3.3.2　简单线性规划问题

从容说课

本节课先由师生共同分析日常生活中的实际问题来引出简单线性规划问题的一些基本概念，由二元一次不等式组的解集可以表示为直角坐标平面上的区域引出问题：在直角坐标系内，如何用二元一次不等式（组）的解集来解决直角坐标平面上的区域求解问题？再从一个具体的二元一次不等式（组）入手，来研究一元二次不等式表示的区域及确定的方法，作出其平面区域，并通过直线方程的知识得出最值.通过具体例题的分析和求解，在这些例题中设置思考项，让学生探究，层层铺设，以便让学生更深刻地理解一元二次不等式表示的区域的概念，有利于二元一次不等式（组）与平面区域的知识的巩固.

“简单的线性规划”是在学生学习了直线方程的基础上，介绍直线方程的一个简单应用，这是《新大纲》对数学知识应用的重视.线性规划是利用数学为工具，来研究一定的人、财、物、时、空等资源在一定条件下，如何精打细算巧安排，用最少的资源，取得最大的经济效益.它是数学规划中理论较完整、方法较成熟、应用较广泛的一个分支，并能解决科学研究、工程设计、经营管理等许多方面的实际问题.中学所学的线性规划只是规划论中的极小一部分，但这部分内容体现了数学的工具性、应用性，同时也渗透了化归、数形结合的数学思想，为学生今后解决实际问题提供了一种重要的解题方法——数学建模法.通过这部分内容的学习，可使学生进一步了解数学在解决实际问题中的应用，培养学生学习数学的兴趣和应用数学的意识和解决实际问题的能力.

依据课程标准及教材分析，二元一次不等式表示平面区域以及线性规划的有关概念比较抽象，按学生现有的知识和认知水平难以透彻理解，再加上学生对代数问题等价转化为几何问题以及数学建模方法解决实际问题有一个学习消化的过程，故本节知识内容定为了解层次.

本节内容渗透了多种数学思想，是向学生进行数学思想方法教学的好教材，也是培养学生观察、作图等能力的好教材.

本节内容与实际问题联系紧密，有利于培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识以及解决实际问题的能力.

教学重点 重点是二元一次不等式（组）表示平面的区域.

教学难点 难点是把实际问题转化为线性规划问题，并给出解答.解决难点的关键是根据实际问题中的已知条件，找出约束条件和目标函数，利用图解法求得最优解.为突出重点，本节教学应指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法将实际问题数学化、代数问题几何化.

课时安排 3课时

三维目标

一、知识与技能

1.掌握线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念;

2.运用线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题.

二、过程与方法

1.培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力;

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生创新.

三、情感态度与价值观

1.通过本节教学着重培养学生掌握“数形结合”的数学思想，尽管侧重于用“数”研究“形”，但同时也用“形”去研究“数”，培养学生观察、联想、猜测、归纳等数学能力;

2.结合教学内容，培养学生学习数学的兴趣和“用数学”的意识，激励学生勇于创新.

教学过程

第1课时

导入新课

师 前面我们学习了二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中的平面区域的确定方法，请同学们回忆一下.

（生回答）

推进新课

［合作探究］

师 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题.

例如，某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A产品耗时1小时，每生产一件乙产品使用4个B产品耗时2小时，该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，按每天工作8小时计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？

设甲、乙两种产品分别生产x、y件，应如何列式？

生 由已知条件可得二元一次不等式组：

师 如何将上述不等式组表示成平面上的区域？

生 （板演）

师 对照课本98页图3.39，图中阴影部分中的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排，即当点P（x,y）在上述平面区域中时，所安排的生产任务x、y才有意义.

进一步，若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排利润最大？

设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得利润为z，则如何表示它们的关系？

生 则z=2x+3y.

师 这样，上述问题就转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少？

［教师精讲］

师 把z=2x+3y变形为,这是斜率为，在y轴上的截距为z的直线.当z变化时可以得到什么样的图形？在上图中表示出来.

生 当z变化时可以得到一组互相平行的直线.（板演）

师 由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给定一个点〔例如（1，2）〕，就能确定一条直线，这说明，截距z[]3可以由平面内的一个点的坐标唯一确定.可以看到直线与表示不等式组的区域的交点坐标满足不等式组，而且当截距最大时，z取最大值，因此，问题转化为当直线与不等式组确定的区域有公共点时，可以在区域内找一个点P，使直线经过P时截距最大.

由图可以看出，当直线经过直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M（4，2）时，截距最大，最大值为.此时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品4件，乙产品2件时，工厂可获得最大利润14万元.

［知识拓展］

再看下面的问题：分别作出x=1，x-4y+3=0，3x+5y-25=0三条直线，先找出不等式组所表示的平面区域（即三直线所围成的封闭区域）,再作直线l0:2x+y=0.

然后，作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.

若设t=2x+y，式中变量x、y满足下列条件求t的最大值和最小值.

分析：从变量x、y所满足的条件来看，变量x、y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域ABC.

作一组与直线l0平行的直线：l:2x+y=t,t∈R（或平行移动直线l0），从而观察t值的变化：t=2x+y∈［3,12］.

(1)

从图上可看出，点（0，0）不在以上公共区域内，当x=0，y=0时，t=2x+y=0.点（0，0）在直线l0：2x+y=0上.作一组与直线l0平行的直线（或平行移动直线l0)l:2x+y=t,t∈R.

可知，当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y)满足2x+y＞0,即t＞0.

而且，直线l往右平移时，t随之增大（引导学生一起观察此规律）.

在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点B（5，2）的直线l2所对应的t最大，以经过点A（1，1）的直线l1所对应的t最小.所以tmax=2×5+2=12,tmin =2×1+3=3.

(2)

(3)

［合作探究］

师 诸如上述问题中，不等式组是一组对变量x、y的约束条件，由于这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，所以又可称其为线性约束条件.t=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，我们把它称为目标函数.由于t=2x+y又是关于x、y的一次解析式，所以又可叫做线性目标函数.

另外注意：线性约束条件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.例如：我们刚才研究的就是求线性目标函数z=2x+y在线性约束条件下的最大值和最小值的问题，即为线性规划问题.

那么，满足线性约束条件的解（x,y)叫做可行解，由所有可行解组成的集合叫做可行域.在上述问题中，可行域就是阴影部分表示的三角形区域.其中可行解（5，2）和（1，1）分别使目标函数取得最大值和最小值，它们都叫做这个问题的最优解.

课堂小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

1.首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.

2.设t=0，画出直线l0.

3.观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.

4.最后求得目标函数的最大值及最小值.

布置作业

1.某工厂用两种不同原料均可生产同一产品，若采用甲种原料，每吨成本1 000元，运费500元，可得产品90千克；若采用乙种原料，每吨成本为1500元，运费400元，可得产品100千克，如果每月原料的总成本不超过6 000元，运费不超过2 000元，那么此工厂每月最多可生产多少千克产品？

分析：将已知数据列成下表：

解：设此工厂每月甲、乙两种原料各x吨、y吨，生产z千克产品，则

z=90x+100y.

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域，如右图：

由得

令90x+100y=t，作直线:90x+100y=0，即9x+10y=0的平行线90x+100y=t，当90x+100y=t过点M（,）时，直线90x+100y=t中的截距最大.

由此得出t的值也最大，zmax =90×+100×=440.

答：工厂每月生产440千克产品.

2.某工厂家具车间造A、B型两类桌子，每张桌子需木工和漆工两道工序完成.已知木工做一张A、B型桌子分别需要1小时和2小时，漆工油漆一张A、B型桌子分别需要3小时和1小时；又知木工、漆工每天工作分别不得超过8小时和9小时，而工厂造一张A、B型桌子分别获利润2千元和3千元，试问工厂每天应生产A、B型桌子各多少张，才能获得利润最大？

解：设每天生产A型桌子x张，B型桌子y张，

则

目标函数为z=2x+3y.

作出可行域：

把直线l：2x+3y=0向右上方平移至l′的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=2x+3y取得最大值.

解方程得M的坐标为（2，3）.

答：每天应生产A型桌子2张，B型桌子3张才能获得最大利润.

3.课本106页习题3.3A组2.

第2课时

导入新课

师 前面我们学习了目标函数、线性目标函数、线性规划问题、可行解、可行域、最优解等概念.

师 同学们回忆一下用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤.

生（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）;

（2）设t=0，画出直线l0;

(3)观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解;

(4)最后求得目标函数的最大值及最小值.

推进新课

师 【例1】 已知x、y满足不等式组试求z=300x+900y的最大值时的整点的坐标及相应的z的最大值.

师 分析：先画出平面区域，然后在平面区域内寻找使z=300x+900y取最大值时的整点.

解：如图所示平面区域AOBC，点A（0，125），点B（150，0），点C的坐标由方程组

得C（,），

令t=300x+900y，

即,

欲求z=300x+900y的最大值，即转化为求截距t[]900的最大值，从而可求t的最大值，因直线与直线平行，故作的平行线，当过点A（0，125）时，对应的直线的截距最大，所以此时整点A使z取最大值，zmax=300×0+900×125=112 500.

师 【例2】 求z=600x+300y的最大值，使式中的x、y满足约束条件3x+y≤300，x+2y≤250， x≥0,y≥0的整数值.

师 分析：画出约束条件表示的平面区域即可行域再解.

解：可行域如图所示.

四边形AOBC，易求点A（0，126），B（100，0）,由方程组

得点C的坐标为（,).

因题设条件要求整点（x,y)使z=600x+300y取最大值，将点（69，91），（70，90）代入z=600x+300y，可知当x=70, y=90时，z取最大值为zmax=600×70+300×900=69 000.

师 【例3】 已知x、y满足不等式求z=3x+y的最小值.

师 分析：可先找出可行域，平行移动直线l0:3x+y=0找出可行解，进而求出目标函数的最小值.

解：不等式x+2y≥2表示直线x+2y=2上及其右上方的点的集合；

不等式2x+y≥1表示直线2x+y=1上及其右上方的点的集合.

可行域如右图所示.

作直线l0:3x+y=0，作一组与直线l0平行的直线l:3x+y=t(t∈R).

∵x、y是上面不等式组表示的区域内的点的坐标.

由图可知：

当直线l:3x+y=t通过P（0，1）时，t取到最小值1，即z min=1.

师 评述：简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解.

师 课堂练习：请同学们通过完成练习来掌握图解法解决简单的线性规划问题.

（1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件

（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件

［教师精讲］

师 （1）求z=2x+y的最大值，使式中的x、y满足约束条件

解：不等式组表示的平面区域如右图所示：

当x=0,y=0时，z=2x+y=0，

点（0，0）在直线l0:2x+y=0上.

作一组与直线l0平行的直线l:2x+y=t,t∈R.

可知在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点A（2，-1）的直线所对应的t最大.

所以z max=2×2-1=3.

（2）求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件

解：不等式组所表示的平面区域如右图所示.

从图示可知直线3x+5y=t在经过不等式组所表示的公共区域内的点时，以经过点（-2，-1）的直线所对应的t最小，以经过点（,）的直线所对应的t最大.

所以z min=3×(-2)+５×(-1)=-11,z max=3×+5×=14.

［知识拓展］

某工厂生产甲、乙两种产品.已知生产甲种产品1 t，需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t.每1 t甲种产品的利润是600元，每1 t乙种产品的利润是1 000元.工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过360 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过300 t，甲、乙两种产品应各生产多少（精确到0.1 t），能使利润总额达到最大？

师 分析：将已知数据列成下表：

解：设生产甲、乙两种产品分别为x t、y t，利润总额为z元，

那么

目标函数为z=600x+1 000y.

作出以上不等式组所表示的平面区域，即可行域.

作直线l:600x+1 000y=0,

即直线:3x+5y=0,

把直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原点距离最大，此时z=600x+1 000y取最大值.

解方程组

得M的坐标为x=≈12.4,y=≈34.4.

答：应生产甲产品约12.4 t，乙产品34.4 t，能使利润总额达到最大.

课堂小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）.

（2）设t=0，画出直线l0.

（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解.

（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.

以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域作出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解.

当然也要注意问题的实际意义

布置作业

课本第105页习题3.3A组3、4.

第3课时

导入新课

师 前面我们已经学习了

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤以及以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤.这节课我们继续来看它们的实际应用问题.

推进新课

师 【例5】 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪.1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少克？

师 分析：将已知数据列成下表：

若设每天食用x kg食物A，y kg 食物B，总成本为z，如何列式？

生 由题设条件列出约束条件

其目标函数z=28x+21y.

二元一次不等式组①等价于

师 作出二元一次不等式组②所表示的平面区域，即可行域.请同学们在草稿纸上完成，再与课本上的对照.

生 考虑z=28x+21y,将它变形为,这是斜率为、随z变化的一族平行直线.是直线在y轴上的截距，当取得最小值时，z的值最小.当然直线与可行域相交，即在满足约束条件时目标函数z=28x+21y取得最小值.

由图可见，当直线z=28x+21y经过可行域上的点M时，截距z[]28最小，即z最小.

解方程组得点M(,)，因此，当,时，z=28x+21y取最小值，最小值为16.

由此可知每天食用食物A约143克，食物B约571克，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元.

师 【例6】 在上一节课本的例题（课本95页例3）中，若根据有关部门的规定，初中每人每年可收取学费1 600元，高中每人每年可收取学费2 700元.那么开设初中班和高中班各多少个，每年收取的学费总额最多？

师 由前面内容知若设开设初中班x个，高中班y个，收取的学费总额为z万元,

此时，目标函数z=0.16×45x+0.27×40y,可行域如下图

把z=7.2x+10.8y变形为，得到斜率为-，在y轴上截距为，随z变化的一组平行直线.

由图可以看出，当直线z=7.2x+10.8y经过可行域上的点M时，截距最大，即z最大.

解方程组得点M（20,10），因此，当x=20,y=10时，z=7.2x+10.8y取最大值，最大值为252.

由此可知开设20个初中班和10个高中班时，每年收取的学费总额最多，为252万元.

师 【例7】 在上一节例4中（课本96页例4），若生产1车皮甲种肥料，产生的利润为10 000元，若生产1车皮乙种肥料，产生的利润为5 000元，那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？

生 若设生产x车皮甲种肥料，y车皮乙种肥料，能够产生的利润z万元.目标函数 z= x+0.5y,可行域如下图：

把z=x+0.5y变形为y=-2x+2z,得到斜率为-2，在y轴上截距为2z,随z变化的一组平行直线.由图可以看出，当直线y=-2x+2z经过可行域上的点M时，截距2z最大，即z最大.

解方程组得点M(2,2),因此当x=2,y=2时，z=x+0.5y取最大值，最大值为3.

由此可见，生产甲、乙两种肥料各2车皮，能够产生最大的利润，最大利润为3万元.

［教师精讲］

师 以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解.

当然也要注意问题的实际意义.

课堂小结

用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：

（1）首先，要根据线性约束条件画出可行域（即画出不等式组所表示的公共区域）；

（2）设t=0，画出直线l0；

（3）观察、分析，平移直线l0，从而找到最优解；

（4）最后求得目标函数的最大值及最小值.

以实际问题为背景的线性规划问题其求解的格式与步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；

（3）在可行域内求目标函数的最优解.

当然也要注意问题的实际意义.

布置作业

课本第105页习题3.3 B组1、2、3

板书设计

第1课时

第2课时

第3课时

习题详解

（课本第104页练习）

1.(1)目标函数为z=2x+y，可行域如图所示，作出直线y=-2x+z,可知z要取最大值，即直线经过点C时，

解方程组得C（2，-1），

所以z max=2x+y=3.

（2）目标函数为z=3x+5y,可行域如图所示，作出直线z=3x+5y,可知直线经过点B时，z取得最大值;直线经过点A时，z取得最小值.

解方程组

和

可得点A（-2，-1）和点B（1.5,2.5）.

所以z max=17，

zmin =-11.

2.设每月生产甲产品x件，生产乙产品y件，每月收入为z，目标函数为z=3x+2y，需要满足的条件是

作直线z=3x+2y，当直线经过点A时，z取得最大值.

解方程组

可得点A（200，100）,z的最大值为800.

(课本第106页习题3.3)

A组

1.画图求解二元一次不等式：

（1）x+y≤2;

(2)2x-y＞2;

(3)y≤-2;

(4)x≥3.

2.

3.解：设每周播放连续剧甲x次，播放乙连续剧y次，目标函数z=60x+20y,所以题目中包含的限制条件为解方程组得（2，4）.所以z的最大值为200（万）.

4.解：设每周生产空调器x台、彩电y台，则生产冰箱12-x-y台，产值为z，目标函数为z=4x+3y+2(120-x-y)=2x+y+240,所以题目中包含的限制条件为

即

可行域如图，解方程组得M点坐标为（10，90）.所以每周应生产空调器10台，彩电90台，冰箱20台，才能使产值最高，最高产值是1 050千元.

B组

1.

2.

3.解：设甲粮库要向A镇运送大米x吨、向B镇运送大米y吨，总运费为z，则乙粮库要向A镇运送大米（70-x）吨、向B镇运送大米（110-y）吨，目标函数（总运费）为

z=12×20×x+25×10×y+15×12×(70-x)+20×8×(110-y)=60x+90y+30 200.

所以题目中包含的限制条件为

所以当x=70,y=30时，总运费最省,z min =37 100（元），

所以当x=0,y=100时，总运费最不合理,z max =39 200（元）.

使国家造成不该有的损失2 100元.

答：甲粮库要向A镇运送大米70吨，向B镇运送大米30吨，乙粮库要向A镇运送大米0吨，向B镇运送大米80吨，此时总运费最省，为37 100元.最不合理的调运方案是甲粮库要向A镇运送大米0吨、向B镇运送大米100吨，乙粮库要向A镇运送大米70吨、向B镇运送大米10吨，此时总运费为39 200元，使国家造成损失2 100元.

备课资料

备用习题

1.某糖果厂生产A、B两种糖果，A种糖果每箱获利润40元，B种糖果每箱获利润50元，其生产过程分为混合、烹调、包装三道工序，下表为每箱糖果生产过程中所需平均时间：（单位：分钟）

每种糖果的生产过程中，混合的设备至多能用12小时，烹调的设备至多只能用30小时，包装的设备只能用15小时，试求每种糖果各生产多少箱可获得最大利润？

分析：找约束条件，建立目标函数.

解：设生产A种糖果x箱，B种糖果y箱，可获得利润z元，则此问题的数学模式在约束条件下，求目标函数z=40x+50y的最大值，作出可行域，其边界OA：y=0，AB：3x+y-900=0，BC：5x+4y- 1 800 =0，CD：x+2y-720=0，DO：x=0.

由z=40x+50y,得，它表示斜率为，截距为z[]50的平行直线系，越大，z越大，从而可知过C点时截距最大，z取得了最大值.

解方程组C(120,300).

∴z max=40×120+50×300=19 800,即生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，可得最大利润19 800元.

点评：由于生产A种糖果120箱，生产B种糖果300箱，就使得两种糖果共计使用的混合时间为120＋2×300＝720（分），烹调时间5×120＋4×300＝1 800（分），包装时间3×120＋300＝660（分），这说明该计划已完全利用了混合设备与烹调设备的可用时间，但对包装设备却有240分钟的包装时间未加利用，这种“过剩”问题构成了该问题的“松弛”部分，有待于改进研究.

2.甲、乙、丙三种食物的维生素A、B含量及成本如下表：

某食物营养研究所想用x千克甲种食物，y千克乙种食物，z千克丙种食物配成100千克的混合食物，并使混合食物至少含56 000单位维生素A和63 000单位维生素B.（1）用x、y表示混合食物成本C；（2）确定x、y、z的值，使成本最低.

分析:找到线性约束条件及目标函数，用平行线移动法求最优解.

解:（1）依题意x、y、z满足x+y+z=100 z=100-x-y.

∴成本C=11x+9y+4z=7x+5y+400（元）.

（2）依题意

∵z=100-x-y,

∴

作出不等式组所对应的可行域，如右图所示.

联立交点A(50,20).

作直线7x+5y+400=C，则易知该直线截距越小，C越小，所以该直线过A(50,20)时，直线在y轴截距最小，从而C最小，此时7×50＋5×20＋400＝C＝850元.

∴x=50千克，z=30千克时成本最低.