本章复习课__[学生用书B26]

类型之一　二次函数的图象和性质

1．[2018·宁波]如图22－1，二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P，若点P的坐标为－1，则一次函数y＝(a－b)x＋b的图象大致是(　D　)

图22－1

　 A　　　 　 　B　　　 　　C　　 　　　D

【解析】 把x＝－1代入y＝ax2＋bx得a－b<0，

∵图象开口向下，∴a<0，

又∵对称轴位于y轴左侧，∴a，b同号，∴b＜0，

∴y＝(a－b)x＋b的图象经过二、三、四象限，故选D.

2．抛物线y＝x2＋bx＋c(其中b，c是常数)过点A(2，6)，且抛物线的对称轴与线段y＝0(1≤x≤3)有交点，则c的值不可能是(　A　)

A．4 B．6 C．8 D．10

【解析】 由题意得解得6≤c≤14.故选A.

3．[2018·潍坊]已知二次函数y＝－(x－h)2(h为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，则h的值为(　B　)

A．3或6 B．1或6

C．1或3 D．4或6

【解析】 二次函数y＝－(x－h)2，当x＝h时，有最大值0，而当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y的最大值为－1，故h＜2或h＞5.当h＜2，2≤x≤5时，y随x的增大而减小，故当x＝2时，y有最大值，此时－(2－h)2＝－1，解得h1＝1，h2＝3(舍去)，∴h＝1；当h＞5，2≤x≤5时，y随x的增大而增大，故当x＝5时，y有最大值，此时－(5－h)2＝－1，解得h1＝6，h2＝4(舍去)，∴h＝6.综上所述h＝1或6，故选B.

类型之二　求二次函数的解析式

4．如图22－2，直线y＝－x－2交x轴于点A，交y轴于点B，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为A，且经过点B.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)若点C在抛物线上，求m的值．

图22－2

解：(1)∵点A，点B在直线y＝－x－2上，当y＝0时，x＝－2；当x＝0时，y＝－2.

∴点A，点B的坐标分别为(－2，0)，(0，－2)．

设抛物线的解析式为y＝a(x＋2)2(a≠0)，

将B(0，－2)代入抛物线的解析式，得－2＝4a，

∴a＝－，∴该抛物线的解析式为y＝－(x＋2)2，

即y＝－x2－2x－2；

(2)把代入y＝－(x＋2)2，

得－＝－(m＋2)2，解得m1＝1，m2＝－5.

类型之三　二次函数的图象与系数之间的关系

5．[2018·绥化]抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图22－3所示，与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是x＝1.下列结论：①abc＞0，

图22－3

②2a＋b＝0；

③方程ax2＋bx＋c＝3有两个不相等的实数根；

④抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－2，0)；

⑤若点A(m，n)在该抛物线上，则am2＋bm＋c≤a＋b＋c.

其中正确的有(　B　)

A．5个 B．4个 C．3个 D．2个

【解析】 根据图象可得a＜0，c＞0，根据对称轴可得－＝1，∴b＞0，b＝－2a，∴abc＜0，2a＋b＝0，故①错误，②正确；

∵抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与直线y＝3有两个交点，∴方程ax2＋bx＋c＝3有两个不相等的实数根，故③正确；

∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(4，0)，抛物线的对称轴是x＝1，∴与x轴的另一个交点坐标为(－2，0)，故④正确；

∵x＝1时，函数取得最大值a＋b＋c，又∵点A(m，n)在该抛物线上，∴am2＋bm＋c＝n，而n≤a＋b＋c，

∴am2＋bm＋c≤a＋b＋c，故⑤正确．故选B.

6．[2017·南充]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的图象如图22－4所示，下列结论错误的是(　D　)

图22－4

A．4ac＜b2 B．abc＜0

C．b＋c＞3a D．a＜b

【解析】 ∵抛物线与x轴有两个交点，∴Δ＞0，即b2－4ac＞0，∴4ac＜b2.选项A中的结论正确；

∵抛物线的开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左边，∴－＜0，∴b＜0，∵抛物线与y轴的负半轴相交，∴c＜0，∴abc＜0.选项B中的结论正确；

∵－＞－1，a＜0，∴b＞2a①.∵x＝－1时，y＞0，∴a－b＋c＞0②.①＋②，得c＞a③.①＋③，得b＋c＞3a.选项C中的结论正确．

∵当x＝－1时，y＝a－b＋c＞0，c＜0，∴a－b＞－c＞0，∴a＞b.选项D中的结论错误．故选D.

类型之四　抛物线的平移、对称

7．[2017·丽水]将函数y＝x2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的是(　D　)

A．向左平移1个单位

B．向右平移3个单位

C．向上平移3个单位

D．向下平移1个单位

【解析】 A．平移后，得y＝(x＋1)2，图象经过A点，故A不符合题意；

B．平移后，得y＝(x－3)2，图象经过A点，故B不符合题意；

C．平移后，得y＝x2＋3，图象经过A点，故C不符合题意；

D．平移后，得y＝x2－1，图象不经过A点，故D符合题意．故选D.

类型之五　二次函数与一元二次方程

8．[2018·湖州]在平面直角坐标系xOy中，已知点M，N的坐标分别为(－1，2)，(2，1)，若抛物线y＝ax2－x＋2(a≠0)与线段MN有两个不同的交点，则a的取值范围是(　A　)

A．a≤－1或≤a＜ B.≤a＜

C．a≤或a＞ D．a≤－1或a≥

【解析】 ∵抛物线的解析式为y＝ax2－x＋2，

直线MN的解析式为y＝－x＋，

由消去y得到3ax2－2x＋1＝0，

∵Δ＝4－12a＞0，∴a＜，

抛物线过定点(0，2)，MN过点，

　第8题答图

如答图，观察图象可知当a＜0时，需满足x＝－1时，y≤2，且－≥－1，即a＋1＋2≤2且≥0，解得a≤－1；

当0＜a＜时，需满足x＝2时，y≥1，且－≤2，即4a－2＋2≥1且≤0，解得≤a＜，

综上所述，满足条件的a的取值范围是a≤－1或≤a＜.故选A.

9．[2018·孝感]如图22－5，抛物线y＝ax2与直线y＝bx＋c的两个交点坐标分别为A(－2，4)，B(1，1)，则方程ax2＝bx＋c的解是__x1＝－2，x2＝1__．

图22－5

10．[2017·德阳改编]若抛物线y＝－ax2＋x－与x轴交于An，Bn两点(a为常数，a≠0，n为正整数)，用Sn表示An，Bn两点间的距离，求S1＋S2＋…＋S2 017.

解：令y＝0，An在Bn右侧，可以得到An和Bn的坐标分别为An，Bn.

则Sn＝|xA－xB|＝－，S1＋S2＋…＋S2 017＝－＋－＋…＋－＝1－＝.

类型之六　二次函数的实际应用

11．[2018·威海改编]如图22－6，将一个小球从斜坡的点O处抛出，小球的抛出路线可以用二次函数y＝4x－x2刻画，斜坡可以用一次函数y＝x刻画，下列结论错误的是(　A　)

图22－6

A．当小球抛出高度达到7.5 m时，小球距O点水平距离为3 m

B．小球距O点水平距离超过4 m呈下降趋势

C．小球落地点距O点水平距离为7 m

D．落点的高度与水平距离的比为1∶2

【解析】 根据函数图象可知，当小球抛出的高度为7.5 m时，二次函数y＝4x－x2的函数值为7.5，即4x－x2＝7.5，解得x1＝3，x2＝5，故当抛出的高度为7.5 m时，小球距离O点的水平距离为3或5 m，A结论错误；

由y＝4x－x2，得y＝－(x－4)2＋8，则抛物线的对称轴为直线x＝4，当x＞4时，y随x值的增大而减小，B结论正确；

联立方程y＝4x－x2与y＝x，解得或则抛物线与直线的交点坐标为(0，0)或，C结论正确；由落点知落点处的高度与水平距离的比为∶7＝1∶2，D结论正确．故选A.

12．[2018·绍兴]学校拓展小组研制了绘图智能机器人(如图22－7①)，顺次输入点P1，P2，P3的坐标，机器人能根据图②，绘制图形．若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式．请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式．

(1)P1(4，0)，P2(0，0)，P3(6，6)．

(2)P1(0，0)，P2(4，0)，P3(6，6)．

图22－7

解：(1)∵P1(4，0)，P2(0，0)，4－0＝4＞0，

∴绘制线段P1P2，P1P2＝4；

(2)∵P1(0，0)，P2(4，0)，0－0＝0，

∴绘制抛物线，设y＝ax(x－4)，

把(6，6)代入得6＝12a，解得a＝，

∴y＝x(x－4)＝x2－2x.

13．[2018·台州]某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型原料药未来两年的销售进行预测，并建立如下模型，设第t个月该原料药的月销售量为P(单位：t)，P与t之间存在如图22－8所示的函数关系，其图象是函数P＝(0＜t≤8)的图象与线段AB的组合；设第t个月销售该原料药每吨的毛利润为Q(单位：万元)，Q与t之间满足如下关系：Q＝

(1)当8＜t≤24时，求P关于t的函数解析式；

(2)设第t个月销售该原料药的月毛利润为w(单位：万元)．

①求w关于t的函数解析式；

②该药厂销售部门分析认为，336≤w≤513是最有利于该原料药可持续生产和销售的月毛利润范围，求此范围所对应的月销售量P的最小值和最大值．

图22－8 　第13题答图

解：(1)当8＜t≤24时，

设P关于t的函数解析式为P＝kt＋b(k≠0)，

∵函数P＝kt＋b的图象经过点(8，10)与(24，26)，

∴解得∴P＝t＋2；

(2)①当0＜t≤8时，w＝P·Q＝·(2t＋8)＝240，

当8＜t≤12时，w＝P·Q＝(t＋2)(2t＋8)＝2t2＋12t＋16，

当12＜t≤24时，w＝P·Q＝(t＋2)(－t＋44)＝－t2＋42t＋88，

∴w关于t的函数解析式为

w＝

②w关于t的函数图象如答图所示，

由图象可知，当w＝336时，2t2＋12t＋16＝336，

解得t1＝10，t2＝－16(不合题意，舍去)，

当w＝513时，－t2＋42t＋88＝513，

解得t1＝17，t2＝25＞24(不合题意，舍去)，

∵336≤w≤513，∴10≤t≤17，

∴P＝t＋2(8＜t≤24)，∴P随t增大而增大，

∴当t＝10时，P有最小值12，当t＝17时，P有最大值19.

类型之七　二次函数的综合应用

14．[2018·嘉兴]已知点M为二次函数y＝－(x－b)2＋4b＋1图象的顶点，直线y＝mx＋5分别交x 轴的正半轴，y轴于点A，B.

(1)判断顶点M 是否在直线y＝4x＋1上，并说明理由；

(2)如图22－9①，若二次函数图象也经过点A，B，且mx＋5>－(x－b)2＋4b＋1，根据图象，写出x的取值范围；

(3)如图②，点A的坐标为(5，0)，点M在△AOB 内，若点C，D都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．

图22－9

解：(1)点M在该直线上．理由：

∵点M的坐标是(b，4b＋1)，

∴把x＝b代入y＝4x＋1，得y＝4b＋1，

∴点M在直线y＝4x＋1上；

(2)∵直线y＝mx＋5与y轴交于点B，

∴点B的坐标为(0，5)．

又∵B(0，5)在抛物线上，

∴5＝－(0－b)2＋4b＋1，解得b＝2，

∴二次函数的解析式为y＝－(x－2)2＋9，

∴当y＝0时，得x1＝5，x2＝－1，∴A(5，0)．

观察图象可得，当mx＋5>－(x－b)2＋4b＋1时，x的取值范围为x<0或x>5；

(3)如答图，设直线y＝4x＋1与直线AB交于点E，与y轴交于点F，而直线AB的解析式为y＝－x＋5，

第14题答图

联立

解得∴E，F(0，1)．

∵点M在△AOB内，∴0<b<.

当点C，D关于抛物线对称轴(直线x＝b)对称时，

b－＝－b，∴b＝，

且二次函数的开口向下，顶点M在直线y＝4x＋1上，

综上：①当0<b<时，y1>y2；

②当b＝时，y1＝y2；

③当＜b＜时，y1<y2.

第二十二章质量评估试卷　[学生用书活页P5]

[时间：120分钟　满分：120分]

一、选择题(每小题3分，共30分)

1．抛物线y＝x2＋2x＋3的对称轴是(　B　)

A．x＝1 B．x＝－1

C．x＝－2 D．x＝2

2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图1所示，当函数值y>0时，x的取值范围是(　D　)

图1

A．x<－1 B．x>3

C．－1<x<3 D．x<－1或x>3

3．[2017·德州]下列函数中，对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2的是(　A　)

A．y＝－3x＋2 B．y＝2x＋1

C．y＝2x2＋1 D．y＝－

【解析】 一次函数y＝－3x＋2中，由于k＝－3＜0，所以y随着x的增大而减小，即对于任意实数x1，x2，当x1＞x2时，满足y1＜y2.

4．[2018·海州区一模]关于二次函数y＝－(x＋1)2＋2的图象，下列判断正确的是(　D　)

A．图象开口向上

B．图象的对称轴是直线x＝1

C．图象有最低点

D．图象的顶点坐标为(－1，2)

5．如图2是反映铅球运动员掷铅球的高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的函数关系的图象，其函数解析式为y＝－x2＋x＋，则该运动员此次掷铅球的成绩是(　D　)

图2

A．6 m B．12 m

C．8 m D．10 m

【解析】 令y＝0，得－x2＋x＋＝0，

解得x1＝10，x2＝－2(不合题意，舍去)．故选D.

6．二次函数y＝－x2＋4x＋k的部分图象如图3所示，则关于x的一元二次方程－x2＋4x＋k＝0的一个解为x1＝5，另一个解x2等于(　B　)

图3

A．1

B．－1

C．－2

D．0

7．点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝－x2＋2x＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　D　)

A．y3>y2>y1 B．y3>y1＝y2

C．y1>y2>y3 D．y1＝y2>y3

8．[2018·平阴二模]把抛物线y＝－2x2＋4x＋1的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是(　C　)

A．y＝－2(x－1)2＋6 B．y＝－2(x－1)2－6

C．y＝－2(x＋1)2＋6 D．y＝－2(x＋1)2－6

【解析】 原抛物线的顶点坐标为(1，3)，向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到新抛物线的顶点坐标为(－1，6)．可得新抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2＋6.故选C.

9．[2018·德州]函数y＝ax2－2x＋1和y＝ax－a(a是常数，且a≠0)在同一平面直角坐标系的图象可能是(　B　)

　　　 A　　 　 　B　　 　　 C　　 　 　D

【解析】 当a＞0时，二次函数图象开口向上且对称轴在y轴的右侧，一次函数的图象上升，排除A，C；当a＜0时，二次函数图象开口向下且对称轴在y轴的左侧，排除D.故选B.

10．[2018·兰州]已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图4所示，有下列5个结论：①abc＞0；②b－a>c；③4a＋2b＋c＞0；④3a＞－c；⑤a＋b＞m(am＋b)(m≠1的实数)．其中正确的结论有(　B　)

图4

A．①②③ B．②③⑤

C．②③④ D．③④⑤

【解析】 ∵二次函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在x轴的正半轴，∴b＞0，∵二次函数与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＜0，故①错误；

当x＝－1时，a－b＋c＜0，∴b－a＞c，故②正确；

由图象知当x＝2时，4a＋2b＋c＞0，故③正确；

由对称轴为x＝1得－＝1，∴b＝－2a，

当x＝－1时，a－b＋c＜0，∴3a＜－c，故④错误；

∵当x＝1时，函数有最大值a＋b＋c，

∴a＋b＋c＞am2＋bm＋c(m≠1的实数)，

∴a＋b＞m(am＋b)(m≠1的实数)，

故⑤正确，∴正确的结论是②③⑤，故选B.

二、填空题(每小题4分，共24分)

11．[2018·哈尔滨]抛物线y＝2(x＋2)2＋4的顶点坐标为__(－2，4)__．

12．抛物线y＝2(x＋1)2是由抛物线y＝2x2向__左__平移__1__个单位得到的．

13．[2017·兰州]如图5，若抛物线y＝ax2＋bx＋c上的P(4，0)，Q两点关于抛物线的对称轴x＝1对称，则Q点的坐标为__(－2，0)__．

图5

【解析】 点P，Q两点关于对称轴对称，则点P，Q两点到对称轴x＝1的距离相等，∴Q点的坐标为(－2，0)．

14．有一个抛物线形拱桥，其最大高度为16 m，跨度为40 m，现把它的示意图放在平面直角坐标系中，如图6所示，则抛物线的解析式是__y＝－x2＋x__.

图6

【解析】 抛物线的顶点为(20，16)，且过点(0，0)，

设抛物线的解析式为y＝a(x－20)2＋16(a≠0)，

把(0，0)代入，得a×400＋16＝0，解得a＝－.

∴y＝－(x－20)2＋16，即y＝－x2＋x.

15．如图7，抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴相交于点A，B(m＋2，0)，与y轴相交于点C，点D在该抛物线上，坐标为(m，c)，则点A的坐标是__(－2，0)__．

图7

【解析】 由C(0，c)，D(m，c)，得函数图象的对称轴是x＝，

设A点坐标是(x，0)，由A，B关于对称轴x＝对称，得＝，解得x＝－2，

∴A点坐标是(－2，0)．

16．[2018·遵义]如图8，抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上任意一点，若点D，E，F分别是BC，BP，PC的中点，连接DE，DF，则DE＋DF的最小值为____．

　图8 　　　第16题答图

【解析】 如答图，连接AC，交对称轴于点P，

则此时PC＋PB最小，

∵点D，E，F分别是BC，BP，PC的中点，

∴DE＝PC，DF＝PB，

∵抛物线y＝x2＋2x－3与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，

∴0＝x2＋2x－3，

解得x1＝－3，x2＝1，

当x＝0时，y＝－3，

故CO＝3，AO＝3，

可得AC＝PB＋PC＝3，

故DE＋DF的最小值为.

三、解答题(共66分)

17．(8分)通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标．

(1)y＝x2－3x－4；

(2)y＝－4x2＋3x.

解：(1)y＝x2－3x－4＝－，开口向上，对称轴为x＝，顶点坐标为；

(2)y＝－4x2＋3x＝－4＋，开口向下，对称轴为x＝，顶点坐标为.

18．(8分)已知二次函数的图象经过点A(0，－3)，且顶点P的坐标为(1，－4)．

(1)求这个函数的解析式；

(2)在平面直角坐标系中，画出它的图象．

第18题答图

解：(1)设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2－4(a≠0)，将点A(0，－3)代入，

得－3＝a×(0－1)2－4，

解得a＝1，

∴y＝(x－1)2－4，

即y＝x2－2x－3；

(2)图象如答图所示．

19．(10分)如图9，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)和B(3，0)两点，且交y轴于点C.

(1)试确定b，c的值；

(2)过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．

图9

解：(1)将A，B两点坐标代入二次函数的解析式，得

解得b＝－2，c＝－3；

(2)由(1)得二次函数的解析式为y＝x2－2x－3，

配方，得y＝x2－2x＋1－4＝(x－1)2－4，

∴抛物线的顶点M的坐标为(1，－4)．

令x＝0，得y＝－3，∴C(0，－3)．

由抛物线的对称性，可得D(2，－3)，

∴CD＝2，CM＝DM＝.

又∵CM2＋DM2＝CD2，

∴△MCD是等腰直角三角形．

20．(10分)[2018·衡阳]一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，市场调查发现这种产品的销售价不宜高于16元/件，且该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图10所示．

图10

(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；

(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

解：(1)设y与x之间的函数关系式y＝kx＋b，把(10，30)，(16，24)代入，

得解得

∴y与x之间的函数关系式为y＝－x＋40(10≤x≤16)；

(2)W＝(x－10)(－x＋40)

＝－x2＋50x－400＝－(x－25)2＋225，

对称轴为x＝25，在对称轴的左侧W随着x的增大而增大，

∵10≤x≤16，

∴当x＝16时，W的值最大，最大值为144.

即当销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．

21．(10分)[2017·临沂改编]如图11，抛物线y＝ax2＋bx－3经过点A(2，－3)，与x轴负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC＝3OB.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点D在y轴上，且∠BDO＝∠BAC，求点D的坐标．

　　　　　 图11　　　　　　　　第21题答图

解：(1)令x＝0，由y＝ax2＋bx－3，得y＝－3，

∴C(0，－3)，OC＝3.

又∵OC＝3OB，∴OB＝1，∴B(－1，0)．

把B(－1，0)和A(2，－3)分别代入y＝ax2＋bx－3，

得解得

∴该二次函数的解析式为y＝x2－2x－3；

(2)如答图，过点B作BE⊥x轴交AC的延长线于点E.

∵B(－1，0)，A(2，－3)，∴AE＝BE＝3，

∴∠BAE＝45°，∴∠BDO＝45°，

∵∠BOD＝90°，∴△BDO是等腰直角三角形，

∴OD＝OB＝1，

∴D点坐标为(0，1)或(0，－1)．

22．(10分)某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12 m，抛物线拱高为5.6 m.

(1)在如图12所示的平面直角坐标系中，求抛物线的解析式；

(2)现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5 m，高1.6 m，相邻窗户之间的间距均为0.8 m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8 m．请计算最多可安装几扇这样的窗户．

图12

解：(1)设抛物线的解析式为y＝ax2(a≠0)．

∵点B(6，－5.6)在抛物线上，

∴－5.6＝36a，解得a＝－，

∴抛物线的解析式为y＝－x2；

(2)设窗户上边所在直线交抛物线于C，D两点，D点坐标为(k，t)．

∵窗户高1.6 m，∴t＝－5.6＋1.6＝－4，

∴－4＝－k2，

解得k1≈5.07，k2≈－5.07，

∴CD＝|k|×2≈10.14(m)．

又设最多可安装n扇窗户，

则1.5n＋0.8(n＋1)≤10.14，解得n≤4.06.

∵n为正整数，∴n取4，

∴最多可安装4扇这样的窗户．

23．(10分)[2018·鄂州]如图13，已知直线y＝x＋与抛物线y＝ax2＋bx＋c相交于A(－1，0)，B(4，m)两点，抛物线交y轴于点C，交x轴正半轴于D点，抛物线的顶点为M.

图13　 　　第23题答图

(1)求抛物线的解析式及点M的坐标；

(2)设点P为直线AB下方的抛物线上一动点，当△PAB的面积最大时，求此时△PAB的面积及点P的坐标；

解：(1)将B(4，m)代入y＝x＋，得m＝×4＋＝，

∴B，将A(－1，0)，B，C代入y＝ax2＋bx＋c，

得解得

∴抛物线的解析式为y＝x2－x－，

y＝x2－x－＝(x－1)2－2，故顶点M的坐标为(1，－2)；

(2)如答图，过点P作PE⊥x轴，交AB于点E，交x轴于点G，过点B作BF⊥x轴于点F，

∵A(－1，0)，B，∴AF＝4―(―1)＝5，

设点P的坐标为，

则点E的坐标为，

∵点P在直线AB下方，∴PE＝－＝－m2＋m＋2，

∴S△PAB＝S△APE＋S△BPE

＝PE·AG＋PE·FG ＝PE·(AG＋FG)

＝PE·AF＝×5

＝－＋，

∴当m＝时，△PAB的面积最大，最大面积为，此时点P的坐标为.