《数学建模与计算》

生产调度问题—遗传算法

背景及摘要

这是一个典型的Job-Shop动态排序问题。目前调度问题的理论研究成果主要集中在以Job-Shop问题为代表的基于最小化完工时间的调度问题上。一个复杂的制造系统不仅可能涉及到成千上万道车间调度工序，而且工序的变更又可能导致相当大的调度规模。解空间容量巨大，N个工件、M台机器的问题包含种排列。由于问题的连环嵌套性，使得用图解方法也变得不切实际。传统的运筹学方法，即便在单目标优化的静态调度问题中也难以有效应用。

本文给出三个模型。首先通过贪婪法手工求得本问题最优解，既而通过编解码程序随机模拟优化方案得出最优解。最后采用现代进化算法中有代表性发展优势的遗传算法。文章有针对性地选取遗传算法关键环节的适宜方法，采用MATLAB软件实现算法模拟，得出优化方案，并与计算机随机模拟结果加以比较显示出遗传算法之优化效果。 对车间调度系列问题的有效解决具有一定参考和借鉴价值。

一．问题重述

某重型机械厂产品都是单件性的，其中有一车间共有A，B，C，D四种不同设备，现接受6件产品的加工任务，每件产品接受的程序在指定的设备上加工，其工序与加工周期如下表：（S-设备号、T-周期）

( 表一 )

条件：1、每件产品必须按规定的工序加工，不得颠倒；

2、每台设备在同一时间只能担任一项任务。

（每件产品的每个工序为一个任务）

问题：做出生产安排，希望在尽可能短的时间里，完成所接受的全部任务。

要求：给出每台设备承担任务的时间表。

注：在上面，机器 A，B，C，D 即为机器 1，2，3，4，程序中以数字1，2，3，4表示，

说明时则用A，B，C，D

二．模型假设

1．每一时刻，每台机器只能加工一个工件，且每个工件只能被一台机器所加工 ，同时加工过程为不间断；

2．所有机器均同时开工，且工件从机器I 到机器J 的转移过程时间损耗不计；

3．各工件必须按工艺路线以指定的次序在机器上加工多次；

4．操作允许等待，即前一操作未完成，则后面的操作需要等待，可用资源有限。

三．符号说明及初始数据表达分析

- 第i个工件 （i=1…6）

- 机器顺序阵 表示i工件的第 j个操作的机器号

- 第j台机器 （j=1…4）

- 工件排列阵 表示i机器上第j次加工的工件号

- 加工时间阵 为i工件的第 j个操作的时间周期

- 整个任务完成时间

整理数据后得到：

=[ C A B C D 0 0 0 ] = [ 8 2 4 24 6 0 0 0 ]

[ A D B C 0 0 0 0 ] [ 4 5 3 4 0 0 0 0 ]

[ C D A B A 0 0 0 ] [ 3 7 15 20 8 0 0 0 ]

[ B C D A D C 0 0 ] [ 7 6 21 1 16 3 0 0 ]

[ D B C D A C D 0 ] [ 10 4 8 4 12 6 1 0 ]

[ A B A C D A C A ] [ 1 4 7 3 5 2 5 8 ]

上述二阵直接从题目得出，而则是我们要求的。

关于工件的加工时间表：(表二)

关于机器的加工时间表：(表三)

分析：

由于各产品总净加工时间和各机器总净加工时间之中最大值为 75，而总计为247，那么 总时间 C 介于[75，247]。同时各工件加工繁杂程度不一，各机器的任务量也有轻重之别。合理的调度排序是对于节省时间和资源是必要的。

希望最优化答案是75，这样达到最小值，如果答案是75，那么意味着机器D不间断工作,直至全部加工任务完成。

六．遗传算法模型建立和步骤解法

遗传算法（Genetic Algorithm）作为一种优化算法特别适合于对象模型难于建立、搜索空间非常庞大的复杂问题的优化求解。它和模糊控制技术一样，虽然在理论上还没有完善，但是在实践中已经得到了广泛的应用。遗传算法的基本思想是：模仿生物系统“适者生成"的原理，通过选择、复制、交叉、变异等简单操作的多次重复来达到去劣存优的目的，从而获得问题的优化结果。遗传算法的实现由两个部分组成，一是编码与解码，二是遗传操作。其中遗传操作又包括选择、复制、交叉、变异等步骤。

本文根据实际情况采取了1-6整数编码。数字1，2，3，4，5，6分别代表6件待加工产品。

本文遗传算法基本流程:

通过编码，解码程序随机产生N个（有一定数量,如50或100）个体构成初始种群

a) 从初始中群中选取2个具有最优染色体（最有排序方案）的个体作为临时个体（父代）；

b) 如果此2个体中有一个个体通过解码操作能够实现最优排序（即使总时间为75周期），那么结束此算法，得到最优解；

c) 对2个临时个体以一定方式(循环交叉)执行染色体交叉变换和变异选择（小概率,互换操作），产生2个新的个体；

d) 对父代和子代共4个个体进行选择，从中选出最佳的2个个体，做为下一代的父代；

e) 重复执行第二步(b)操作；

f) 如果执行完M步后仍然未得出答案75，那么将目前的最优解作为本算法的最优解答案。

1．编码

随机产生生产的工序操作优先顺序，进行编码，如：K=[ 4 3 5 6 6 2 3 1 4

1 6 3 5 4 5 3 6 6 4 1 5 5 1 3 2 6 2 2 4 4 1 5 6 6 5 ] （注：同时作为下文的染色体之用） 意思为：工件4优先被考虑进行第一次操作，然后3进行其第一步操作，然后5操作，6操作，再6操作其第二步工序，依次进行。如果前后互相不冲突，则可同时在不同机器上操作。

通过排列组合得出，总共有类似K的排列序列 2多种！

当然，这其中只对应解 [75，247]，意味着有大量排列序列对应同一加工方案，而大量加工方案又对应同一时间解。

2．解码

即对编码进行翻译，产生具体可操作工序安排方案，这里采用活动化解码算法。例如工件2第i步操作（记为（2，i），且在机器A上进行）被安排在工件3第j步操作（记为JM（3,j））后面进行，那么如果安排好

（3,j）后，只要（2，i）在工件2已经排序好的操作之后进行，那么操

作（2，i）可插入到机器A处最前可安置的时间段进行。

在这里，一个编码序列对应一个加工方案，而一个加工方案可对应一个或多个编码序列，这就是二者之关系。

3．交叉变换(crossover)

对2个父代临时个体进行染色体交叉变换，采用循环交叉方法（Cycle crossover CX），如父代染色体为：X：[9 2 6 4 7 3 5 8 1]和Y：[3 4 5 8 1 6 7 2 9]，如果随机选到第二位开始交叉，那么X的2对应Y的4，X的4对应Y的8，X的8对应Y的2，这样就确定了以上为不变的染色体，其余位置的染色体互换位置，最后得到: [3 2 5 4 1 6 7 8 9],: [9 4 6 8 7 3 5 2 1],实现交叉变换。

4．变异选择（mutation）

采用互换操作（SWAP），，即随机交换染色体中两不同基因的位置。如上面的染色体为：: [3 2 5 4 1 6 7 8 9] 。随机产生变换位置号，如产生随机数3和5，那么交换数字后得到染色体： [3 2 1 4 5 6 7 8 9]， 变异概率取0.1 。

5．选择操作（selection）

对父代2个体f1,f2和子代2个体f3,f4进行选择，通过编码操作确定具有最优解的2个个体，成为新一代f1和f2 。

如此，通过多次编码和解码随机产生一定数量的个体，选取2个最佳个体进行交叉变换操作，产生2个新个体，然后对4个个体进行选择，产生下一代，如果某时刻通过解码操作得出最优解（所有解的下限，这里是75周期），那么算法结束，否则循环进行，直至预先给定的循环次数达到为止，以最后得到的最优解作为最终最优解。

七．遗传算法模拟（采用MATLAB工具编程）

主程序如下：（子程序见略）

% 本程序为主程序，调用以下各分支程序

task= 'Welcome! Wait a moment please! --- Writer: 孙 卓 明 ,信息 014',

f1=zeros(1,35);f2=zeros(1,35);

while f1==f2; % 此步避免初始染色体 f1,f2 相同，导致以下死循环

[minminmax1,s1]=chushijie(N); % 种群初始化；基于操作的编码策略；活动化解码算法;chushijie(N) 参数 N 为初始种群数

f1=s1 ; minminmax1, % 选取的第一个初始个体

[minminmax2,s2]=chushijie(N); % 再次种群初始化

f2=s2 ; minminmax2, % 选取的第二个初始个体

end;

for e=1:M; % e=1:M 进行 M 次遗传操作（交叉-变异-选择)

[D]=jiaocha(f1,f2); % 交叉变化（循环交叉操作，cycle crossover CX）,选取

f1; f2; “染色体”无需变动部分基因

[f3,f4]=jiaocha_bianyi(f1,f2,D); % 生成交叉后的“染色体”,并进行变异选择

f3; f4;

[f1,f2]=xuanze(f1,f2,f3,f4); % 选择：对父代f1,f2和子代f3,f4进行解码，得出2个

f1; f2; 较优个体，成为下一代的父代

[minmaxf1,a1,b1]=tongbujinzhan(f1); % 求该时刻个体f1的最优时间(因为f1优于f2)

if minmaxf1==75;

f1,a1,b1,minminmax1,minminmax2,minminmax_last=minmaxf1,

task='Finish! Successful! Best answer! Congratulation! ' , return ;

end; end;

f1,a1,b1,minminmax1,minminmax2,minminmax_last=minmaxf1,

if minminmax_last>=90; task='Finish! Action again please!',end;

if minminmax_last>=80&&minminmax_last<90; task='Finish!' , end;

if minminmax_last<80; task='Finish! Successful!', end;

八．遗传算法模拟结果

首先给出最优方案:

在进行某次n=100,m=200的操作后得到模拟最优结果75周期时间：

minminmax1 =83 minminmax2 =78 （二个初始较优个体解）

f1 =[4 5 6 6 3 1 3 6 4 5 6 1 3 2 5 4 5 3 1 5 2 6 4 5 6 4 6 6 4 3 2 2 5 1 1]

（f1为各工件优先选择顺序排列,即“染色体”）

a1 = 5 35 39 64 0 0 0 0 0 （a1,b1为四台机器空闲周期段）

15 24 0 0 0 0 0 0 0

17 53 65 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

b1 =11 38 42 65 0 0 0 0 0

20 35 0 0 0 0 0 0 0

18 54 68 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0

minminmax = 75 （最终最优解）

其中机器A空闲时间段为:5-11,35-38,39-42,64-65; 机器B则为:15-20,24-35; 机器C为:17-18,53-54,65-68;机器D无空闲。

以下为:取不同N和M值情况下数据优化过程以及时间上的比较: ( 表五 )

说明: 以最后一行第一次运行 “96-101-78”为例,96和101分别为2次N取100时得到的100*2个随机解中的最优解,78为经过M=10000代的遗传(交叉变异选择)后得到的最终最优解。

明显地发现: M 的增大所产生的优化效果明显好于N增大产生的优化效果

M 从1-10-100-1000-10000的变化使最优解有从9*--8*--7* 的变化规律，

N 的1-10-100的变化则不明显。

因此相对于随机取解, 经过遗传算法优化之后效果是显著的。

另外对采用遗传算法前后模拟所得数据进行比较:

(表六)

由上表看来,虽然在均值方面相差不显著,但是时间上采用遗传算法之后节约了约三分之二的运行时间,效率显而易见。

[参考文献]：

1． 车间调度与遗传算法 王凌 清华大学出版社

2．数值计算的算法与分析 张可村 赵英良 科学出版社

3．Permutation Based GAs and Ordered Greed Peter G. Anderson,

4．MATLAB6.0 与科学计算 王沫然 电子工业出版社

5．C程序设计（第二版） 潭浩强 清华大学出版社

附录：

子程序一：(种群初始化，得较优个体)

function [minminmax,ss]=chushijie(n) % 种群初始化,以下为编码和解码过程，同时对n次选取最优化个体

Jm=[3 1 2 3 4 0 0 0 ;1 4 2 3 0 0 0 0 ;3 4 1 2 1 0 0 0 ;2 3 4 1 4 3 0 0 ;4 2 3 4 1 3 4 0 ;1 2 1 3 4 1 3 1 ];

minminmax=200;

for d=1:n;

s=0; % 编码程序：基于操作的编码策略

k=1;

for t=1:35 ;

I=randint(1,1,[1,6]);

while Jm(I,1)==0;

I=randint(1,1,[1,6]);

end;

s(k)=I;

k=k+1;

x=1;

while x<=7;

Jm(I,x)=Jm(I,x+1);

x=x+1;

end;

Jm(I,8)=0;

end;

Jm=[3 1 2 3 4 0 0 0 ;1 4 2 3 0 0 0 0 ;3 4 1 2 1 0 0 0 ;2 3 4 1 4 3 0 0 ;4 2 3 4 1 3 4 0 ;1 2 1 3 4 1 3 1 ];

T=[8 2 4 24 6 0 0 0;4 5 3 4 0 0 0 0;3 7 15 20 8 0 0 0;7 6 21 1 16 3 0 0;10 4 8 4 12 6 1 0;1 4 7 3 5 2 5 8 ]; % 解码程序：活动化解码算法

for i=1:6;

k(i)=1;

end ;

for q=1:4;

for x=1:9;

a(q,x)=0;b(q,x)=0;flag_(q)=0;

end;

end;

for p=1:6;

flag(p)=0;

end;

for i=1:35;

q=Jm(s(i),k(s(i))); t=T(s(i),k(s(i))); z=0; v=0;

for x=1:9;

if max(flag(s(i)),a(q,x))+t<=b(q,x)&&z==0 ;

if flag(s(i))<=a(q,x)&&a(q,x)+t==b(q,x);

flag(s(i))=b(q,x); for y=x:8; a(q,y)=a(q,y+1);b(q,y)=b(q,y+1);

end; z=1 ;

elseif flag(s(i))<=a(q,x)&&a(q,x)+t

elseif flag(s(i))>a(q,x)&&a(q,x)+t==b(q,x) ; flag(s(i))=b(q,x);b(q,x)=b(q,x)-t;z=1;

elseif flag(s(i))>a(q,x)&&a(q,x)+t

for y=8:x+2;

a(q,y)=a(q,y-1);b(q,y)=b(q,y-1);

end;

b(q,x+1)=b(q,x);b(q,x)=flag(s(i));a(q,x+1)=flag(s(i))+t; flag(s(i))=a(q,x+1);z=1;

end;

end;

end;

if z==0;

if flag(s(i))<=flag_(q);

flag(s(i))=flag_(q)+t;

flag_(q)=flag_(q)+t;

elseif flag(s(i))>flag_(q);

for x=1:9;

if a(q,x)==0&&v==0;

a(q,x)=flag_(q);b(q,x)=flag(s(i));v=1;

end; end;flag(s(i))=flag(s(i))+t;

flag_(q)=flag(s(i));

end;

end;

k(s(i))=k(s(i))+1;

end;

minmax=0;

for q=1:4;

if minmax

minmax=flag_(q);

end;

end;

if minminmax>minmax ; % 得出初始最优解

minminmax=minmax ;ss=s ;

end ;

end;

子程序二：（父代交叉变换）

function [D]=jiaocha(f1,f2) % 交叉变化（循环交叉操作，CX）,选取“染色体”无需变动部分基因

s=randint(1,1,[1,35]);

while f1(s)==f2(s);

s=randint(1,1,[1,35]);

end;

for p=1:34;

D(p)=0;

end;

z=0;j=1;D(j)=s;j=j+1;

for i=1:35;

if f1(i)==f2(s)&&z==0 ;

D(j)=i;j=j+1;z=1;

end;

end;

if f2(D(j-1))==f1(s);

return;

end;

for m=1:34;

z=0;

for i=1:35;

if f1(i)==f2(D(j-1)) && z==0 ;

w=0; for t=3:j;

if (i-D(t-1))>0||(i-D(t-1))<0;

w=w+1; end;

end;

if w==j-2;

D(j)=i; j=j+1;z=1;

end ;

end ;

end;

if f2(D(j-1))==f1(s)&&z==1;

return;

end;

end;

end;

子程序三：（变异选择，形成子代）

function [f3,f4]=jiaocha_bianyi(f1,f2,D) % 生成交叉后的“染色体”,并进行变异选择

g2=f1;g1=f2;

for i=1:34;

if D(i)>0;

g1(D(i))=f1(D(i));g2(D(i))=f2(D(i));

end;

end;

f3=g1;f4=g2;

c=randint(1,1,[1,100]);

if c==1 ;

d1=randint(1,1,[1,35]);

d2=randint(1,1,[1,35]);

while d1==d2;

d2=randint(1,1,[1,35]);

end;

m=f3(d1);f3(d1)=f3(d2);f3(d2)=m;

elseif c==2;

d1=randint(1,1,[1,35]);

d2=randint(1,1,[1,35]);

while d1==d2;

d2=randint(1,1,[1,35]);

end; m=f4(d1);f4(d1)=f4(d2);f4(d2)=m;

end;

子程序四：（四者中选取最优二个体）

function [f1,f2]=xuanze(f1,f2,f3,f4) % 对父代f1,f2和子代f3,f4进行解码，得出2个较优个体，成为下一代的父代

min1=0;min2=0;min3=0;min4=0;h=0;g=0;

[min1]=tongbujinzhan(f1);

[min2]=tongbujinzhan(f2);

[min3]=tongbujinzhan(f3);

[min4]=tongbujinzhan(f4);

if min1<=min2&&min1<=min3&&min1<=min4 ;

h=f1 ; if min2<=min3&&min2<=min4; g=f2;

elseif min3<=min2&&min3<=min4; g=f3;

elseif min4<=min2&&min4<=min3; g=f4;

end;

elseif min2<=min1&&min2<=min3&&min2<=min4 ;

h=f2; if min1<=min3&&min1<=min4 ; g=f1;

elseif min3<=min1&&min3<=min4 ; g=f3;

elseif min4<=min1&&min4<=min3 ; g=f4;

end;

elseif min3<=min1&&min3<=min2&&min3<=min4 ;

h=f3; if min1<=min2&&min1<=min4 ; g=f1;

elseif min2<=min1&&min2<=min4 ; g=f2;

elseif min4<=min1&&min4<=min2 ; g=f4;

end;

elseif min4<=min1&&min4<=min2&&min4<=min3 ;

h=f4; if min1<=min2&&min1<=min3 ; g=f1;

elseif min2<=min1&&min2<=min3 ; g=f2;

elseif min3<=min1&&min3<=min2 ; g=f3;

end;

end;

end;

f1=h;f2=g;

while f1==f2;

[minminmax3,s1]=chushijie(30);

f2=s1;

end;

子程序五：（循环之中，同步求解）

function [minmaxf1,a1,b1]=tongbujinzhan(f1) % 求该时刻个体f1的最优时间

Jm=[3 1 2 3 4 0 0 0 ;1 4 2 3 0 0 0 0 ;3 4 1 2 1 0 0 0 ;2 3 4 1 4 3 0 0 ;4 2 3 4 1 3 4 0 ;1 2 1 3 4 1 3 1 ];

T=[8 2 4 24 6 0 0 0;4 5 3 4 0 0 0 0;3 7 15 20 8 0 0 0;7 6 21 1 16 3 0 0;10 4 8 4 12 6 1 0;1 4 7 3 5 2 5 8 ];

s=f1 ; % 解码程序：活动化解码算法

for i=1:6;

k(i)=1;

end ;

for q=1:4;

for x=1:9;

a(q,x)=0;b(q,x)=0;flag_(q)=0;

end;

end;

for p=1:6;

flag(p)=0;

end;

for i=1:35;

q=Jm(s(i),k(s(i))); t=T(s(i),k(s(i))); z=0; v=0;

for x=1:9;

if max(flag(s(i)),a(q,x))+t<=b(q,x)&&z==0 ;

if flag(s(i))<=a(q,x)&&a(q,x)+t==b(q,x);

flag(s(i))=b(q,x); for y=x:8; a(q,y)=a(q,y+1);b(q,y)=b(q,y+1);

end; z=1 ;

elseif flag(s(i))<=a(q,x)&&a(q,x)+t

elseif flag(s(i))>a(q,x)&&a(q,x)+t==b(q,x) ; flag(s(i))=b(q,x);b(q,x)=b(q,x)-t;z=1 ;

elseif flag(s(i))>a(q,x)&&a(q,x)+t

for y=8:x+2;

a(q,y)=a(q,y-1);b(q,y)=b(q,y-1);

end;

b(q,x+1)=b(q,x);b(q,x)=flag(s(i));a(q,x+1)=flag(s(i))+t; flag(s(i))=a(q,x+1);z=1;

end;

end;

end;

if z==0;

if flag(s(i))<=flag_(q);

flag(s(i))=flag_(q)+t;

flag_(q)=flag_(q)+t;

elseif flag(s(i))>flag_(q);

for x=1:9;

if a(q,x)==0&&v==0; a(q,x)=flag_(q);b(q,x)=flag(s(i));v=1;

end; end;flag(s(i))=flag(s(i))+t;flag_(q)=flag(s(i));

end;

end;

k(s(i))=k(s(i))+1;

end;

minmaxf1=0;

for q=1:4;

if minmaxf1

minmaxf1=flag_(q);

end;

end;

a1=a; b1=b;