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    Proakis的数字通信第四版的习题答案(中文版)

    时间：    下载该word文档
    -- ２.9
    根据柯西分布






    当x很大时， 所以有 (b 当 v 0

    当v0， 因此有：2.10 (a

    (b）
    (ｃ因为ｎ→理不适用,原因
    西分布没有有限的差异。

    ２.1１ 假(a (b当x(t, y(t不相关时， 同理因此（3当ｘ(ｔ, y(t不相关并且零均值时：--


    定 是实值随机过程。复值过程的处理也类似。

    ∞， 不是高斯分布,因此中心极限定是柯

    有


    --
    2.12 随机过程ｘ(ｔ的功率谱密度为:
    滤波器输出功率谱密度为: 因此滤波器输出总功率为： 2.１4

    令
    因此
    ２．16 滤波器的传递函数（ａ
    (b）
    令a = RC， v =2πf. 那么

    ２.１9 因为

    输出序列的自相关:
    这里的最后等式来自于X(n的自相关函数:
    为: 因此


    --
    -- 离散时间系统的频率响应为：

    综上,系统输出的功率密度谱为 ：

    2.2０ 已知

    功率密度谱为:



    ２．21 本题中引用下标d表示离散过程，下标a表示连续时间过程，同样，f表示模拟频率。fd表示离散频率。 （a）

    因此取样信号的自相关函数等于X(t）的取样自相关函数。 (b



    令fd ＝ ｆT,则有：
    --
    --
    又因为离散时间的自相关函数是它的功率谱密度的反变换，于是有:
    比较(1，（２:

    (c 从（3式可以得出：

    否则出现混叠。 2.22 (a

    (b 如果 那么：


    K＝0
    其他
    因此序列X(n是白噪声序列，Ｔ的最小值可以从下图的取样过程的功率谱密度得到
    得

    为了得到一个谱平坦序列,最大的抽样速率应满足:
    可由

    1sinw2(, w(ｃ



    因此(12(得到。

    2.23 假设
    那么：


    这里Y（f）是y(ｔ的傅里叶变换，因为：
    --
    --

    又 有:
    当ｆ=0时：

    ２．24

    由于Ｇ=1，有

    对低通滤波器,可得到:

    将H(f代入可得下式

    3.4 要证

    利用不等式





    当且仅当

    因为

    3．6 通过定义,差熵为:

    对均匀分布随机变量
    可得
    而
    --
    --
    (ａ ａ=1，Ｈ（X＝0 (b） a=４,H(X）＝log４＝2log2 1(c a=１/4，Ｈ(X=log=-2log2 4３．７ (a
    （b每信源字符的平均二进制个数为：

    (ｃ信源熵
    通过比较,信源熵要少于每个码字的平均长度。

    ３.9 (a 为：

    (ｂ

    3.11 (a） Ｐ（ｘ可以

    因

    通过 求得。
    此
    --
    --

    类似地可证明
    （b利用不等式lnww1和wp(xp(y，可以得到
    p(x,y将不等式两边乘以P(x, y并对ｘ，y求和，即可得

    故有


    p(xp(y当 =1时取等号。
    p(x,y (c 从（b

    当x,y独立取等号。
    ３.13

    联立两个关系式可得: 对于平稳过程 和


    中n是独立的，因此就有


    --
    -- 3.18 在给定的x1下,x3,x2的条件互信息可定义为:
    又





    因为 有：

    ３.1９ 假设a＞0,已知Y ＝ ａX + b是线性
    有 令

    那么
    变换,


    同理,当ａ<０时,有：

    3.２0 线性变
    因为{ yi}和｛xi｝有相同的概率分布,即有
    换

    因此DＭS的熵通过线性变换是不产生影响的。 3.２1 (a霍夫曼码的设计如下,
    --
    -- 平均比特率：


    (b）一次编码两个电平符号,霍夫曼码的设计如下：

    每电平对的二进制平均比特数为: 一个电平的平均比特数为: (c
    因为

    3.25 采用Lｅｍpｅl-Ziｖ编码方法分解题中序列,可以得到一下码段： ０, ００, １， ０0１, 000， 00０１, 10, 00010, ０000, ０010, ００0０0, １0１, 00001， 0000００， １1, ０1, 000００00, １10, ...

    码段数是18,对每一码段需要5位加一个附加位来表征一个新的信源输出。
    --
    --
    3.27 因为 可得

    下图描述了R(D在取0，1,2,3时的值，从图中可看出，增加,失真率也在增加。


    3.3０ (ａ

    由于X，G是相互独立,因此有ｐ(x, g = p(xｐ(ｇ）, p(x|g = p（ｘ．


    --
    -- (b

    因为X,G是相互独立,所以Y也是独立，


    由于Y=Ｘ+G,有 所以:
    这里，利用了

    从H(Y , Ｈ(Y |X）,

    3．３1
    --
    --


    3.36

    3.38 一阶预测器 得均方误差减系数a11 对预测数据的预测误差的正交性可使小：

    最小均方误差为:
    --
    -- （b）对二阶预测 根据Levinsoｎ－Durbin算法
    器,


    最小均方误差为: 3.39

    如果x1,x2用相同的间隔长度分别量化，所需要的电平数为: 比特数：

    7ab7ab 利用2矢量量化，有Lx,，比特差： RlogLlogxX221515
    ３.41 X,Ｙ的联合概率密度函数

    当2x0，

    当0x2, px(x的图如下: 为: 边缘分布Ｐ（x:
    根据对称性:
    (b

    --
    --
    总的失真为
    每对(ｘ,y所要的比特数为： (c）采用矢量量化，失真度D

    4．２

    这里h(ｔ=
    它的傅里叶反变换： 而

    ４．3 （a）
    1, t

    然而
    -- ,因此有：

    -- (ｂ
    从(ａ的结果有
    ,

    4.5从傅里叶变换特性知道，如果ｘ(ｔ）是实值的，那么它的傅里叶变换满足, 因此sl(t为实值的条件是:sl(fsl*(f。对于带通信号s(t，有s(fc*fs(fcf。而sl(fsl*(f,满足此条件的sl(t说明是实值低通信号，等效的带通信号正频部分在中心频率fc附近应该具有埃尔米特对称性，但一般来讲,带通信号不满足这个特性，因此,对应的低通信号是复值信号。
    ４.6利用估计理论中基于均方误差准则的结论,当误差正交于级数展开式的每一个函数时,获得e的最小值，因此:
    因为函数{fn(t}是正交的，（1式只存在k=n的部分即可简化为：

    也即有

    相应的残余误差e为：

    ４．9信号波形sm(t的能量为: --
    --
    相关系数：

    4.10 （a 波形fn(t是正交的，只要证明


    因此fn(t是正交的。 (b先确定加权系数



    由上看到,从信号波形fn(t,n=1，２,3来看，x(t是正交的，因此它不能表示为这些函数--
    -- 的线性组合。
    4.11 (a作为正交基函数集,考虑集合：
    用矩阵表示4个波形为:

    因此波形的维数是4. (ｂ 波形由向量表示
    （c 第1,2向量之间的为：


    同理:

    因此，任意两个向量之间的最小距离为 ４.1３ x(t的功率谱密

    Y(t的功率谱密度如图：
    度从2.１4题有: 为: 距离--
    --
    4．14

    (a） 因为每个序列信号速率是１／２T，ｇ(t的间隔为２T,在2nTt2ｎT＋T，

    (b功率谱密度:这里：

    又因为sinxexp(jxexp(jx,很容易得到
    2j
    （c 上述功率谱密度与MＳK是相同的,因此ＭSK可以产生交错四相PSK信号,其中ｇ(t是半个周期的正弦脉冲。 4．１６

    对于u(ｔ是广义平稳，必须有E[u(t]常数，uu(t,tuu(的条件。 ４．17 第一个基函数为：
    --
    --
    第二个基函数:

    所以：

    E3表示g3(t的能量，
    第三个基函数:
    所以有

    第四个基函数



    4.2０ u(t的自相关函数：

    令anT,dad,a(,,那么：


    --
    --

    4．21 (ａ 因为 BnInIn1，所以有：

    每个符号概率P(Bn2P(Bn21/4,信号空间为:
    （b

    序列{In}包含的独立符号为:
    所以

    （c转移矩阵为：

    相应的马尔可夫链:
    --
    --
    ４．２２ (a）
    序列{an}与随机变量不相关，所以有:
    (ｂ） 而：




    因此有：

    1/4,m0(c如果{an}取0,1并且等概,那么E（ａn） = 1/2，E(anman[1(m]/4
    1/2,m0则有:


    4.24 ｋ=2,p1p21/2


    为了简化计算，定义T/2tT/2,有：

    --

    -- 当fi0时, 的乘积项可以忽略。那么就有:
    ll类似地，对S2((用ｍ代替n），如果ｎ(m）是偶数，S1(2(0，对于所有的l，除了TTln(m/2, 在这种情况下:
    对于S1(f和S2(f的乘积项可以忽略,因为没有频谱重叠,因此：

    和MSK信号比较,这个信号在频谱上有冲击脉冲。 4.26 ＱPRS信号:
    (a 同4.20题，序列Bn可以取 Ｐ(Bn = 2 ＝ Ｐ（Ｂn =−2 = 1/4， P(Ｂｎ =
    0 = 1/２

    对序列Cn,因为两个序列是独立的,有 Ｐ{Bn = ｉ,Cn = ｊ} ＝ P{Bn ＝ １}P｛Ｃn = j｝ 信号空间：

    --
    -- (b 如果令Ｚn = Bn + jCn,
    因为序列Bn， Ｃn是独立的,具有相同的统计特性,有:



    BB(f2cos2fT ，有 (c 马儿可夫链及转移概率:

    4.28 相位树图:
    --
    --
    从相位树图模2得状态网格图:

    状态图：

    --
    --

    4.31 脉冲Ck(t定义为:
    脉冲Ｃk（t的持续时间 只需用找到如果所有的

    －--－－-----－--－--------- ４.3３ 如果谱。 假想,，例如，,则
    ˆ 使得S ＝ Ｌ(2 − ａk，n − n, 易知nˆ =Ｌ-1,nak,n，ｎ＝0,１，L-1是０，
    -------－-－－---－--－-－---------－-------－-----－－－--－---－-----－－－--------－-------－-－－----------。因此可以充足的消除线性频,那么就有，s(t是单脉冲。然而，如果对所有的n，S(n/T = 0，线性频谱消失。一个单脉冲就满足这个条件,如下图：
    --
    --
    在此种情况下，
    是不必要的。
    4.34
    有，
    所有对所有n,Ｓ(n/T ） = 0，所以条件
    (b） 对非独立的序列，功率谱密度S（ｔ ， ss(f 然而
    12G(fbb(f
    T
    因此：

    需要结果的功率谱：


    (c 引入零点的条件在f = l/４Ｔ,l= ±1,±２， .．．
    得到1k22kcosl/20，不是所有的l都满足,通过预编码可以避免这个情况,设
    --
    -- bn = aｎ
    + kan−4。


    类似于(ｂ,k=-1，在１/4T的倍数处出现频谱的零点。

    4.3６ FSK的功率谱密度可以通过等式(4-4－60）且K=2，ｐ0 = p1 = １／2得到,因此在这个条件下,载波0,1的相位是确定的，可以得到:

    这里S0(f,S1(f是s0(t,s1(t的傅里叶变换，特定情况下:
    同理：




    因为载波相位0,1影响Re(S0S*1，对随机相位求平均值,有


    (b

    如果fk足够大,乘积

    --     ，
    -- 因此对ffc,Sk(f按比例地衰减
    5．2 (a匹配滤波器的脉冲响应: 2接近

    (b在t=Ｔ 匹配滤波器的输出:
    (c 在t＝Ｔ 相关器的输出:
    ５.4 (a 因为:

    相关器的抽样输出: ，噪声n是零均值,方差的 抽样输出的概率密度函数:
    高斯随机变量,
    因为信号是等概的，如果则S1,判决规则:
    最优判决选取S0,否--
    --

    或者等效为:
    1最优门限：AT
    2(b 平均错误概率:

    5.５ 因此对任意的n: sm(tn1smnfn(t
    m
    ５.8 已知的波形是等效低通信号:
    12，
    （b 每个匹配滤波器都有等效的低通脉冲响应：
    --
    --
    (c
    (d


    (e） 匹配滤波器的输出不同于相关器的输出,在取样周期t＝T时，两个输出集合相同。 (f因为信号是正交的，ＡWGＮ的错误概率为:

    5.9 (a a，ｂ的联合PＤＦ：
    (ｂ）依题意可得:ａ = ｕ cosφ, b = ｕ sｉnφ，


    --
    -- 这里用到变换

    （c
    5.10

    是个零均值高斯随机变量，发ｓ(t时，pe为：


    发-s（ｔ）时，U = −2E+N， pe为:

    发０时，U=Ｎ,
    pe为


    (b

    (c 为了减小pe 利用莱布尼兹公式:

    5.1１ (a发送信号能量:
    (b两个信号的自相关系数：


    --
    -- 因此相干检测的比特错误概率：

    (c 对非相干检测的错误概率：

    这里ａ，b有以下关系:
    5．14 下图显示四元信号的收敛域：

    作一个变换, W１ = U１+U２， Ｗ２ = U１−U２，变换后改变了收敛域, 假定S1(t为发送，那么匹配滤波器的输出为：
    N1r,N2r是不相关的零均值，方差2N0的高斯分布,有:

    W1,W2是高斯分布,Ｅ [W１] ＝ E [W2] = 2,方差E[W12]E[W22]4N0,易知W1,W2是独立的,
    b/2是每ｂiｔ的发射能量,那么：


    --
    -- 5.18 对二进制相位调制,错误概率：

    P2106,

    当数据速率为10kbｐs,此时比特间隔T104，信号幅度:
    同理：
    速率为105bps和106ｂｐs时，信号幅度分别为A2.12102和A6.703102。 5.２2
    5.23 发射信号能量：
    ，T是比特间隔,A是信号幅度,因为载波都是在同一信道中传输，如果A2T是常数,SNR, hp(t也是常数。因此
    得到：

    5．25 (ａ 如果加性噪声的功率谱密度是Sn(f，在预白化滤波器输出的PSＤ噪声:

    为了使Sv(f平坦,Ｈp(ｆ）应该
    --
    -- (ｂ hp(t＝F−１［Ｈｐ(ｆ] ，匹配滤波相匹配的滤波器频率响应为:
    （c 整个系统的频率响应：
    器输入 与


    (d 广义匹配滤波器输出的噪声方差:
    在tt0T抽样瞬间，匹配滤波器输出：

    因此检测器输入端SＮR:
    5．26 每符号比特数:k480048002,4－QAＭ传输,错误概率： R2400
    当pM105,k2，得到: (b如果速率9600ｂps,k=４，１6-ＱAM传输,错误概率:


    (c） 如果速率19２00ｂps,2５6-QＡM传输，错误概率：

    --
    -- pM105，得到：
    (d） 下表给出了在(ａ-(c中所用的星座每比特的SNＲ 和相应每符号的比特数，
    通过观察,每附加1ｂit/符号,发射功率增加大约3dB。

    5.29 假定输入位0,1映射成-1,1,那么在时刻n，MSK的末端相位为：


    0是初始相位，ak取1取决于时刻ｋ的输入位，以下表格显示了(n;a对0(0,两个不同值,且四对数据输入时{０0，０1,1０，11}.
    5.31 h=1/２,Ｌ＝２
    可得:s{0,/2,,3/2},在网格中状态是相位状态和相关状态的组合,取值In1{1}，从一个状态到另一个状态的变换有:n1nIn1，虚线表示In1。
    2In1。状态网格和状态图如下：实线表示--
    --



    --
    -- ５.34

    对所有的P(Csi,i1,...M，值都是相同的，是因为星座具有对称性。
    在右边的等式中，积分数为N，d是点之间的最小距离。


    所以：

    因此可得出错误概率为：

    5.36 传输M元PAM信号所需要的带宽:
    又因为:
    可得:
    5.38 最优ＭＬ检测器选择序列
    两个可能发送序列
    和

    从上可以看出：最优ＭL检测器可依据其判决仅在最后n-w接收r个元素。那就是：
    -- ，

    -- 或者等效


    （b 因为，错误概率为:
    随机变量 是零均值，方差的高斯过程,因此有:
    ,这两个序列是等概的:
    （3当最大时,错误概率ｐ(e最小，也就是w=0．
    ５．42 启闭键控信号的非相干包络检测器框图如下：


    (b 如果s0(t发送，接收信号为r(tn(t，因此抽样输出rc，rs是零均值，方差高斯随机变量，因此,随机变量rrc2rs2瑞利分布，PDF为:
    如果s1(t发送，接收信号：
    -- N0的独立2
    --
    ｒ(t）与互相关,在t=Ｔ的抽样输出，也就有：

    nc 是零均值，方差随机变量

    N0的高斯随机变量。2
    的ＰＤF服从赖斯分布，有:
    （3 对于等概的信号，错误概率为:
    因为ｒ>０,上式可变为：

    当bN01，最优门限接近b,利用门限来简化分析，在很接近时,贝塞尔函数不能估算,用2I0(xex，x很大这种估算是有效的，这样ＳＮR也很高,在这种情况下: 2x
    如果SNR很高,这个整体还可进一步简化，在接近b,被积函数是主要部分，因此,下限可以用取代，也就有:
    --
    --

    5.43 （a
    (b

    U１的方差：

    U1,U2的协方差:
    因为噪声分量是不相关且是零均值。同理，对任意的i，j都有:cov(Ui,Uj0 这也就说明了随机变量{Ui}是不相关的,因为它们都是高斯过程，且统计独立。
    22U3,U4是零均值高斯过程,随机变量R2U32U4服从瑞利分布,此外R1U12U2服从赖斯分布。
    （ｃ W1U12U22,U１,Ｕ2的均值为独立的高斯变量，方差相同为：-- ,并且是统计,W1服从非中心2分布,PDF为：

    --
    W2U32U42，Ｕ3,U4有相同方差，零均值的高斯过程,因此Ｗ1服从中心2分布,PＤF:
    (ｄ

    5.44 在n个再生中继器中,i个发生错误的概率服从二项分布为：

    仅当奇数个中继器发生错误时，终端接收器输出端才有错误。因此整个错误概率为：

    偶数个中继器产生错误的概率：



    --
    --
    可得：
    (b 展开(12pn,得到: 当ｐ<<1,可以忽略所有p2项，因此就有：


    ５.47 (a）对于直径Ｄ的抛物面天线的增
    如果假定有效因子为0.5，则

    （ｂ 接收功率: 益:
    5.４8 对于直径D的抛物面天线的增益：
    如果假定有效因子为0.5,则

    得到:
    (b 有效辐射功率:(ｃ 接收天线的输出功率:

    5.49 发射信号的波长：

    抛物面天线增益：

    接收天线输出端的接收功率：

    --

    --

    --

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