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第十讲  重心和形心

目的要求：掌握平面组合图形形心的计算。

教学重点：分割法和负面积法计算形心。

教学难点：对计算形心公式的理解。

教学内容：

§3-4   重心和形心

一、重心的概念：

    1、重心的有关知识，在工程实践中是很有用的，必须要加以掌握。

    2、重力的概念：重力就是地球对物体的吸引力。

    3、物体的重心：物体的重力的合力作用点称为物体的重心。

    无论物体怎样放置，重心总是一个确定点，重心的位置保持不变。

二、  重心座标的公式：

     (1)、重心座标的公式

三、物体质心的坐标公式

    在重心坐标公式中，若将G=mg，Gi＝mig代入并消去g，可得物体的质心坐 标公式如下：

四、均质物体的形心坐标公式

    若物体为均质的，设其密度为ρ，总体积为V,微元的体积为Vi，则G=ρgV,Gi＝ρgVi，代入重心坐标公式，即可得到均质物体的形心坐标公式如下：

    式中V=∑Vi。在均质重力场中，均质物体的重心、质心和形心的位置重合。

五、均质等厚薄板的重心（平面组合图形形心）公式：

    令式中的∑Ai.xi＝A.xc＝Sy；

    ∑Ai.yi＝A.yc＝Sx

    则Sy、Sx分别称为平面图形对y轴和x轴的静矩或截面一次矩。

六、物体重心位置的求法 工程中，几种常见的求物体重心的方法简介如下：

    1、对称法

    凡是具有对称面、对称轴或对称中心的简单形状的均质物体，其重心一定在它的对称面、对称轴和对称中心上。对称法求重心的应用见下图。

    2、试验法对于形状复杂，不便于利用公式计算的物体，常用试验法确定其 重心位置，常用的试验法有悬挂法和称重法。

    （1）、悬挂法

    利用二力平衡公理，将物体用绳悬挂两次，重心必定在两次绳延长线的交点上。

    悬挂法确定物体的重心方法见图

    (2）、称重法

    对于体积庞大或形状复杂的零件以及由许多构件所组成的机械，常用称重法来测定其重心的位置。 例如，用称重法来测定连杆重心位置。如图。

    设连杆的重力为G ,重心 C点与连杆左端的点相距为Xc，量出两支点的距离L，由磅秤读出B端的约束力FB,

    则由   ∑MA(F)=0   FB.L－G.xc＝0

     xc＝FB.L/G

    (3)、分割法：

    工程中的零部件往往是由几个简单基本图形组合而成的，在计算它们的形心时，可先将其分割为几块基本图形，利用查表法查出每块图形的形心位置与面积，然后利用形心计算公式求出整体的形心位置。此法称为分割法。

    下面是平面图形的形心坐标公式：

    (4)、负面积法：

    仍然用分割法的公式，只不过去掉部分的面积用负值。

    3、查表法在工程手册中，可以查出常用的基本几何形体的形心位置计算公式。

    下面列出了几个常用的图形的形心位置计算公式和面积公式。

四、求平面图形的形心举例

例1 热轧不等边角钢的横截面近似简化图形如图所示，求该截面形心的位置。

解:

即所求截面形心C点的坐标为（20.5mm，40.5mm）

由于将去掉部分的面积作为负值，方法二又称为负面积法。

例2 试求如图所示图形的形心。已知R＝100mm，r2＝30mm，r3＝17mm。

解:由于图形有对称轴，形心必在对称轴上，建立坐标系Oxy如图所示，只须求出xc，将图形看成由三部分组成，各自的面积及形心坐标分别为

(4）、求图形的形心坐标。由式形心公式可求得

即所求截面形心C点的坐标为（0mm，40mm）