2019届重庆市普通高等学校招生全国统一考试4月（二诊）调研测试（康德版）理科数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．复数（i为虚数单位）的共轭复数为（　　）

A．1+i B．1﹣i C．1+2i D．1﹣2i

2．已知全集U＝R，集合，，则图中阴影部分表示的集合是（　　）

A．或 B．或

C． D．

3．已知函数f（x）＝，则f（﹣1）＝（　　）

A．log25 B．log26 C．3 D．2+log23

4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S11＝22，则a3+a5+a10＝（　　）

A．2 B．3 C．6 D．12

5．为了得到的图象，只需要将（　　）

A．向左平移个单位 B．向右平移个单位

C．向左平移个单位 D．向右平移个单位

6．中华文化博大精深，我国古代算书《周髀算经》中介绍了用统计概率得到圆周率π的近似值的方法．古代数学家用体现“外圆内方”文化的钱币（如图1）做统计，现将其抽象成如图2所示的图形，其中圆的半径为2cm，正方形的边长为1cm，在圆内随机取点，若统计得到此点取自阴影部分的概率是P，则圆周率π的近似值为（　　）

A． B． C． D．

7．函数的部分图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

8．若“p∨q”成立的一个必要条件是“￢r”，则下列推理：①p∨q⇒￢r；②p⇒￢r；③￢r⇒q；④（￢p）∧（￢q）⇒r．其中正确的个数为（　　）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．若用如图所示的程序框图寻找使1++…+＞成立的正整数i的最小值，则图中①②处应填入（　　）

A．S？，输出i B．S？，输出i﹣1

C．S？，输出i﹣2 D．S＜？，输出i﹣1

10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．

11．已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左右焦点为F1，F2过点F1的直线l与双曲线C的左支交于AB两点，△BF1F2的面积是△AF1F2面积的三倍，∠F1AF2＝90°，则双曲线C的离心率为（　　）

A． B． C． D．

12．若函数f（x）＝（x﹣）ex在（0，1）内存在极值点，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，0） B．（0，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．[﹣1，0）

二、填空题

13．设（1﹣x）（1+x）5＝a+a1x+a2x3+a3x3+…+a6x6，则a1的值为_____

14．已知单位向量，满足（2+3）（﹣）＝﹣，则﹣与的夹角为_____

15．已知sin2（α+）+cos2（α﹣）＝，若α∈（0，π），则α＝_____

16．如图，圆锥SO的高SO＝2，底面直径AB＝CD＝4，M，N分别是SC，SD的中点，则四面体ABMN体积的最大值是_____

三、解答题

17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，c＝acosB+2bsin2

（1）求A

（2）若b＝4，AC边上的中线长为，求a．

18．某农科站技术员为了解某品种树苗的生长情况，在该批树苗中随机抽取一个容量为100的样本，测量树苗高度（单位：cm）．经统计，高度均在区间[20，50]内，将其按[20，25），[25，30），[30，35），[35，40），[40，45），[45，50]分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，其中高度不低于40cm的树苗为优质树苗．

（1）已知所抽取的这100棵树苗来自于甲、乙两个地区，部分数据如下2×2列联表所示，将列联表补充完整，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关？

（2）用样本估计总体的方式，从这批树苗中随机抽取4棵，期中优质树苗的棵数记为X，求X的分布列和数学期望．

附：K2＝，其中n＝a+b+c+d

19．在如图所示的几何体中，侧面ABCD为矩形，侧面DEFG为平行四边形，AB＝1，AD＝2，AG∥BF，AB⊥BF，AG＝3,BF＝5，二面角D﹣AB﹣F的大小为60°.

（1）证明，平面CDE⊥平面ADG

（2）求直线BE与平面ABCD所成角的大小

20．已知A，B分别为椭圆C：（a＞b＞0）的左右顶点，P为椭圆C上异于A，B的任意一点，O为坐标原点，•＝﹣4，△PAB的面积的最大值为．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若椭圆C上存在两点M，N，分别满足OM∥PA，ON∥PB，求|OM|•|ON|的最大值．

21．已知a≤8．函数f（x）＝a1nx﹣x2+5，g（x）＝2x+

（1）若f（x）的极大值为5，求a的值

（2）若关于x的不等式f（x）≤g（x）在区间[1，+∞）上恒成立，求a的取值范围，（1n2≈0.7）

22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，a∈R），以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ＝2cosθ

（1）求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

（2）若直线l过点P（1，1）且与曲线C交于AB两点，求|PA|+|PB|

23．设函数f（x）＝|2x﹣3|+|x+2|

（1）求不等式f（x）≤5的解集；

（2）若关于x的不等式f（x）≤a﹣|x|在区间[﹣1，2]上恒成立，求实数a的取值范围

参考答案

1．D

【解析】

【分析】

根据复数的除法求解再判定即可.

【详解】

∵＝,∴复数（i为虚数单位）的共轭复数为1﹣2i．

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了复数的除法运算与共轭复数的概念,属于基础题型.

2．B

【分析】

先判定韦恩图所表示的集合,再求解即可.

【详解】

∵全集U＝R,集合,,

∴,

∴图中阴影部分表示的集合是：或．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了韦恩图的理解以及集合的并集补集的运算等.属于基础题型.

3．A

【分析】

根据分段函数解析式代入计算即可.

【详解】

根据题意,函数f（x）＝,则f（﹣1）＝f（2）＝f（5）＝log25；

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了分段函数的计算,属于基础题型.

4．C

【分析】

根据等差数列的求和公式与性质求解即可.

【详解】

∵等差数列{an}的前n项和为Sn,S11＝22,

∴＝11a6,＝22,解得a6＝2,∴a3+a5+a10＝3a6＝6．

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了等差数列的性质与求和公式,属于基础题型.

5．D

【分析】

根据三角函数图像平移的方法求解即可.

【详解】

∵函数,函数,

故把函数的图像向右平移＝个单位,

可得＝的图像,

故选：D．

【点睛】

本题主要考查了三角函数图像平移的判定,属于基础题型.

6．A

【分析】

根据几何概型的方法分析阴影部分占总面积的比值,列式求解的表达式即可.

【详解】

圆形钱币的半径为2cm,面积为S圆＝π•22＝4π；正方形边长为1cm,面积为S＝12＝1．

在圆形内随机取一点,此点取自黑色部分的概率是P＝,则．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了几何概型的方法,需要求解阴影部分面积占总面积的比值,属于基础题型.

7．C

【分析】

根据函数的奇偶性与正负值排除判定即可.

【详解】

函数,故函数是奇函数,图像关于原点对称,排除B,D,

当x＞0且x→0,f（x）＞0,排除A,

故选：C．

【点睛】

本题主要考查了函数图像的判定,属于基础题型.

8．B

【分析】

由题意可得p∨q⇒￢r,再根据“或且非”的性质推出其充要条件再判定即可.

【详解】

若“p∨q”成立的一个必要条件是“￢r”,即为

p∨q⇒￢r,⇔ r ⇒￢（p∨q）,⇔ r⇒（￢p）∧（￢q）,

可得①正确④错误．又p∨q⇒￢r,故p⇒￢r, q ⇒￢r,故②正确,③错误

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了逻辑联结词的性质与必要条件的辨析,属于基础题型.

9．B

【分析】

根据框图分析输出时需满足的条件与需要输出的值的大小即可.

【详解】

由程序框图的功能是求使1++…+＞成立的正整数i的最小值,

则图中①处应填入“S＞？”,又求得最小值后有语句“”,故②处应填入“i﹣1”．

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了程序框图的补全,属于基础题型.

10．A

【分析】

先换元该几何体,再利用割补法求解体积即可.

【详解】

由三视图还原原几何体如图,

该几何体为多面体ABCDEF,底面为矩形ABCD,AB＝5,AD＝3．侧面CDEF为等腰梯形,EF＝1,侧面CDEF⊥底面ABCD,

则该几何体的体积V＝．

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了根据三视图还原直观图以及求解不规则几何体体积的方法,属于中等题型.

11．B

【分析】

由题画出图形,再根据双曲线的定义与直角三角形中的关系列式求解即可.

【详解】

设|AF1|＝m,|BF1|＝n,由双曲线的定义可得|AF2|＝2a+m,|BF2|＝2a+n,

由△BF1F2的面积是△AF1F2面积的三倍, 可得n＝3m,

又由直角三角形ABF1可得（m+n）2+（2a+m）2＝（2a+n）2,

代入n＝3m,化简可得m＝a,在直角三角形AF1F2中,可得m2+（2a+m）2＝4c2,

即为a2+9a2＝4c2,即c＝a,则e＝＝,

故选：B．

【点睛】

本题主要考查了根据双曲线的定义与三角形中的关系列式求离心率的问题,属于中等题型.

12．A

【分析】

由题可得导函数的实数根在（0,1）内,进而得到x3+x2﹣ax+a＝0的在区间（0,1）内有实数根.

【详解】

函数f（x）＝（x﹣）ex,定义域：{x|x≠0}

f′（x）＝ex+xex ﹣＝,在（0,1）内存在极值点

则＝0在区间（0,1）内有实数根,

即：在区间（0,1）内有实数根,即的在区间（0,1）内有实数根.数形结合可得.

故选：A．

【点睛】

本题主要考查了利用导数求极值点存在的问题,需要数形结合讨论在区间内的交点个数及其区间,属于中等题型.

13．4

【分析】

根据题意求解展开式中的系数即可.

【详解】

由（1+x）5展开式的通项得Tr+1＝xr,则（1﹣x）（1+x）5展开式x的一次幂的系数a1＝＝4,

故答案为：4．

【点睛】

本题主要考查了求展开式中某特定项的系数,需要根据通项公式分情况求解.属于中等题型.

14．

【分析】

根据向量的夹角坐标公式求解即可.

【详解】

∵都是单位向量,且；

∴；∴；

∴＝,；

设与的夹角为θ,则；又0≤θ≤π,∴θ＝．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了利用平面向量的夹角公式的求解，考查了向量数量积的运算,属于基础题型.

15．或

【分析】

利用诱导公式化简可得sin（α+）＝±,再根据α∈（0,π）求解即可.

【详解】

由sin2（α+）+cos2（α﹣）＝,得sin2（α+）+cos2（α+）＝,

得sin2（α+）+sin2（α+）＝．得sin2（α+）＝,得sin（α+）＝±,

∵α∈（0,π）,∴∈（,）,∴＝或α+＝,α＝或α＝．

故答案为：或．

【点睛】

本题主要考查了诱导公式的应用以及根据三角函数值与角度范围求角度大小的问题.属于中等题型.

16．

【分析】

易得当AB⊥CD时,四面体ABMN体积取最大值.再求解三棱锥的体积即可.

【详解】

∵圆锥SO的高SO＝2,底面直径AB＝CD＝4,M,N分别是SC,SD的中点,

所以MN与CD平行，

又由对称性可得

当AB⊥CD时,四面体AOMN的高为半径，此时体积取最大值,

所以

故答案为：．

【点睛】

本题主要考查了立体几何中的体积运算,根据几何体的对称性可沿中轴截面分成两个全等的几何体进行求解.属于中等题型.

17．（1）A＝；（2）a＝

【分析】

(1)利用降幂公式与两角和的正弦公式化简求解即可.

(2)利用余弦定理求解即可.

【详解】

（1）∵c＝acosB+2bsin2,∴sinC＝sinAcosB+sinB（1﹣cosA）,

∴sin（A+B）＝sinAcosA+sinB（1﹣cosA）,∴2cosAsinB＝sinB,∵sinB≠0,∴cosA＝,

∴A＝；

（2）设AC的中点为M,在△AMB中,由cosA＝,得c＝3,

在△ABC中,由a2＝b2+c2﹣2bccosA＝13,得a＝．

【点睛】

本题主要考查了利用三角函数恒等变换与正余弦定理解三角形的方法,需要根据题意分析边角关系化简求解.属于中等题型.

18．（1）列联表见解析，有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关；（2）分布列见解析，EX＝1

【分析】

(1)补全列联表再求解k2对比表中的数据判断即可.

(2)易得从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为,再利用二项分布求解即可.

【详解】

（1）由题意知5a+0.04×2+0.07＝,解得a＝0.01．

样本中优质树苗的个数为100×（0.04+0.01）×5＝25,

所填表格为：

k2＝≈16.5＞10.828,所以有99.9%的把握认为优质树苗与地区有关．

（2）容量为100的样本中有25颗优质树苗,故可以认为从总体中随机抽1颗树苗为优质树苗的概率为,

所以X～B（4,）,P（X＝k）＝,k＝0,1,2,3,4,

所以X 的分布列为：

EX＝np＝4×＝1．

【点睛】

本题主要考查了独立性检验与二项分布的问题.属于中等题型.

19．（1）见解析；（2）30°

【分析】

(1)根据AB⊥BF,进而证明CD⊥平面ADG,即可.

(2)由题可以A为原点,AB,AG所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系,根据二面角

D﹣AB﹣F的大小为60°可得∠DAG＝60°,再根据边角关系与空间向量的方法求解直线BE与平面ABCD所成角的大小即可.

【详解】

（1）由AB⊥BF,CD∥AB,AG∥BF,得CD⊥AG,又CD⊥AD,∴CD⊥平面ADG,

平面CDE⊥平面ADG．

（2）以A为原点,AB,AG所在直线分别为x,y轴,建立空间直角坐标系,

∵AB⊥AD,AB⊥AG,∴∠DAG是二面角D﹣AB﹣F的平面角,∴∠DAG＝60°,

∴D（0,1,）,B（1,0,0）,G（0,3,0）,F（1,5,0）,

由＝,得E（1,3,）,设平面ABCD的法向量＝（x,y,z）,

则,∴,令z＝﹣1,得＝（0,）,

设BE与平面ABCD所成角为θ,则sinθ＝＝,解得θ＝30°．

故直线BE与平面ABCD所成角的大小为30°．

【点睛】

本题主要考查了面面垂直的证明与建立空间直角坐标系求解线面角的问题,属于中等题型.

20．（1）；（2）

【分析】

(1)根据数量积求得a2＝2.再根据△PAB的面积的最大值为可求得b＝1.

(2) 设P（x0,y0）可证明,再设M（）,N（）从而得出的关系,再利用三角函数与基本不等式的方法求最大值即可.

【详解】

（1）由,得﹣2a2＝﹣4,即a2＝2．当P为椭圆上、下顶点时,△PAB面积最大,

则,即b＝1．∴椭圆方程为；

（2）设P（x0,y0）,＝．

设M（）,N（）,由,

即sinαsinβ+cosαcosβ＝0,∴cos（α﹣β）＝0,得,k∈Z．

∴cos2β＝sin2α,sin2β＝cos2α．

|OM|•|ON|＝＝＝．

等号成立时,,比如M（1,）,N（﹣1,）．

【点睛】

本题主要考查了椭圆中的定值关系与利用参数方程与基本不等式的方法求椭圆中的最值问题,需要根据题意证明到,进而得到椭圆上的点的参数坐标满足的关系,进而用基本不等式求最值,属于难题.

21．（1）a＝2e；（2）

【分析】

(1)求导后分的不同取值范围求的最值,进而分析函数的极值再代入求解即可.

(2)构造函数再求导分析单调性,分情况讨论最大值再根据最大值求关于参数a的取值范围即可.

【详解】

（1）函数f（x）＝a1nx﹣x2+5,函数的定义域为{x|x＞0},

函数的f（x）的导数f′（x）＝﹣2x＝,

当a≤0,则f′（x）＜0,此时函数单调递减无极大值,∴a＞0,

∴f（x）在（0,）上单调递增,在（,+∞）上函数单调递减,

函数f（x）的极大值为：f（）＝5,解得：a＝2e；

（2）关于x的不等式f（x）≤g（x）在区间[1,+∞）上恒成立,

即：a1nx﹣x2+5﹣2x﹣≤0在区间[1,+∞）上恒成立,

令为h（x）＝a1nx﹣x2+5﹣2x﹣,x∈[1,+∞）,

则有：h′（x）＝﹣2x﹣2+＝﹣,

①当a≤2时,h′（x）≤0,h（x）在区间[1,+∞）上单调递减,

h（x）最大值＝h（1）＝2﹣a≤0,即：a≥2,∴a＝2；

②当a＞2时,h（x）在区间[1,）上单调递增,在区间（,+∞）上单调递减,

h（x）最大值＝h（）＝1n﹣+5﹣2≤0,

令＝t∈（1,4],即：t1nt﹣t+5﹣4≤0,令u（t）＝t1nt﹣t+5﹣4,u′（t）＝1nt﹣,

由u（t）在（1,4]上单调递增,且u′（1）＜0,u′（4）＞0,

知存在t0∈（1,4]使得且u′（t0）＝0,

u（t）在区间（1,t0）上单调递减,在区间（t0,4]上单调递增,

又且u（1）＝0,u（4）＝41n4﹣7＝8ln2﹣7＜0,

∴t1nt﹣t+5﹣4≤0,在t∈（1,4]上恒成立,∵已知a≤8,故：2＜a≤8,

即a的取值范围是：a∈

【点睛】

本题主要考查了利用导数解决含参函数的最值与不等式恒成立的问题.需要在求导之后分情况讨论分析函数的最值,同时需要构造函数求最大值等.属于难题.

22．（1）l：x+y﹣a＝0，C：y2＝2x；（2）

【分析】

(1) 消去参数t可得直线l的普通方程,利用极坐标与直角坐标的公式化简求解可得曲线C的直角坐标方程

(2)设直线l的参数方程为,再代入抛物线的方程,利用直线参数方程的几何意义求解即可.

【详解】

（1）由消去参数t可得直线l的普通方程为：x+y﹣a＝0,

由ρsin2θ＝2cosθ得ρ2sin2θ＝2ρcosθ可得曲线C的直角坐标方程为：y2＝2x．

（2）将P（1,1）代入x+y﹣a＝0可得a＝2,

所以直线l的参数方程为（t为参数）

将其代入曲线C的普通方程得：t2+4﹣2＝0,设A,B对应的参数为t1,t2,

则t1+t2＝﹣4,t1t2＝﹣2＜0,∴|PA|+|PB|＝|t1|+|t2|＝|t1﹣t2|＝＝＝．

【点睛】

本题主要考查了参数方程与极坐标和直角坐标的互化,同时也考查了直线参数方程的几何意义,属于中等题型.

23．（1）[0，2]；（2）

【分析】

(1)分段去绝对值再求解不等式即可.

(2)由题意可得可得|2x﹣3|+|x+2|+|x|≤a恒成立. g（x）＝|2x﹣3|+|x+2|+|x|,再分段去绝对值讨论g（x）的最大值即可.

【详解】

（1）f（x）≤5即为|2x﹣3|+|x+2|≤5,

当x≥时,2x﹣3+x+2≤5,解得≤x≤2；

当﹣2＜x＜时,3﹣2x+x+2≤5,解得0≤x＜；

当x≤﹣2时,3﹣2x﹣x﹣2≤5,解得x∈．

可得不等式的解集为[0,2]；

（2）关于x的不等式f（x）≤a﹣|x|在区间[﹣1,2]上恒成立,可得|2x﹣3|+|x+2|+|x|≤a,

设g（x）＝|2x﹣3|+|x+2|+|x|,即g（x）＝x+2+|x|+|2x﹣3|,﹣1≤x≤2,

当≤x≤2时,g（x）＝x+2+x+2x﹣3＝4x﹣1；

当0＜x＜时,g（x）＝x+2+x+3﹣2x＝5；

当﹣1≤x≤0时,g（x）＝x+2﹣x+3﹣2x＝5﹣2x．可得g（x）的最大值为g（﹣1）＝g（2）＝7,可得a≥7．

即a的范围是．

【点睛】

本题主要考查了分段讨论去绝对值从而求解绝对值不等式的方法,属于中等题型.