2．3.1　离散型随机变量的均值

　1.通过实例理解离散型随机变量均值的概念，能计算简单离散型随机变量的均值．　2.理解离散型随机变量均值的性质．

3．会利用离散型随机变量的均值，反映离散型随机变量取值水平，解决一些相关的实际问题．

1．离散型随机变量的均值或数学期望

(1)定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为

则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．

(2)意义：离散型随机变量X的均值或数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(3)性质：如果X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b(其中a，b为常数)也是随机变量，且E(Y)＝E(aX＋b)＝aE(X)＋ B．

随机变量的均值与样本平均值的关系：随机变量的均值是一个常数，它不依赖于样本的抽取，而样本平均值是　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

一个随机变量，它随样本抽取的不同而变化．对于简单随机样本，随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近总体的均值．

2．两点分布、二项分布的均值

(1)若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p(p为成功概率)．

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝np．

判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)随机变量X的数学期望E(X)是个变量，其随X的变化而变化．(　　)

(2)随机变量的均值与样本的平均值相同．(　　)

(3)若随机变量X的数学期望E(X)＝2，则E(2X)＝4.(　　)

答案：(1)×　(2)×　(3)√

若X～B，则E(X)的值为(　　)

A．4　　　　　　　　　　 B．2

C．1 D.

答案：B

随机变量X的分布列为

则X的均值是(　　)

A．2 B．2.1

C．2.3 D．随m的变化而变化

答案：B

设X的分布列为

，Y＝2X＋5，则E(Y)＝________．

答案：

探究点1　求离散型随机变量的均值

　赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金(单位：元)；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金(单位：元)．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则E(ξ1)－E(ξ2)＝________元．

【解析】　赌金的分布列为

所以E(ξ1)＝(1＋2＋3＋4＋5)＝3.

奖金的分布列为

所以E(ξ2)＝1.4×＝2.8.

E(ξ1)－E(ξ2)＝0.2.

【答案】　0.2

求离散型随机变量的均值的步骤

(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值．

(2)求概率：求X取每个值的概率．

(3)写分布列：写出X的分布列．　

(4)求均值：由均值的定义求出E(X)，其中写出随机变量的分布列是求解此类问题的关键所在．

　1.(2018·广东广州模拟)已知某一随机变量ξ的分布列如下表所示，若E(ξ)＝6.3，则a的值为(　　)

A.4　　　　　　　　　　 B．5

C．6 D．7

解析：选A.根据随机变量ξ的分布列可知b＋0.1＋0.4＝1，所以b＝0.5.又E(ξ)＝ab＋7×0.1＋9×0.4＝6.3，所以a＝4.

2．某商店试销某种商品20天，获得如下数据：

试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．

(1)求当天商店不进货的概率；

(2)记X为第二天开始营业时该商品的件数，求X的分布列和数学期望．

解：(1)P(当天商店不进货)＝P(当天商店销售量为0件)＋P(当天商店销售量为1件)＝＋＝.

(2)由题意知X的可能取值为2，3，P(X＝2)＝P(当天商品销售量为1件)＝＝，

P(X＝3)＝P(当天商品销售量为0件)＋P(当天商品销售量为2件)＋P(当天商品销售量为3件)＝＋＋＝.

故X的分布列为

所以X的数学期望为E(X)＝2×＋3×＝.

探究点2　离散型随机变量均值的性质

　已知随机变量X的分布列为：

(1)求E(X)；

(2)若Y＝2X－3，求E(Y)．

【解】　(1)由随机变量分布列的性质，得

＋＋＋m＋＝1，解得m＝，

所以E(X)＝(－2)×＋(－1)×＋0×＋1×＋2×＝－.

(2)法一：由公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b，得

E(Y)＝E(2X－3)＝2E(X)－3

＝2×(－)－3＝－.

法二：由于Y＝2X－3，所以Y的分布列如下：

所以E(Y)＝(－7)×＋(－5)×＋(－3)×＋(－1)×＋1×＝－.

[变问法]本例条件不变，若ξ＝aX＋3，且E(ξ)＝－，求a的值．

解：E(ξ)＝E(aX＋3)＝aE(X)＋3＝－a＋3＝－，

所以a＝15.

与离散型随机变量性质有关问题的解题思路

若给出的随机变量ξ与X的关系为ξ＝aX＋b，a，b为常数．一般思路是先求出E(X)，再利用公式E(aX＋b)＝aE(X)＋b求E(ξ)．也可以利用X的分布列得到ξ的分布列，关键由X的取值计算ξ的取值，对应的概率相等，再由定义法求得E(ξ)．　

　已知随机变量ξ的分布列为

若η＝aξ＋3，E(η)＝，则a＝(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选B.由分布列的性质得＋＋m＝1，所以m＝，

所以E(ξ)＝－1×＋0×＋1×＝－，

法一：E(η)＝E(aξ＋3)＝aE(ξ)＋3

＝－a＋3＝.

所以a＝2.

法二：因为η＝aξ＋3，所以η的分布列如下：

E(η)＝(－a＋3)×＋3×＋(a＋3)×＝.

所以a＝2.

探究点3　两点分布与二项分布的均值

　某商场为刺激消费，拟按以下方案进行促销：顾客每消费500元便得到抽奖券一张，每张抽奖券的中奖概率为，若中奖，商场返还顾客现金100元．某顾客现购买价格为2 300元的台式电脑一台，得到抽奖券四张．每次抽奖互不影响．

(1)设该顾客抽奖后中奖的抽奖券张数为X，求随机变量X的分布列；

(2)设该顾客购买台式电脑的实际支出为Y(元)，用X表示Y，并求随机变量Y的均值.

【解】　(1)因为每张奖券是否中奖是相互独立的，

因此X～B.

所以P(X＝0)＝C×＝，P(X＝1)＝C×＝.

P(X＝2)＝C×＝，P(X＝3)＝C×＝，

P(X＝4)＝C×＝.

所以离散型随机变量X的分布列为

(2)因为X～B，所以E(X)＝4×＝2.

又由题意可知Y＝2 300－100X，

所以E(Y)＝E(2 300－100X)＝2 300－100E(X)＝2 300－100×2＝2 100(元)．

即所求随机变量Y的均值为2 100元．

(1)如果随机变量X服从两点分布，则其期望值E(X)＝p(p为成功概率)．

(2)如果随机变量X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np.

以上两特例可以作为常用结论，直接代入求解，从而避免了繁杂的计算过程．　

　某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是，出现绿灯的概率都是.记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：

(1)求ξ＝2时的概率；

(2)求ξ的数学期望．

解：(1)依题意知：ξ＝2表示4盏装饰灯闪烁一次时，恰好有2盏灯出现红灯，而每盏灯出现红灯的概率都是，故ξ＝2时的概率P＝C ()2×()2＝.

(2)法一：ξ的所有可能取值为0，1，2，3，4，依题意知：P(ξ＝k)＝C ()k·()4－k(k＝0，1，2，3，4)．

所以ξ的概率分布列为

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝.

法二：因为ξ服从二项分布，即ξ～B(4，)，

所以E(ξ)＝4×＝.

探究点4　均值问题的实际应用

　(2016·高考全国卷Ⅰ)某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．

(1)求X的分布列；

(2)若要求P(X≤n)≥0.5，确定n的最小值；

(3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据，在n＝19与n＝20之中选其一，应选用哪个？

【解】　(1)由柱状图并以频率代替概率可得，1台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0.2，0.4，0.2，0.2，从而

P(X＝16)＝0.2×0.2＝0.04；

P(X＝17)＝2×0.2×0.4＝0.16；

P(X＝18)＝2×0.2×0.2＋0.4×0.4＝0.24；

P(X＝19)＝2×0.2×0.2＋2×0.4×0.2＝0.24；

P(X＝20)＝2×0.2×0.4＋0.2×0.2＝0.2；

P(X＝21)＝2×0.2×0.2＝0.08；

P(X＝22)＝0.2×0.2＝0.04.

所以X的分布列为

(2)由(1)知P(X≤18)＝0.44，P(X≤19)＝0.68，故n的最小值为19.

(3)记Y表示2台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)．

当n＝19时，

E(Y)＝19×200×0.68＋(19×200＋500)×0.2＋(19×200＋2×500)×0.08＋(19×200＋3×500)×0.04＝4 040.

当n＝20时，

E(Y)＝20×200×0.88＋(20×200＋500)×0.08＋(20×200＋2×500)×0.04＝4 080.

可知当n＝19时所需费用的期望值小于当n＝20时所需费用的期望值，故应选n＝19.

(1)实际问题中的均值问题

均值在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益等，都可以通过随机变量的均值来进行估计．　

(2)概率模型的解答步骤

①审题，确定实际问题是哪一种概率模型，可能用到的事件类型，所用的公式有哪些；

②确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值；

③对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论．

　某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得3分；未中奖则不得分．每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

(1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为X，求X≤3的概率；

(2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？

解：(1)由已知得小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，两人中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”为事件A，

则事件A的对立事件为“X＝5”，

因为P(X＝5)＝×＝，

所以P(A)＝1－P(X＝5)＝.

所以这两人的累计得分X≤3的概率为.

(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖的次数为X2，

则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．

由已知得X1～B，

X2～B，

所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，

所以E(2X1)＝2E(X1)＝，

E(3X2)＝3E(X2)＝.

因为E(2X1)>E(3X2)，

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．

1．口袋中有编号分别为1、2、3的三个大小和形状相同的小球，从中任取2个，则取出的球的最大编号X的均值为(　　)

A.　　　　　　　　　　 B.

C．2 D.

解析：选D.X可能取值为2，3.

P(X＝2)＝＝，

P(X＝3)＝＝.

所以E(X)＝×2＋×3＝2＋＝.

2．毕业生小王参加人才招聘会，分别向A，B两个公司投递个人简历．假定小王得到A公司面试的概率为，得到B公司面试的概率为p，且两个公司是否让其面试是独立的．记ξ为小王得到面试的公司个数．若ξ＝0时的概率P(ξ＝0)＝，则随机变量ξ的数学期望E(ξ)＝________．

解析：由题意，得P(ξ＝2)＝p，P(ξ＝1)＝(1－p)＋p＝，

ξ的分布列为

由＋＋p＝1，得p＝.

所以E(ξ)＝0×＋1×＋2×p＝.

答案：

3．某班将要举行篮球比赛，比赛规则是：每位选手可以选择在A区投篮2次或选择在B区投篮3次，在A区每进一球得2分，不进球得0分；在B区每进一球得3分，不进球得0分，得分高的选手胜出．已知某参赛选手在A区和B区每次投篮进球的概率分别是和.如果以投篮得分的期望值高作为选择的标准，问该选手应该选择哪个区投篮？请说明理由．

解：设该选手在A区投篮的进球数为X，则X～B，故E(X)＝2×＝.

则该选手在A区投篮得分的期望为2×＝3.6，

设该选手在B区投篮的进球数为Y，则Y～B，

故E(Y)＝3×＝1，则该选手在B区投篮得分的期望为3×1＝3，

因为3.6>3，所以该选手应选择在A区投篮．

,　　　　　　　 [A　基础达标]

1．已知ξ～B(n，)，η～B(n，)，且E(ξ)＝15，则E(η)等于(　　)

A．5　　　　　　　　　　 B．10

C．15 D．20

解析：选B.因为E(ξ)＝n＝15，所以n＝30，

所以η～B(30，)，所以E(η)＝30×＝10.

2．设ξ的分布列为

又设η＝2ξ＋5，则E(η)等于(　　)

A. B.

C. D.

解析：选D.E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝，

E(η)＝E(2ξ＋5)＝2E(ξ)＋5＝2×＋5＝.

3．某人进行一项试验，若试验成功，则停止试验，若试验失败，再重新试验一次，若试验3次均失败，则放弃试验．若此人每次试验成功的概率为，则此人试验次数ξ的均值是(　　)

A. B.

C. D.

解析：选B.试验次数ξ的可能取值为1，2，3，

则P(ξ＝1)＝，

P(ξ＝2)＝×＝，

P(ξ＝3)＝××(＋)＝.

所以ξ的分布列为

所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＝.

4．两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，则A邮箱的信件数X的数学期望E(X)＝(　　)

A. B.

C. D.

解析：选B.两封信随机投入A，B，C三个空邮箱，共有32＝9(种)情况．则投入A邮箱的信件数X的概率P(X＝2)＝＝，P(X＝1)＝＝，所以P(X＝0)＝1－P(X＝2)－P(X＝1)＝.所以离散型随机变量X的分布列为

所以E(X)＝0＋1×＋2×＝.故选B.

5．甲、乙两名射手一次射击得分(分别用X1，X2表示)的分布列如下：

甲得分：

乙得分：

则甲、乙两人的射击技术是(　　)

A．甲更好 B．乙更好

C．甲、乙一样好 D．不可比较

解析：选B.因为E(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙更好些．

6．某电视台开展有奖答题活动，每次要求答30个选择题，每个选择题有4个选项，其中有且只有一个正确答案，每一题选对得5分，选错或不选得0分，满分150分，规定满100分拿三等奖，满120分拿二等奖，满140分拿一等奖．有一个选手选对任一题的概率都是0.8，则该选手可能拿到________等奖．

解析：选对题的个数X服从二项分布，即X～B(30，0.8)，所以E(X)＝30×0.8＝24，由于24×5＝120(分)，所以可能拿到二等奖．

答案：二

7．体育课的排球发球项目考试的规则是：每位学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为p(p≠0)，发球次数为X，若X的数学期望E(X)>1.75，则p的取值范围是________．

解析：由已知条件可得P(X＝1)＝p，P(X＝2)＝(1－p)p，P(X＝3)＝(1－p)2p＋(1－p)3＝(1－p)2，则E(X)＝P(X＝1)＋2P(X＝2)＋3P(X＝3)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>1.75，解得p>或p<，又由p∈(0，1)，可得p∈(0，)．

答案：(0，)

8．某日A、B两个沿海城市受台风袭击(相互独立)的概率相同，已知A市或B市受台风袭击的概率为0.36，若用X表示这一天受台风袭击的城市个数，则E(X)＝________．

解析：设A、B两市受台风袭击的概率均为p，则A市和B市均不受台风袭击的概率为(1－p)2＝1－0.36，解得p＝0.2或p＝1.8(舍去)，则P(X＝0)＝1－0.36＝0.64，P(X＝1)＝2×0.8×0.2＝0.32，P(X＝2)＝0.2×0.2＝0.04，所以E(X)＝0×0.64＋1×0.32＋2×0.04＝0.4.

答案：0.4

9．已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束．

(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；

(2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X的分布列和均值(数学期望)．

解：(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A，P(A)＝＝.

(2)X的可能取值为200，300，400.

P(X＝200)＝＝，

P(X＝300)＝＝，

P(X＝400)＝1－P(X＝200)－P(X＝300)＝1－－＝.

故X的分布列为

E(X)＝200×＋300×＋400×＝350.

10．(2018·陕西西安长安一中高二下学期期中)如图是预测到的某地5月1日至14日的空气质量指数(AQI)趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择5月1日至5月13日中的某一天到达该市，并停留2天．

(1)求此人到达当日空气质量优良的概率；

(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与均值．

解：设Ai表示事件“此人于5月i日到达该地”(i＝1，2，…，13)．

依据题意P(Ai)＝.

(1)设B表示事件“此人到达当日空气质量优良”，则P(B)＝.

(2)离散型随机变量X的所有可能取值为0，1，2.

P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝.

所以随机变量X的分布列为

所以随机变量X的均值为E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

[B　能力提升]

11．某中学选派40名学生参加北京市高中生技术设计创意大赛的培训，他们参加培训的次数统计如表所示：

(1)从这40名学生中任选3名，求这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率；

(2)从这40名学生中任选2名，用X表示这2人参加培训次数之差的绝对值，求随机变量X的分布列及数学期望E(X)．

解：(1)这3名学生中至少有2名学生参加培训次数恰好相等的概率P＝1－＝.

(2)由题意知X＝0，1，2，

P(X＝0)＝＝，

P(X＝1)＝＝，

P(X＝2)＝＝，

则随机变量X的分布列为

所以X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

12．某游戏射击场规定：①每次游戏射击5发子弹；②5发全部命中奖励40元，命中4发不奖励，也不必付款，命中3发或3发以下，应付款2元．现有一游客，其命中率为.

(1)求该游客在一次游戏中5发全部命中的概率；

(2)求该游客在一次游戏中获得奖金的均值．

解：(1)设5发子弹命中X(X＝0，1，2，3，4，5)发，由题意知X～B(5，)，则由题意有P(X＝5)＝C ()5＝.

(2)X的分布列为

设游客在一次游戏中获得资金为Y元，

于是Y的分布列为

故该游客在一次游戏中获得资金的均值为

E(Y)＝(－2)×＋0×＋40×＝－.

13．(选做题)某煤矿发生透水事故时，作业区有若干人员被困．救援队从入口进入后，有L1，L2两条巷道通往作业区(如图)．L1巷道有A1，A2，A3三个易堵塞点，各点被堵塞的概率都是；L2巷道有B1，B2两个易堵塞点，被堵塞的概率分别为，.

(1)求L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞的概率；

(2)若L2巷道堵塞点的个数为X，求X的分布列及数学期望E(X)，并请你按照“平均堵塞点少的巷道是较好的抢险路线”的标准，帮助救援队选择一条抢险路线，同时说明理由．

解：(1)设“L1巷道中，三个易堵塞点最多有一个被堵塞”为事件A，

则P(A)＝C×＋C××＝.

(2)根据题意，知X的可能取值为0，1，2.

P(X＝0)＝×＝，

P(X＝1)＝×＋×＝，

P(X＝2)＝×＝.

所以随机变量X的分布列为

E(X)＝0×＋1×＋2×＝.

法一：设L1巷道中堵塞点个数为Y，则Y的可能取值为0，1，2，3.

P(Y＝0)＝C×＝，

P(Y＝1)＝C××＝，

P(Y＝2)＝C××＝，

P(Y＝3)＝C×＝.

所以随机变量Y的分布列为

E(Y)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

因为E(X)<E(Y)，所以选择L2巷道为抢险路线较好．

法二：设L1巷道中堵塞点个数为Y，则随机变量Y～B，所以E(Y)＝3×＝.

因为E(X)<E(Y)，所以选择L2巷道为抢险路线较好．