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方向导数与可微的关系

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第２４卷第１期　陇东学院学报　Ｖｏ１．２４　Ｎｏ．１　２０１３年１月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｏｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｊａｎ．２０１３　文章编号：１６７４—１７３０（２０１３）Ｏ１—０００１－０３　方向导数－５可微的关系　陈海鸿，李伟鹏，齐　渊　（陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳７４５０００）　摘要：讨论多元函数　．，　，…，　）在给定点Ｐ。（　，　：，…，　：）沿一切有向直线之方向导数都存在的情　形与该多元函数在Ｐ。（　，　：，…，　：）可微的关系，并证明一个可微的充要条件．　关键词：方向导数；可微；多元函数；充要条件　中图分类号：Ｏ１７２　文献标识码：Ａ　Ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ　ａｎｄ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ　ＣＨＥＮ　Ｈａｉ－ｈｏｎｇ，ＬＩ　Ｗｅｉ—ｐｅｎｇ，ＱＩ　Ｙｕａｎ　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，Ｌｏｎｇｄｏｎｇ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｙａｎｇ　７４５０００，Ｇａｎｓｕ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ　ｔｈｅ　ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ　ｂｅｔｗｅｅｎ　ｔｈｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｌ，　２，…，　）ａｎｄ　ｔｈｅ　ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ　ｏｆ　ｌ，　２，…，　）ａｔ　Ｐ０（　，　：，…，　：），ａｎｄ　ｐｒｅｓｅｎｔｓ　ｆｌ　ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ａｎｄ　ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ　ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｉｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　Ｉ，戈２，…，　）ａｔ　Ｐ０（　，　，…，　：）．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ；ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｂｉｌｉｔｙ；ｆｕｎｃｔｉｏｎ　ｏｆ　ｍｕｌｔｉｐｌｅ　ｖａｒｉａｂｌｅｓ；ｎｅｃｅｓｓａｒｙ　ａｎｄ　ｓｕｆｆｉ．　ｃｉｅｎｔ　ｃ０ｎｄｉｔｉｏｎ．　存在，则称此极限为函数，在点Ｐ０沿方向ｌ的方向导数，记作　可微性是多元函数的一个重要性质，而方向导数是多元　Ｉ　函数中较难的一个概念．现行数学分析教材对二者关系的讨　ａｆ　Ｐｏ　论结果较少，文献¨－２］仅给出可微则方向导数存在的结论，　定义２　设多元函数，在点Ｐｏ　ｘ　，　０　，…，ｘｏ）的某邻域　因此，很有必要进一步探讨二者之间的关系．　ｕ（Ｐｏ）Ｃ　Ｒ　内有定义，ｌ为从点Ｐｏ出发的射线，Ｐ（ｘ。，　，　本文安排如下．先给出方向导数的的定义及其性质，然　…，　）为ｆ上且含于ｕ（Ｐｏ）内的任一点，以ｌ。＝（　，　，…，　后讨论多元函数方向导数存在时函数的可微性并给出多元　）表示２的单位向量，若　函数可为的一个充要条件．　Ｉ　．ｉｍ　一！　二　一＝　ｐ　ｌ一二二　。＋ｔ＝＿———　ｆ０）ｆ　ｌ　１预备知识　。ｔ　ｄｔ　ｌＩ：ｏ　定义ｌ　设多元函数　在点Ｐｏ　ｘ　，　０，…，　０　）的某邻域　存在，则称此极限为函数Ｊｒ在点Ｐｏ沿方向ｌ的方向导数，记作　ｕ（Ｐｏ）Ｃ　Ｒ　内有定义，ｌ为从点Ｐ。出发的射线，Ｐ（ｘ　，　：，　Ｉ．　ａｆ　Ｐ…　ｏ　，　）为ｌ上且含于Ｕ（Ｐｏ）内的任一点，以ｐ表示Ｐ与Ｐｏ两点的距离．若极限　定义３　’　设多元函数　＝ｆｉｘ。，　，…，ｘｎ）在点Ｐ０（　，　．＿ｆＩｐ）－ｔｉｐ。）　．△　：，…，　０　）的某邻域ｕ（　）Ｃ　Ｒ　内有定义，对Ｕ（Ｐ０）中　儿ＩＩＩ～＝ｌｌｍ—　ｐ—加　Ｐ　Ｐ—Ｏ　ｐ　的点Ｊｐ（　ｌ，　２，…，Ｘｎ）＝（　？＋　ｌ，　：＋　２…　：＋Ａｘ　），若　收稿日期：