人教版七年级下数学

拔高专题（一） 平行线中的规律探究

教学目标

1. 掌握平行线中从一般到特殊的较复杂图形问题中的规律.

2. 掌握平行线中的动点问题.

教学过程

一、基本模型构建

二、拔高探究

探究点一：探究平行线中常见模型中的角度关系

例1：1已知如图，AB∥CD，试解决下列问题：

（1）∠1+∠2= ______；

（2）∠1+∠2+∠3= _____；

（3）∠1+∠2+∠3+∠4= ______；

（4）试探究∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n= ______．

解析：（1）∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）；

（2）过点E作一条直线EF平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EF，CD∥EF，∴ ∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；

（3）过点E、F作EG、FH平行于AB，∵AB∥CD，∵AB∥EG∥FH∥CD， ∴∠1+∠AEG=180°，∠GEF+∠EFH=180°，∠HFC+∠4=180°；∴∠1+∠2+ ∠3+∠4=540°；

（4）中，根据上述规律，显然作（n-2）条辅助线，运用（n-1）次两条直线平行，同旁内角互补．即可得到n个角的和是180°（n-1）．

答案：（1）180°；（2）360°；（3）540°；180°（n-1）．

【变式训练】1.（2015•汉阳区期中）已知：如图，AB∥CD，E，F分别是AB，CD之间的两点，且∠BAF=2∠EAF，∠CDF=2∠EDF．

（1）判定∠BAE，∠CDE与∠AED之间的数量关系，并证明你的结论；

（2）直接写出∠AFD与∠AED之间的数量关系.

word/media/image8.gif解：（1）过点E作EG∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥EG∥CD，∴∠AEG=∠BAE，∠DEG=∠CDE，∵∠AED=∠AEG+∠DEG，∴∠AED=∠BAE+∠CDE；

（2）同（1）可得∠AFD=∠BAF+∠CDF，∵∠BAF=2∠EAF，∠CDF=2∠EDF，

∴∠BAE+∠CDE=word/media/image9.gif∠BAF+word/media/image9.gif∠CDF，∴∠AED=word/media/image9.gif∠AFD.

【教师总结】无论平行线中的何种问题，都可转化到基本模型中去解决，把复杂的问题分解到简单模型中，问题便迎刃而解.

探究点二 探究动态中平行线中的角度关系

类型一 点分别在两条平行线之间、一侧判断角度之间的关系

word/media/image10.gif例2：如图，已知直线l1∥l2，直线l3和直线l1、l2交于点C和D，在C、D之间有一点P，如果P点在C、D之间运动时，问∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系是否发生变化．若点P在C、D两点的外侧运动时（P点与点C、D不重合），试探索∠PAC，∠APB，∠PBD之间的关系又是如何？

解：如图①，当P点在C、D之间运动时，∠APB=∠PAC+∠PBD．

理由如下：过点P作PE∥l1，∵l1∥l2，∴PE∥l2∥l1，∴∠PAC=∠1，∠PBD=∠2，∴∠APB=∠1+∠2=∠PAC+∠PBD；

如图②，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l1上方时，∠PBD=∠PAC+∠APB．理由如下：∵l1∥l2，∴∠PEC=∠PBD，∵∠PEC=∠PAC+∠APB，∴∠PBD=∠PAC+∠APB．

如图③，当点P在C、D两点的外侧运动，且在l2下方时，∠PAC=∠PBD+∠APB．理由如下：∵l1∥l2，∴∠PED=∠PAC，∵∠PED=∠PBD+∠APB，∴∠PAC=∠PBD+∠APB．

【教师总结】画出图形，点在两条直线之间、两侧，归根到基本模型一.

类型二 点在平行线上移动

例3：如图，直线CB∥OA，∠C=∠OAB=100°，E、F在CB上，且满足∠FOB=∠AOB，OE平分∠COF.

word/media/image11.gif（1）求∠EOB的度数；

（2）若平行移动AB，那么∠OBC：∠OFC的值是否随之发生变化？若变化，找出变化规律或求出变化范围；若不变，求出这个比值．

（3）在平行移动AB的过程中，是否存在某种情况，使∠OEC=∠OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明理由.

解：（1）∵CB∥OA，∴∠AOC=180°-∠C=180°-100°=80°，∵OE平分∠COF，∴∠COE=∠EOF，∵∠FOB=∠AOB，∴∠EOB=∠EOF+∠FOB=1/2∠AOC=1/2×80°=40°；

（2）∵CB∥OA，∴∠AOB=∠OBC，∵∠FOB=∠AOB，∴∠FOB=∠OBC，∴∠OFC=∠FOB+∠OBC=2∠OBC，∴∠OBC：∠OFC=1：2，是定值；

（3）存在.由（1）可知∠AOC=180°，∴∠AOC+∠OAB=180°，∴OC∥AB．∴∠OBA=∠COB.又BC∥OA，∴∠OEC=∠EOA.∴要使∠OEC=∠OBA，只需∠EOA=∠COB,∴∠COE=∠AOB=1/2(∠AOC-∠EOB)=20°.∴∠OBA=∠COB=∠COE+∠EOB=60°.

【教师点拨】遇到动点问题，先从简单开始，平行线中牢记基本图形，问题就会迎刃而解，不管点如何变动，要以不变应万变的方法解决.

【变式训练】2.（2015•宜春期末）如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90°.

（1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由；word/media/image12.emf

（2）如图2，当∠E=90°且AB与CD的位置关系保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE= ∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD否存在确定的数量关系？并说明理由.

解：（1）∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，∵∠EAC+∠ACE=90°，∴∠BAC+∠ACD=180°，∴AB∥CD；

（2）∠BAE+1/2∠MCD=90°；过E作EF∥AB，∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD，∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，∵∠E=90°，∴∠BAE+∠ECD=90°，∵∠MCE=∠ECD，∴∠BAE+1/2∠MCD=90°.

【教师点拨】对于各模型中的逆命题依然成立，作辅助线的方法相同.