2012年数学一轮复习精品试题第六讲函数的单调性与最大（小）值

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．下列函数中，在区间(0，＋∞)上不是增函数的是(　　)

A．y＝2x＋1　　　　 B．y＝3x2＋1

C．y＝ D．y＝|x|

解析：由函数单调性定义知选C.

答案：C

2．定义在R上的偶函数f(x)的部分图象如图所示，则在(－2,0)上，下列函数中与f(x)的单调性不同的是(　　)

A．y＝x2＋1

B．y＝|x|＋1

C．y＝

D．y＝

解析：利用偶函数的对称性知f(x)在(－2,0)上为减函数．又y＝x2＋1在(－2,0)上为减函数；y＝|x|＋1在(－2,0)上为减函数；y＝在(－2,0)上为增函数，y＝在(－2,0)上为减函数．故选C.

答案：C

3．(2010·北京)给定函数①y＝x；②y＝log (x＋1)；③y＝|x－1|；④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是(　　)

A．①② B．②③

C．③④ D．①④

解析：①是幂函数，其在(0，＋∞)上为增函数，故此项不符合题意；②中的函数是由函数y＝logx向左平移1个单位而得到的，因原函数在(0，＋∞)上为减函数，故此项符合题意；③中的函数图象是函数y＝x－1的图象保留x轴上方的部分，下方的图象翻折到x轴上方而得到的，由其图象可知函数符合题意；④中的函数为指数函数，其底数大于1，故其在R上单调递增，不符合题意，综上可知选择B.

答案：B

4．已知函数f(x)＝若f(2－a2)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－∞，－1)∪(2，＋∞)

B．(－1,2)

C．(－2,1)

D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)

解析：f(x)＝由f(x)的图象可知f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数，由f(2－a2)>f(a)得2－a2>a，即a2＋a－2<0，解得－2<a<1.故选C.

答案：C

5．(2010·抚顺六校第二次模拟)f(x)＝

是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为(　　)

A．(1，＋∞) B．[4,8)

C．(4,8) D．(1,8)

解析：因为f(x)是R上的单调递增函数，所以可得解得4≤a<8，故选B.

答案：B

6．定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x＋4)，当x>2时，f(x)单调递增，如果x1＋x2<4，且(x1－2)(x2－2)<0，则f(x1)＋f(x2)的值(　　)

A．恒小于0 B．恒大于0

C．可能为0 D．可正可负

解析：因为(x1－2)(x2－2)<0，若x1<x2，则有x1<2<x2，即2<x2<4－x1，又当x>2时，f(x)单调递增且f(－x)＝－f(x＋4)，所以有f(x2)<f(4－x1)＝－f(x1)，f(x1)＋f(x2)<0；若x2<x1，同理有f(x1)＋f(x2)<0，故选A.

答案：A

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．若函数f(x)＝|logax|(0<a<1)在区间(a,3a－1)上单调递减，则实数a的取值范围是________．

解析：由于f(x)＝|logax|在(0,1]上递减，在(1，＋∞)上递增，所以0<a<3a－1≤1，解得<a≤，此即为a的取值范围．

答案： <a≤

8．函数f(x)＝ax＋loga(x＋1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为a，则a＝________.

解析：先判断函数的单调性，然后利用单调性可得最值．由于a是底数，要注意分情况讨论．

若a>1，则f(x)为增函数，所以f(x)max＝a＋loga2，f(x)min＝1，依题意得a＋loga2＋1＝a，

即loga2＝－1，解得a＝(舍去)．

若0<a<1，则f(x)为减函数，所以f(x)min＝a＋loga2，f(x)max＝1，依题意得a＋loga2＋1＝a，于是a＝，故填.

答案：

9．已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0<x1<x2<1的任意x1、x2，给出下列结论：

①f(x2)－f(x1)>x2－x1；

②x2f(x1)>x1f(x2)；

③<f.

其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序号都填上)

解析：由f(x2)－f(x1)>x2－x1，可得>1，即两点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))连线的斜率大于1，显然①不正确；由x2f(x1)>x1f(x2)得>，即表示两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．

答案：②③

10．已知函数f(x)＝(a≠1)．

(1)若a>0，则f(x)的定义域是________；

(2)若f(x)在区间(0,1]上是减函数，则实数a的取值范围是________．

解析：(1)当a>0且a≠1时，由3－ax≥0得x≤，即此时函数f(x)的定义域是；

(2)当a－1>0，即a>1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需3－a×1≥0，此时1<a≤3.

当a－1<0，即a<1时，要使f(x)在(0,1]上是减函数，则需－a>0，此时a<0.综上所述，所求实数a的取值范围是(－∞，0)∪(1,3]．

答案：(1)　(2)(－∞，0)∪(1,3]

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上是递增的，求实数a的取值范围．

解：f(x)＝＝＝＋a.

任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－

＝.

∵函数f(x)＝在区间(－2，＋∞)上为增函数，

∴f(x1)－f(x2)<0.

∵x2－x1>0，x1＋2>0，x2＋2>0，

∴1－2a<0，a>.

即实数a的取值范围是.

评析：对于函数单调性的理解，应从文字语言、图形语言和符号语言三个方面进行辨析，做好定性刻画、图形刻画和定量刻画．逆用函数单调性的定义，根据x1－x2与f(x1)－f(x2)是同号还是异号构造不等式，通过分离参数来求其取值范围．

12．已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x>0时，f(x)<0，f(1)＝－.

(1)求证：f(x)在R上是减函数；

(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．

解：(1)解法一：∵函数f(x)对于任意x，y∈R总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，

∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.

再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．

在R上任取x1>x2，则x1－x2>0，

f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)

＝f(x1－x2)．

又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，

∴f(x1－x2)<0，

即f(x1)<f(x2)．

因此f(x)在R上是减函数．

解法二：设x1>x2，

则f(x1)－f(x2)

＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)

＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)

＝f(x1－x2)．

又∵x>0时，f(x)<0，而x1－x2>0，

∴f(x1－x2)<0，

即f(x1)<f(x2)，

∴f(x)在R上为减函数．

(2)∵f(x)在R上是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上也是减函数，

∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分别为f(－3)与f(3)．

而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.

∴f(x)在[－3,3]上的最大值为2，最小值为－2.

13．已知定义域为[0,1]的函数f(x)同时满足：①对于任意的x∈[0,1]，总有f(x)≥0；②f(1)＝1；③若x1≥0，x2≥0，x1＋x2≤1，则有f(x1＋x2)≥f(x1)＋f(x2)．

(1)求f(0)的值；

(2)求f(x)的最大值；

(3)若对于任意x∈[0,1)，总有4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0，求实数a的取值范围．

解：(1)对于条件③，令x1＝x2＝0得f(0)≤0，

又由条件①知f(0)≥0，故f(0)＝0.

(2)设0≤x1<x2≤1，则x2－x1∈(0,1)，

∴f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)≥f(x2－x1)＋f(x1)－f(x1)＝f(x2－x1)≥0.

即f(x2)≥f(x1)，故f(x)在[0,1]上递增，从而f(x)的最大值是f(1)＝1.

(3)因f(x)在[0,1]上是增函数，则f(x)∈[0,1]，又4f2(x)－4(2－a)f(x)＋5－4a≥0⇒a≤对x∈[0,1)恒成立，

设y＝

＝1－f(x)＋≥1，

则a≤1.