课题：2.1认识一元二次方程

● 教学目标：

1、知识与技能目标：

探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数；能够从实际问题中抽象出方程知识

二、过程与方法目标：

在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系；

三、情感态度与价值观目标：

通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。

● 重点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别。

● 难点：一元二次方程的定义、各项系数的辨别。

● 教学流程：

一、 导入新课

我们在前面学习过方程这个概念。回忆一下什么是方程？什么样的方程是一元一次方程？

只含有一个未知数（元），并且未知数的次数是1的整式方程叫一元一次方程。

5x-15=0，这是一个什么样的方程？

思考下列问题：

1、一块四周镶有宽度相等的花边的地毯如下图，它的长为８m，宽为５m．如果地毯中央长方形图案的面积为１８m2 ，则花边有多宽？

解：如果设花边的宽为xm ，那么地毯中央长方形图案的长为 m，宽为　　　 m，根据题意，可得方程： 。

2、你能化简这个方程吗？

观察下面等式：

10２＋11２＋12２＝13２＋14２

你还能找到其他的五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？

如果设五个连续整数中的第一个数为x，那么后面四个数依次可表示为：　　　，　　，　　　，　　　　．

根据题意，可得方程： 。

2、如图，一个长为10m的梯子斜靠

在墙上，梯子的顶端距地面的垂直

距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，

那么梯子的底端滑动多少米？

解：由勾股定理可知，滑动前梯子底端距墙　m.

如果设梯子底端滑动x m，那么滑动后梯子底端距墙　　 m；根据题意，可得方程：

。

二、 新课讲解

1、一元二次方程的概念

由上面三个问题，我们可以得到三个方程：

(8-2x)(５-２) 即2x2 － 13x ＋ 11 = 0 .

x2+(x+1)2+(x+2)2=(x+3)2+(x+４)2即x2 － 8x － 20＝0.

（ x＋６)2＋７2＝102即x2 ＋12 x －15 ＝0.上述三个方程有什么共同特点？

上面的方程都是只含有　 的　 ，并且都可以化为　　　　的形式，这样的方程叫做一元二次方程．

把ax２＋bx＋c＝０(a，b，c为常数，a≠０)称为一元二次方程的一般形式，其中ax２ ， bx ， c分别称为二次项、一次项和常数项，a， b分别称为二次项系数和一次项系数．

3、探究理解

议一议

下列方程中是一元二次方程的是 ( )

word/media/image2_1.png

word/media/image3_1.png

word/media/image5_1.pngword/media/image6_1.pngword/media/image7_1.png 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

word/media/image8_1.png

解：(1)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：5、﹣4、﹣1.

word/media/image10_1.png(2)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：4、0、﹣ 81.

word/media/image11_1.png(3)一般形式：word/media/image12_1.png 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：4、8、﹣25.

(4)一般形式： 二次项系数、一次项系数及常数项分别为：1/3、﹣7、4.

四、课堂练习

1.根据题意列出一元二次方程：已知直角三角形的三边长为连续整数，求它的三边长.

word/media/image14_1.png答：根据题意，设：直角三角形的三边长分别为：x，x+1，x+2，又因为： x< x+2，所以：

化得：

求得： 又由题意可知x大于0，所以它的三边长分别为：3、4、5.

2.把方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项.

答：化成一元二次方程的一般形式为： 二次项系数为5，一次项系数为36，常数项为﹣32.

五、课堂小结

在今天这节课上，你有什么样的收获呢？有什么感想？

1.一元二次方程的概念.

一元二次方程的定义要求的三个条件.要灵活运用定义判断方程是一元二次方程或由一元二次方程来确定一些字母的值及取值范围.

2.一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）和二次项、二次项系数，一次项、一次项系数，常数项的概念.

六、 课堂拓展

1.当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么?当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程?

当a≠1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b≠0时是一元一次方程.

2.一元一次方程与一元二次方程有什么区别与联系？

七、达标测评

word/media/image18_1.pngword/media/image19_1.pngword/media/image20_1.pngword/media/image21_1.png1.食堂存煤mt，计划每天用煤nt，实际每天节约用煤2t，则节约后多用的天数是（　　）

A． B． C. D．

2．电影院第一排有m个座位，后面一排都比前一排多1个座位．第n排有（　　）个座位．

A．m+n B．m+n+1 C．m+n-1 D．mn

3．若某三位数的个位数字为a，十位数字为b，百位数字为c，则这个三位数可表示为 .

4、把方程 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。

5、请写出一个一次项系数与常数项互为相反数的一元二次方程________

6、关于x的方程ax2+bx+c=0是一元二次方程吗？

7、关于x的方程(k－3)x2 ＋ 2x－1＝0，当k ___时，是一元二次方程。

8、关于x的方程3x2+6+x=mx2是一元二次方程的条件是什么？是一元一次方程的条件呢?

9、关于x的方程(k2－1)x2 ＋ 2 (k－1) x ＋ 2k ＋ 2＝0，当k 　时，是一元二次方程，当k　　 时，是一元一次方程。

七、布置作业

教材32页习题第1、2题。