全部方案数中减去只派男生的方案数，则有A－A＝186种不同的选派方案．

2．选C　从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是CA.

3．选A　由分步乘法计数原理，先排第一列，有A种方法，再排第二列，有2种方法，故共有A×2＝12种排列方法．

4．选B　先分组再排列，一组2人一组4人有C＝15种不同的分法；两组各3人共有＝10种不同的分法，所以共有(15＋10)×2＝50种不同的乘车方法．

5．解析：有两种满足题意的放法：

(1)1号盒子里放2个球，2号盒子里放2个球，有CC种放法；

(2)1号盒子里放1个球，2号盒子里放3个球，有CC种放法．

综上可得，不同的放球方法共有CC＋CC＝10种．

答案：10

6．解析：区域5有4种种法，区域1有3种种法，区域4有2种种法，若1,3同色，区域2有2种种法，或1,3不同色，区域2有1种种法，所以共有4×3×2×(1×2＋1×1)＝72种不同的种法．

答案：72

7．解：从8个点中，任选3点共有C种选法，其中有一个5点共线和4点共线，故共有C－C－C＝42个不同的三角形．

8．解：(1)分三步完成：

第一步：从9本不同的书中，任取4本分给甲，有C种方法；

第二步：从余下的5本书中，任取3本给乙，有C种方法；

第三步：把剩下的书给丙，有C种方法．

∴共有不同的分法为CCC＝1 260种．

(2)分两步完成：

第一步：按4本、3本、2本分成三组有CCC种方法；

第二步：将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种方法．

∴共有CCCA＝7 560种．