负反馈控制系统的开环传递函数为

（1）、

（2）、

做系统根轨迹图。

解（1）：传递函数已为标准零极点令

可得开环极点为

则，，有条根轨迹终止于无穷远处

极点将实轴分为四个区间，仅有区间和有根轨迹因为两端均为极点，则存在分离点为：

解出

根据实轴上根轨迹确定方法可知不在根轨迹上，为该系统的分离点。

与实轴的交点为

与实轴正方向的夹角为：

，

，

，

根轨迹与虚轴的焦点和对应的临界增益值，由开环传递函数可知，系统的闭环特征方程为

令，上式变为

实部与虚部分别为零，即

解得

根据以上结果。绘制出大概的根轨迹图形如下

Mutlab绘根轨迹图

G=tf(1,[conv([1,1],[1,3]),0]);

rlocus (G);

grid

解（2）：

传递函数已为标准零极点令

可得开环极点为

3条分支中一条终止于开环零点，则，，有条根轨迹终止于无穷远处

极点将实轴分为四个区间，仅有区间和有根轨迹因为两端均为极点，则存在分离点为：

解出

根据实轴上根轨迹确定方法可知为系统的会和点，为该系统的分离点。

与实轴的交点为

与实轴正方向的夹角为：

，

，

，

根轨迹与虚轴的焦点和对应的临界增益值，由开环传递函数可知，系统的闭环特征方程为

其劳斯行列表为

使第一列中项等于零的k值，就是临界，有方程

再求解由行得到辅助方程

Mutlab绘根轨迹图：

den=[conv([1,1],[1,3]),0];

num=[1,2];

G=tf(num,den);

rlocus (G);

grid