【快乐假期】2011年八年级数学暑假培优提高作业9数与式

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一、学习指引

1.知识要点

（1）运算与运用（2）数的规律探究（3）新背景下的数的运算

（4）整式、分式、二次根式（5）代数式的值

2.方法指导

（1）巧算要注意算式的特点，运用运算律适当更换次序，使计算简便，平时要不断归纳拆、拼、凑整、交换等运算技巧.

（2）数的规律探究主要是解题的过程中去找出内在的规律

（3）解决定义新运算的问题，关键是通过新运算的定义，将新运算转化为常规运算.

（4）对于代数式的化简、求值，常用到的技巧有：

①因式分解，对所给的条件、所求的代数式实施因式分解，达到化繁为简的目的；

②运算律，适当运用运算律，也有助于化简； ③换元、配方、待定系数法、倒数法等；④有时对含有根式的等式两边同时实施平方，也不失为一种有效的方法.

二、典型例题

例1. 计算

（1）word/media/image1_1.png

（2）（word/media/image2_1.png＋word/media/image3_1.png＋……＋word/media/image4_1.png）（1＋word/media/image2_1.png＋word/media/image5_1.png＋……＋word/media/image6_1.png）－

（1＋word/media/image2_1.png＋word/media/image5_1.png＋……＋word/media/image7_1.png）（word/media/image2_1.png＋word/media/image5_1.png＋……＋word/media/image8_1.png）

（3）设word/media/image9_1.png，则与A最接近的正整数是（ ）

A.18 B.20 C.24 D.25

例2. 将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……，依次规律，第6个图形有 个小圆.

word/media/image10.gif

例3.（1） 一串数1，1，1，2，2，3，4，5，7，9，12，16，21，……称为帕多瓦数列，请根据这个数列的一个规律，写出其中的第19个数是 ．

（2）将正整数按如图所示的规律排列下去，若有序实数对（n，m）表示第n排，从左到右第m个数，如（4，2）表示9，则表示58的有序数对是（ ）

A.（11，3） B.（3，11）

C.（11，9） D.（9，11）

例4. 已知word/media/image12_1.png依据上述规律，则word/media/image13_1.png .

例5.（1）y＝︱x＋1︱＋︱x－2︱＋︱x－３︱的最小值 .

（2）试求︱x－１︱＋︱x－２︱＋︱x－３︱＋……＋︱x－1999︱的最小值.

例6.（1）刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入其中时，会得到一个新的实数：a2+b-1，例如把（3，-2）放入其中，就会得到32+（-2）-1=6.现将实数对（m，-2m）放入其中，得到实数2，则m= ．

（2）在平面直角坐标系中，对于平面内任一点word/media/image14_1.png若规定以下三种变换：word/media/image15_1.png

word/media/image16_1.png

word/media/image17_1.png

按照以上变换有：word/media/image18_1.png那么word/media/image19_1.png等于（ ）

A．word/media/image20_1.png B．word/media/image21_1.png C．word/media/image22_1.png D．word/media/image23_1.png

(3) 定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为3n＋5；②当n为偶数时，结果为word/media/image24_1.png（其中k是使word/media/image25_1.png为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n＝26，则：

word/media/image26.gif

若n＝49，则第449次“F运算”的结果是_____________．

例7.（1）化简：word/media/image27_1.png＝_______ ；

(2) 若x2－2y＋6x＋10＋y2=0,则word/media/image28_1.pngword/media/image29_1.png=__________；

(3)设word/media/image30_1.png，则word/media/image31_1.png________.

(4)已知word/media/image32_1.png=word/media/image33_1.png=word/media/image34_1.png,那么x+y+z= .

例8.（1）如果式子word/media/image35_1.png 根号外的因式移入根号内，化简的结果为（ ）

A．word/media/image36_1.png B．word/media/image37_1.png C．word/media/image38_1.png D．word/media/image39_1.png

(2) 已知word/media/image40_1.png，则word/media/image41_1.png的值为 ( )

A．word/media/image42_1.png B．word/media/image43_1.png C．word/media/image44_1.png D．word/media/image45_1.png

例9.(1)设Ｎ＝２３x＋９２y为完全平方数，且Ｎ不超过２３９２，则满足上述条件的一切正整数对（x，y）共有多少对？

(2)一个一次函数的图象与直线y＝word/media/image46_1.pngx＋word/media/image47_1.png平行，与x轴、y轴的交点分别为Ａ、Ｂ，并且过点（－１，－２５），则在线段ＡＢ上（包括点Ａ、Ｂ），横、纵坐标都是整数的点有多少个？

(3) 如图，菱形ABCD的对角线长分别为word/media/image49_1.png，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形word/media/image50_1.png，然后再以矩形word/media/image50_1.png各边的中点为顶点作菱形word/media/image51_1.png，……，如此下去．则得到四边形word/media/image52_1.png的面积用含word/media/image49_1.png的代数式表示为__________.

第一讲同步练习

班级 姓名

【基础巩固】

一、选择题

1. 若word/media/image53_1.png ( )

A.word/media/image54_1.png B.-2 C.word/media/image55_1.png D.word/media/image56_1.png

2. 已知a－b=b－c= word/media/image57_1.png，a2＋b2＋c2=1则ab＋bc＋ca的值等于 （ ）

Ａ.word/media/image58_1.png　 Ｂ.word/media/image59_1.png　　Ｃ.word/media/image60_1.png　 Ｄ.word/media/image61_1.png

word/media/image62.gif3．古希腊著名的毕达哥拉斯学派把1、3、6、10… 这样的数称为“三角形数”，而把1、4、9、16…这样的数称为“正方形数”．

从图中可以发现，任何一个大于1

的“正方形数”都可以看作两个相邻

“三角形数”之和．下列等式中，符

合这一规律的是（ ）

A．13 = 3+10 B．25 = 9+16

C．36 = 15+21 D．49 = 18+31

4．观察以下数组：（1），（3、5），（7、9、11），（13、15、17、19），…问2009在第（ ）组．

Ａ．44　Ｂ．　45　　Ｃ．46　　Ｄ．47

5．若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如word/media/image63_1.png就是完全对称式.下列三个代数式：①word/media/image64_1.png；②word/media/image65_1.png；

③word/media/image66_1.png．其中是完全对称式的是(　 　)

A．①② B．①③ 　 C． ②③ D．①②③

6．某校数学课外小组，在坐标纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点word/media/image67_1.png处，其中word/media/image68_1.png，word/media/image69_1.png，当k≥2时，

word/media/image70_1.png，[word/media/image71_1.png]表示非负实数word/media/image72_1.png的整数部分，例如[2.6]=2，[0.2]=0.按此方案，第2009棵树种植点的坐标为

A.（5，2009） B.（6，2010） C.（3，401） D.（4，402）

7．下面是按一定规律排列的一列数：

第1个数：word/media/image73_1.png；第2个数：word/media/image74_1.png；

第3个数：word/media/image75_1.png；

……第word/media/image76_1.png个数：word/media/image77_1.png．

那么，在第10个数、第11个数、第12个数、第13个数中，最大的数是 （ ）

A．第10个数 B．第11个数 C．第12个数 D．第13个数

二、填空题

8.观察下表，回答问题：

第 个图形中“△”的个数是“○”的个数的5倍

9．已知Rt△ABC中，AC=3，BC= 4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1，过C1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2，…，这样一直做下去，得到了一组线段CA1，A1C1，word/media/image85_1.png，…，则CA1= ，word/media/image86_1.png .

10．已知word/media/image87_1.png，记word/media/image88_1.png，word/media/image89_1.png，…，word/media/image90_1.png，则通过计算推测出word/media/image91_1.png的表达式word/media/image91_1.png＝_______．

11．已知word/media/image92_1.png，则word/media/image93_1.png ．

12. 正方形A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2，…按如图所示的方式放置．点A1，A2，A3，…和点C1，C2，C3，…分别

word/media/image94.gif在直线word/media/image95_1.png(k＞0)和x轴上，

已知点B1(1，1)，B2(3，2)，

则Bn的坐标是______________．

三、解答题

13.１word/media/image96_1.png＋2word/media/image97_1.png＋3word/media/image98_1.png＋4word/media/image99_1.png＋……＋10word/media/image100_1.png.

14. 若４x－３y－６z=0, x+2y－7z=0 (xyz≠0),求代数式word/media/image101_1.png的值.

【能力拓展】

15．如图，已知word/media/image102_1.png，word/media/image103_1.png是斜边word/media/image104_1.png的中点，过word/media/image103_1.png作word/media/image105_1.png于word/media/image106_1.png，连结word/media/image107_1.png 交word/media/image108_1.png于word/media/image109_1.png；过word/media/image109_1.png作word/media/image110_1.png于word/media/image111_1.png，连结word/media/image112_1.png交word/media/image108_1.png于word/media/image113_1.png；过word/media/image113_1.png作word/media/image114_1.png于word/media/image115_1.png，…，如此继续，可以依次得到点word/media/image116_1.png，…，word/media/image117_1.png，分别记word/media/image118_1.png…，word/media/image119_1.png的面积为word/media/image120_1.png，…word/media/image121_1.png.则word/media/image121_1.png=________word/media/image122_1.png（用含word/media/image123_1.png的代数式表示）.

16.如图所示，P1（x1，y1）、P2（x2，y2），……Pn（xn，yn）在函数y=word/media/image124_1.png（x＞0）的图象上，△OP1A1，△P2A1A2，△P3A2A3……△PnAn－1An……都是等腰直角三角形，斜边OA1，A1A2……An-1An，都在x轴上，则y1+y2+…yn= .

word/media/image125.gif

（第2题）

17.对任意实数x、y，定义运算xword/media/image126_1.pngy为xword/media/image126_1.pngy=ax+by+cxy 其中a、b、c为常数，等式右端运算是通常的实数的加法和乘法．现已知1word/media/image126_1.png2=3，2word/media/image126_1.png3=4，并且有一个非零实数d，使得对于任意实数x,都有xword/media/image126_1.pngd=x，求d的值．

18.如图所示，在矩形ABCD中，AB=12，AC=20，两条对角线相交于点O. 以OB、OC为邻边作第1个平行四边形OBB1C，对角线相交于点A1；再以A1B1、A1C为邻边作第2个平行四边形A1B1C1C，对角线相交于点O1；再以O1B1、O1C1为邻边作第3个平行四边形O1B1B2C1……依次类推.

（1）求矩形ABCD的面积；

（2）求第1个平行四边形OBB1C、第2个平行四边形A1B1C1C和第6个平行四边形的面积.

第一讲数与式（典型例题）

例1.（1）word/media/image127_1.png（2）word/media/image128_1.png 提示：设1＋word/media/image2_1.png＋word/media/image5_1.png＋……＋word/media/image6_1.png＝a，word/media/image2_1.png＋word/media/image5_1.png＋……＋word/media/image8_1.png ＝b，则a－b＝1 (3) D

例2.（1）46 例3.（1）114（2）A 例4. word/media/image129_1.png

例5.（1）4（2）用几何意义做比较方便，只有x取1，2，……，1999的中间位置时最小，所以x=1000，原式= 999000

例6.（1）3或-1（2）B（3）98 例7.（1）word/media/image130_1.png（2）word/media/image131_1.png（3）-2 （4）0

例8.（1）C（2）D 例9.（1）27（2）5（3）（word/media/image2_1.png）3000

第一讲 数与式（同步练习）

【基础巩固】

一．选择题

1.A 2.A 3.C 4.B 5.A 6.D 7.A

二．填空题

7.20 8.word/media/image132_1.png，word/media/image133_1.png 9.word/media/image134_1.png 10.word/media/image135_1.png 11.（2n-1,2n-1）

三．解答题

12.word/media/image136_1.png 13.-13

【能力拓展】

14.（word/media/image137_1.png）2 15.3word/media/image138_1.png 16. 17.1word/media/image126_1.png2=a+2b+2c=3 ① 2word/media/image126_1.png3=2a+3b+6c=4 ② xword/media/image126_1.pngd=ax+bd+cxd=(a+cd)x+bd=x ③ 由③得 a+cd=1 bd=0 因为d≠0，所以b=0 代入①得a+2c=3，代入②得2a+6c=4，从而解得a=5，c= -1，将a=5，c= -1代入a+cd=1得d=4 17.(1)192，（2）96，48，3