第4讲　万有引力与天体运动

 教材知识梳理

一、开普勒三定律

1．开普勒第一定律：所有的行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个________上．

2．开普勒第二定律：对于每一个行星而言，太阳和行星的连线在相等的时间内扫过的________相等．

3．开普勒第三定律：所有行星的轨道的________的三次方跟________的二次方的比值都相等．

二、万有引力定律

1．内容：自然界中任何两个物体都互相吸引，引力的大小与物体的质量的乘积成________，与它们之间距离的二次方成________．

2．公式：________(其中引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2)．

3．适用条件：公式适用于质点之间以及均匀球体之间的相互作用，对均匀球体来说，r是两球心间的距离．

三、天体运动问题的分析

1．运动学分析：将天体或卫星的运动看成________运动．

2．动力学分析：(1)万有引力提供________，即F向＝G＝ma＝m＝mω2r＝m2r.(2)在星球表面附近的物体所受的万有引力近似等于________，即G＝mg(g为星球表面的重力加速度)．

四、三个宇宙速度

1．第一宇宙速度(环绕速度)：v1＝7.9 km/s，是人造地球卫星的________，也是人造卫星绕地球做匀速圆周运动的________．

2．第二宇宙速度(逃逸速度)：v2＝11.2 km/s，是卫星挣脱地球引力束缚的________．

3．第三宇宙速度：v3＝16.7 km/s，是卫星挣脱太阳引力束缚的________．

答案：一、1.焦点　2.面积　3.半长轴　公转周期

二、1.正比　反比　2.F＝G

三、1.匀速圆周　2.(1)向心力　(2)物体的重力

四、1.最小发射速度　最大运行速度

2．最小发射速度　3.最小发射速度

【思维辨析】

(1)牛顿利用扭秤实验装置比较准确地测出了引力常量．(　　)

(2)两物体间的距离趋近于零时，万有引力趋近于无穷大．(　　)

(3)行星在椭圆轨道上运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小．(　　)

(4)近地卫星距离地球最近，环绕速度最小．(　　)

(5)地球同步卫星根据需要可以定点在北京正上空．(　　)

(6)极地卫星通过地球两极，且始终和地球某一经线平面重合．(　　)

(7)发射火星探测器的速度必须大于11.2 km/s.(　　)

答案：(1)(×)　(2)(×)　(3)(√)　(4)(×)　(5)(×) (6)(×)　(7)(√)

【思维拓展】

为了验证地面上的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，遵守同样的规律，牛顿做了著名的“月－地”实验．请阐述“月－地”实验思路．

答案：由于月球绕地球运行的周期T＝27.3 d≈2.36×106 s，月球的轨道半径r＝60R地＝3.84×108 m，故从运动学角度可计算出月球的向心加速度为

an1＝r＝2.72×10－3 m/s2①

牛顿设想，把一个物体放到月球轨道上，让它绕地球运行，地球对它的引力减小到F，它的向心加速度减小到an2，既然物体在地面上受到的重力G和在月球轨道上运行时受到的引力F都是来自地球引力，那么在引力与轨道半径的二次方成反比的关系成立的情况下，物体在月球轨道上的向心加速度an2和在地面上的重力加速度g的关系应为

＝＝＝＝，

进而从动力学角度可计算出月球轨道上的向心加速度为

an2＝g地＝2.72×10－3 m/s2②

①式与②式的计算结果完全一致，从而证明了物体在地面上所受重力与地球吸引月球的力是同一性质的力、遵循同样规律的上述设想．

需要说明的是，月球绕地球的向心加速度an2＝g地与通常所说月球表面的重力加速度g月＝g地并不矛盾．

已知M地＝81M月，R地＝R月，r＝60R地，由天文学黄金代换公式GM＝gR2可知＝＝≈，

即g月＝g地③

又有an2＝＝＝≈g月④

由③、④式可得an2＝g地．

 考点互动探究

　考点一　开普勒行星运动

word/media/image21_1.png1 [2016·全国卷Ⅲ] 关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是(　　)

A．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律

B．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律

C．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因

D．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律

答案：B　

[解析] 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律，牛顿在开普勒研究基础上结合自己发现的牛顿运动定律，发现了万有引力定律，指出了行星按照这些规律运动的原因，选项B正确．

word/media/image22_1.png式题 (多选)[2016·武汉调研] 水星或金星运行到地球和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星凌日”．已知地球的公转周期为365天，若将水星、金星和地球的公转轨道视为同一平面内的圆轨道，理论计算得到水星相邻两次凌日的时间间隔为116天，金星相邻两次凌日的时间间隔为584天，则下列判断合理的是(　　)

A．地球的公转周期大约是水星的2倍

B．地球的公转周期大约是金星的1.6倍

C．金星的轨道半径大约是水星的3倍

D．实际上水星、金星和地球的公转轨道平面存在一定的夹角，所以水星或金星相邻两次凌日的实际时间间隔均大于题干所给数据

答案：BD　[解析] 设水星、地球、金星的公转周期分别为T水、T地和T金，水星两次凌日时间差为t水，金星两次凌日时间差为t金，由题意可知，－t水＝2π，－t金＝2π，解得T水＝88天，T金＝225天，所以地球公转周期大约是水星公转周期的4倍，大约是金星公转周期的1.6倍，A错误，B正确；由开普勒第三定律可知，＝，解得＝≈<3，C错误；理论上发生凌日时，金星(或水星)、地球、太阳三者共线，如果金星(或水星)公转转道与地球公转轨道存在一定夹角，此时并不能产生凌日现象，所以金星(或水星)相邻两次凌日的实际时间间隔应大于理论上的时间间隔，D正确．

■ 要点总结

对开普勒行星运动定律的理解：(1)行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理，若按椭圆轨道处理，则利用其半长轴进行计算．(2)开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．(3)开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体对应的k值不同．

　考点二　万有引力及其与重力的关系

1.万有引力的特点：两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，它们大小相等，方向相反且沿两物体的连线，分别作用在两个物体上，其作用效果一般不同．

2．万有引力的一般应用：主要涉及万有引力的基本计算、天体质量和密度的计算等．在这类问题的分析中应注意：

(1)万有引力公式F＝G中的r应为两物体球心间距，如果某一物体内部存在球形空腔，则宜采取“割补法”分析；(2)对于万有引力提供向心力情景下的天体运动，根据万有引力定律和牛顿第二定律有G＝m1a，且a＝ω2r＝＝r.

3．在地球或其他天体表面及某一高度处的重力加速度的计算：设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，忽略天体自转，则有mg＝G，得g＝或GM＝gR2；若物体距天体表面的高度为h，则重力mg′＝G，得g′＝＝g.

word/media/image21_1.png2 [2016·山西质量检测] 据报道，目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后，先在地球表面附近以线速度v环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道，最后以线速度v′在火星表面附近环绕火星飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体，已知火星与地球的半径之比为1∶2，密度之比为5∶7.设火星与地球表面的重力加速度分别为g′和g.下列结论正确的是(　　)

A．g′∶g＝1∶4

B．g′∶g＝7∶10

C．v′∶v＝

D．v′∶v＝

答案：C　

[解析] 在地球表面附近，万有引力等于重力，即G＝mg，解得g＝，在火星表面附近，万有引力等于重力，即G＝mg′，解得g′＝，又知M＝ρV＝ρ·πR3＝ρπR3，火星与地球密度之比ρ′∶ρ＝5∶7，半径之比R′∶R＝1∶2，联立解得g′∶g＝5∶14，选项A、B错误；探测器在火星表面附近环绕火星飞行的线速度与探测器在地球表面附近环绕地球飞行的线速度之比v′∶v＝＝＝，选项C正确，选项D错误．

word/media/image22_1.png式题1 “神舟十一号”飞船于2016年10月17日发射，对接“天宫二号”．若飞船质量为m，距地面高度为h，地球质量为M，半径为R，引力常量为G，则飞船所在处的重力加速度大小为(　　)

A．0　　B.　　C.　　D.

答案：B　[解析] 由题意知，飞船处于完全失重状态，飞船所受的重力等于万有引力，即G＝mg，约去m，得B正确．

word/media/image22_1.png式题2 (多选)[2016·新疆适应性检测] 月球是离地球最近的天体．已知月球质量为M，半径为R，引力常量为G，若忽略月球的自转，则关于在月球表面所做的实验，以下叙述正确的是(　　)

A．把质量为m的物体竖直悬挂在弹簧测力计下，静止时弹簧测力计的示数为

B．以初速度v0竖直上抛一个物体，则物体经时间2π落回原处

C．把羽毛和铁锤从同一高度同时释放，则铁锤先落地

D．用长为l的细绳拴一质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则小球的最小动能为

答案：AD　[解析] 在月球表面，月球对物体的引力等于物体的重力，即mg＝G，选项A正确；在月球表面，g＝G，以初速度v0竖直上抛的物体落回原处的时间为t＝＝，选项B错误；月球周围没有空气阻力，羽毛和铁锤从同一高度被释放后，同时落地，选项C错误；小球在竖直面内做圆周运动，在最高点时，若mg＝m，则其动能最小，为Ek＝mv2＝G，选项D正确．

■ 要点总结

1．对万有引力和重力的关系要注意以下几点：(1)在地面上，忽略地球自转时，认为物体的向心力为零，各位置均有mg≈；(2)若考虑地球自转，对在赤道上的物体，有－FN＝F向，其中FN大小等于mg，对处于南北两极的物体，则有＝mg.

2．在地球上所有只在重力作用下的运动形式，如自由落体运动、竖直上抛运动、平抛运动、斜抛运动等，其运动规律和研究方法同样适用于在其他星球表面的同类运动的分析，只是当地重力加速度取值不同而已．

　考点三　天体质量及密度的计算

1.利用(卫)行星绕中心天体做匀速圆周运动求中心天体的质量

计算天体的质量和密度问题的关键是明确中心天体对它的卫星(或行星)的引力就是卫星(或行星)绕中心天体做匀速圆周运动的向心力．由G＝mr，解得M＝；ρ＝＝＝，R为中心天体的半径，若为近地卫星，则R＝r，有ρ＝.由上式可知，只要用实验方法测出卫星(或行星)做圆周运动的半径r及运行周期T，就可以算出中心天体的质量M.若再知道中心天体的半径，则可算出中心天体的密度．

2．利用天体表面的重力加速度g和天体半径R，可得天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.

word/media/image21_1.png3 [2016·济南模拟] “嫦娥五号”探测器预计2017年在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg月球样品．某同学从网上得到一些信息，如下表中所示．根据表格中数据，可以计算出地球和月球的密度之比为(　　)

A.3∶2 B．2∶3 C．4∶1 D．6∶1

答案：A　

[解析] 在星球表面附近，万有引力等于重力，即G＝mg，解得星球质量M＝.地球和月球的质量之比＝·＝，由密度公式ρ＝，体积公式V＝πR3，联立解得地球和月球的密度之比＝·＝，选项A正确．

word/media/image22_1.png式题 [2015·江苏卷] 过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕. “51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周期约为4 天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的.该中心恒星与太阳的质量比约为(　　)

A. B．1 C．5 D．10

答案：B　[解析] 题中这颗行星绕其中心天体做圆周运动，其向心力是由中心天体与行星间的万有引力提供，即G＝m行ωr行＝m行，可得M中心＝；同理，地球绕太阳运动，有M太阳＝；那么，中心天体与太阳的质量之比为＝＝·＝·≈1，选项B正确．

■ 规律总结

天体质量和密度的估算问题是高考命题热点，解答此类问题时，首先要掌握基本方法(两个等式：①万有引力提供向心力；②天体表面物体受到的重力近似等于万有引力)，其次是记住常见问题的结论，主要分两种情况：(1)利用卫星的轨道半径r和周期T，可得中心天体的质量为M＝，并据此进一步得到该天体的密度ρ＝＝＝(R为中心天体的半径)，尤其注意当r＝R时，ρ＝.(2)利用天体表面的重力加速度g和天体半径R，可得天体质量M＝，天体密度ρ＝＝＝.

　热点四　宇宙速度　黑洞与多星系统

1.双星系统

2.多星系统

word/media/image93_1.png4 [2015·安徽卷改编] 由三颗星体构成的系统，忽略其他星体对它们的作用，存在着一种运动形式：三颗星体在相互之间的万有引力作用下，分别位于等边三角形的三个顶点上，绕某一共同的圆心O在三角形所在的平面内做相同角速度的圆周运动(图4­12­1为A、B、C三颗星体质量不相同时的一般情况)．若A星体质量为2m，B、C两星体的质量均为m，三角形的边长为a，则下列说法正确的是(　　)

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图4­12­1

A．A星体所受合力大小FA＝2G

B．B星体所受合力大小FB＝G

C．C星体的轨道半径RC＝a

D．三星体做圆周运动的周期T＝2π

答案：B　

[解析] 由万有引力定律可知，A星体所受B、C星体的引力大小为FBA＝G＝G＝FCA，方向如图所示，则合力大小为FA＝2G；同理，B星体所受A、C星体的引力大小分别为FAB＝G＝G，FCB＝G＝G，方向如图所示，由FBx＝FABcos 60°＋FCB＝2G，FBy＝FABsin 60°＝G，可得FB＝＝G；通过分析可知，圆心O在中垂线AD的中点，RC＝，可得RC＝a；三星体运动周期相同，对C星体，由FC＝FB＝G＝mRC，可得T＝π，只有选项B正确．

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word/media/image21_1.png5 (多选)[2016·武汉武昌区调研] 太空中存在一些离其他恒星很远的、由三颗星体组成的三星系统，可忽略其他星体对它们的引力作用．已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是直线三星系统——三颗星体始终在一条直线上；另一种是三角形三星系统——三颗星体位于等边三角形的三个顶点上．已知某直线三星系统A每颗星体的质量均为m，相邻两颗星体中心间的距离都为R；某三角形三星系统B的每颗星体的质量恰好也均为m，且三星系统A外侧的两颗星体与三星系统B每颗星体做匀速圆周运动的周期相等．引力常量为G，则(　　)

A．三星系统A外侧两颗星体运动的线速度大小为v＝

B．三星系统A外侧两颗星体运动的角速度大小为ω＝

C．三星系统B的运动周期为T＝4πR

D．三星系统B任意两颗星体中心间的距离为L＝R

答案：BCD　

[解析] 三星系统A中，三颗星体位于同一直线上，外侧两颗星体围绕中央星体在半径为R的同一圆轨道上运行，外侧的其中一颗星体由中央星体和另一颗外侧星体的万有引力的合力提供向心力，有G＋G＝m，解得v＝，A错误；三星系统A中，周期T＝＝4πR，则其角速度为ω＝＝，B正确；由于两种系统周期相等，即T＝4πR，C正确；三星系统B中，三颗星体位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行，对其中一颗星体，由万有引力定律和牛顿第二定律，有2cos 30°＝m，解得L＝R，D正确．

word/media/image22_1.png式题 [2016·兰州诊断考试] 北京时间2016年2月1日23∶40左右，激光干涉引力波天文台(LIGO)负责人宣布，人类首次发现了引力波．它来源于距地球之外13亿光年的两个黑洞(质量分别为26个和39个太阳质量)互相绕转最后合并的过程．合并前两个黑洞互相绕转形成一个双星系统，关于此双星系统，下列说法正确的是(　　)

A．两个黑洞绕行的角速度相等

B．两个黑洞绕行的线速度相等

C．两个黑洞绕行的向心加速度相等

D．质量大的黑洞旋转半径大

答案：A　[解析] 对于两个黑洞互相绕转形成的双星系统，其角速度ω相等，周期相等，选项A正确；由于两个黑洞的质量不等，两个黑洞旋转的半径不等，质量较小的黑洞旋转半径较大，质量较大的黑洞旋转半径较小，选项D错误；由v＝ωr可知，两个黑洞绕行的线速度不等，质量小的黑洞线速度较大，选项B错误；两个黑洞绕行时其向心力由两个黑洞之间的万有引力提供，向心力相等，而由于两个黑洞的质量不等，由牛顿第二定律可知，两个黑洞绕行的向心加速度不等，质量较小的黑洞向心加速度较大，选项C错误．

■ 方法技巧

多星问题的解题技巧

(1)挖掘一个隐含条件：在圆周上运动天体的角速度(或周期)相等．

(2)重视向心力来源分析：双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，三星或多星做圆周运动，向心力往往是由多个星的万有引力的合力提供．

(3)区别两个长度关系：圆周运动的轨道半径和万有引力公式中两天体的距离是不同的，不能误认为一样．

【教师备用习题】

1．[2013·福建卷] 设太阳质量为M，某行星绕太阳公转周期为T，轨道可视作半径为r的圆．已知引力常量为G，则描述该行星运动的上述物理量满足(　　)

A．GM＝

B．GM＝

C．GM＝

D．GM＝

[解析] A　行星绕太阳公转，由万有引力提供向心力，即G＝mr，解得GM＝，A正确．

2．“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200 km的圆形轨道上运行，运行周期为127 min.已知引力常量G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，月球半径约为1.74×103 km，利用以上数据估算出月球的质量约为(　　)

A．8.1×1010 kg B．7.4×1013 kg C．5.4×1019 kg D．7.4×1022 kg

[解析] D　由万有引力充当向心力，有G＝m (r＋h)，可得月球质量M＝＝7.4×1022 kg，选项D正确．

3．我国志愿者王跃曾与俄罗斯志愿者一起进行“火星­500”的实验活动．假设王跃登陆火星后，测得火星的半径是地球半径的，火星的质量是地球质量的.已知地球表面的重力加速度为g，地球的半径为R，王跃在地面上能向上竖直跳起的最大高度为h，忽略自转的影响，引力常量为G，下列说法正确的是(　　)

A．火星的密度为

B．火星表面的重力加速度是g

C．火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比为

D．王跃以与在地球上相同的初速度在火星上起跳后，能达到的最大高度是h

[解析] A　对地球表面上质量为m的物体，由牛顿第二定律，有G＝mg，则M＝，火星的密度为ρ＝＝，选项A正确；对火星表面上质量为m′的物体，由牛顿第二定律，有G＝m′g′，则g′＝g，选项B错误；火星的第一宇宙速度与地球的第一宇宙速度之比＝＝，选项C错误；王跃跳高时，分别有h＝和h′＝，所以在火星上能达到的最大高度为h，选项D错误．

4．[2014·北京卷] 万有引力定律揭示了天体运行规律与地上物体运动规律具有内在的一致性．

(1)用弹簧秤称量一个相对于地球静止的小物体的重量，随称量位置的变化可能会有不同的结果．已知地球质量为M，自转周期为T，万有引力常量为G.将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响．设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0.

① 若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值(计算结果保留两位有效数字)；

② 若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式．

(2)设想地球绕太阳公转的圆周轨道半径r、太阳的半径Rs和地球的半径R三者均减小为现在的1.0%，而太阳和地球的密度均匀且不变．仅考虑太阳和地球之间的相互作用，以现实地球的1年为标准，计算“设想地球”的1年将变为多长．

[答案] (1)①＝　0.98

②＝1－

(2)1年

[解析] (1)设小物体质量为m.

①在北极地面

G＝F0

在北极上空高出地面h处

G＝F1

＝

当h＝1.0%R时

＝≈0.98.

②在赤道地面，小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有

G－F2＝mR

得

＝1－.

(2)地球绕太阳做匀速圆周运动，受到太阳的万有引力，设太阳质量为MS，地球质量为M，地球公转周期为TE，有

G＝Mr

得TE＝＝.

其中ρ为太阳的密度．

由上式可知，地球公转周期TE仅与太阳的密度、地球公转轨道半径与太阳半径之比有关．因此“设想地球”的1年与现实地球的1年时间相同．

5．石墨烯是近些年发现的一种新材料，其超高强度及超强导电、导热等非凡的物理化学性质有望使21世纪的世界发生革命性的变化，其发现者由此获得2010年诺贝尔物理学奖．用石墨烯制作超级缆绳，人类搭建“太空电梯”的梦想有望在本世纪实现．科学家们设想，通过地球同步轨道站向地面垂下一条缆绳至赤道基站，电梯舱沿着这条缆绳运行，如图所示，实现外太空和地球之间便捷的物资交换．

(1)若“太空电梯”将货物从赤道基站运到距地面高度为h1的同步轨道站，求轨道站内质量为m1的货物相对地心运动的动能．设地球自转角速度为ω，地球半径为R.

(2)当电梯舱停在距地面高度h2＝4R的站点时，求舱内质量m2＝50 kg的人对水平地板的压力大小．地面附近重力加速度g取10 m/s2，地球自转角速度ω＝7.3×10－5 rad/s，地球半径R＝6.4×103km.

[答案] (1) m1ω2(R＋h1)2　(2)11.5 N

[解析] (1)设货物相对地心的距离为r1，线速度为v1，则

r1＝R＋h1

v1＝r1ω

货物相对地心的动能为Ek＝m1v

联立解得Ek＝m1ω2(R＋h1)2.

(2)设地球质量为M，人相对地心的距离为r2，向心加速度为an，受地球的万有引力为F，则

r2＝R＋h2

an＝ω2r2

F＝

g＝

设水平地板对人的支持力大小为FN，人对水平地板的压力大小为F′N，则

F－FN＝m2an

F′N＝FN

联立解得N′＝11.5 N.