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数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第二十二章

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第二十二章曲面积分

一、证明题
1.证明:由曲面S所包围的立体V的体积等于V=余弦.
2.若S为封闭曲面,L为任何固定方向,则其中n为曲面S的外法线方向.
3.证明公式
1
xcosycoszcosrds其中cos,cos,cpsr为曲面S的外法线方向3S
cosn,Lds=0
S
dxdydz1
=cosr,ndsr2S
V
其中S是包围V的曲面,n为S的外法线方向.r=xyz,r=(x,y,z.
4.证明:场A=yz2xyz,zsx2yz,xyxy2z是有势场并求其势函数.二、计算题
1.计算下列第一型曲面积分:(1
2
2
2
xyzds,其中S为上半球面
S
x2y2z2=a2z0;
(2
x
S
2
y2ds,其中S为主体x2y2z1的边界曲面;

(3
1222
dsxyR,其中S为柱面被平面Z=0,Z=H所截取的P分;22Sxy
(4
xyzds,其中S为平面在第一卦限中的部分.
S

2.计算
2zds,其中S为圆锥表面的一部分.S
xrcossin
0ra
yrsinsinS:D:
02zrcos

这里θ为常数(0<θ<
.2
3.计算下列第二型曲面积分(1
S
22
yxzdxdy,其中S为x=y=z=0,x=y=z=a平成所围成++