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    微积分第一学期期终复习题(一)答案-

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    郑州大学 2008-2009学年第一学期〈〈微积分〉〉期终复习题 （一）

    一.求下列极限（每小题5分，共20分）
    2x211． lim32sinx
    xxx111232x1解: 因为lim3limxx0,且2sinx3.
    xxx1x11123xx22x21所以,lim32sinx0.
    xxx12．
    limx01cosx1xln1x2121cosx
    1x221cosx1x2 等价替换lim2x0x解:
    limx01cosx1x121cosxln1x2121cosxlim11xx02112x2lim1xx02x21cosx1e2x2x01cosxlim1e2. 2x2x22. 其中, lim等价替换limx01cosxx0x222xx1exx3ex1ex3. limlim1x0x02x2x1x1exx2xxlim1exx2ex02xx
    e11exxex1.（其中，limlim1.）
    x02xx2x022xtlntdtx44. limx01cosx

    解:
    limx01cosxtlntdtx4洛必达法则lim8x3cosx.lncosxsinx 3x04x limx0sin2x.ln11cosx(等价替换lim2x.1cosx
    x08x3x22x.21. (等价替换limx08x38二 求下列各题（每小题5分，共20分）
    1.设fx在,内可导,Fxfx21f1x2,求F1F1. 解: Fxfx21x21f1x21x2
    x21f1x2 f 2x所以, F1F10.
    2.设方程y2fxxfyx2,求 解：方程两边同时对x求导，得：
    2yyfxy2fxfyxfy.y2x ， 即 2yfxxfyy2xy2fxfy
    2xy2fxfy故y.
    2yfxxfy3.yxsinx1ex，求y.
    111解：lnyxsinx1exlnxlnsinxln1ex
    224两边关于x求导,得:: 111cosx1ex1 y.,所以 .xy2x2sinx41e1cosx1ex yy.xxsinx1ex2x2sinx4e11cosx1ex2x2sinx4.ex1 .
    x2lntlnt,求y.
    ylnt. 解: 因为dx2lntdy1dydy2,;所以dtttdttdxdtdx22lnt. dt故yddydtddy1d22lnt1... dx2lntdtdxdxdtdxdt2dttt211 .. 2lntt2lnt1ttfx满足fx2ftdtx2.(1求fx.
    0    x解:方程fx2ftdtx2两边关于x求导，得：
    0    x fx2fx2x,即fx2fx2x (2 (2为一阶线性非齐次微分方程,由公式,得: 2dx2dxe2xe2x.2xdxC fxee.2xdxC12x2x2x2x2xxdeCexeedxCxCe e2x (3 21又由(1知,f00,代入(3,得C.
    2    1故fxxe2x1.
    2三．求下列积分（每小题6分，共30分）
    ex1dx. 1.2xe4ex1ex1dx2xdx2xdx 解: 2xe4e4e4e2x1ex112xdedxarctand14e. 22x2xx214e22814ee21x
    1ex1arctanln14e2xC. 2281另解:令ext,则xlnt,dxdt,原积分化为
    tex1t1dx.e2x4t34tdt.再用有理函数积分的方法来做. 2. 20sinxsin2xdx.
    1cos2xsinxsin2xsinx2sinx.cosx22dxdxdx 解: 22220001cosx1cosx1cosx112dcosxdcos2x 2201cosx1cosx 20arctancosx|2ln1cosx|22004ln2.
    0xcos2xcos4xdx.
    解:利用公式:     0xfsinxdxfsinxdx,得 200xcosxcosxdx202420cosxsinxdx202cosxsinxdxcosxsinxdx 228sin2xd2x82sin2xd2x8cos2x|208cos2x|22.
        1arctanxdx.
    2    x解:
        1arctanxarctanx11dxarctanxddx |22111xxx1xx41x1x2ln21dxln. 22|1421x42x1xee11fxlnxfxdx (1,求fxdx.
    解:设afxdx,则(1式变为
    1    e fxlnxa (2 (2两边同时积分得
    afxdxlnxadxxlnxxax|ae1a.
    1    1    1e11 故,得a.即fxdx.
    1eeeee四.(10分 设|a|1,求积分Ia|xa|exdx的最大值
    1    1解：（一）Ia|xa|exdx11a1axexdxxaexdx
    a    1

    1a1xxxaxx1xaxdexadeaxeedxxaeedx||1a1a1aa
    2eaee1a2e,a1,1,

    11e2（二）Ia2eee,a1,1 ，令Ia0,得驻点aln.
    2ea11e2 又Ia2e，因为Iln0
    2ea1e2所以Iln 为极小值，从而非最大值，最大值必在端点处达到. 2e（三）比教I1ee1与I1e3e1，得最大值为I1ee1
    lnxx1cos2xdx在e,e3内仅有一个实根. e00解:因为1cos2xdx02sinxdx2cosx|22.故原方程即化为
    0    x220.
    e    x令fxlnx22,xe,e3.

    e1111x1. 因为fx0,所以, 方程lnx220在e,e3至多有一xeeeelnx
    个实根.     xfe220,fe33e2220,故方程lnx220在e,e3至少e有一个实根. x综合1,2知, 方程lnx220在e,e3仅有一个实根. eae2x,x0,六.(10分设fx在x0处可导,求a,b的值. 2bx,x0.解:(一因为fx在x0处可导,从而x0处也连续. fxlimfxf0,即得a2. 故由limx0x0fxf02e2x2lim4; (二f0limx0x0x0x f0limx0fxf02bx2limb.
    x0x0x故令f0f0,得b4.



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