烟台市2019年高考诊断性测试

文科数学 2019.3

注意事项：

1．本试题满分150分，考试时间为120分钟．

2．答卷前，务必将姓名和准考证号填涂在答题卡上．

3．使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写，要字迹工整，笔迹清晰．超出答题区书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求．

1．已知复数z满足(i为虚数单位)，则

A． B． C．1+i D．1－i

2．若集合

A． B． C． D．

3．在矩形ABCD中，.若点M,N分别是CD，BC的中点，则

A．4 B．3 C．2 D．1

4．函数是定义在R上的奇函数，则实数

A. B.0 C.1 D.2

5．在平面直角坐标系中，角的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点(－3，1)，则

A． B． C． D．

6．执行如图所示的程序框图，则输出的结果是

A．8 B．16 C．32 D．64

7．已知，“”是“”的

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

8.已知函数，其图象相邻两条对称轴之间距离为，将函数的向右平移个单位长度后，得到关于y轴对称，则

A. 的关于点对称 B. 的图象关于点对称

C. 在单调递增 D. 在单调递增

9．我国南北朝时期数学家祖暅，提出了著名的祖暅原理：“缘幂势既同，则积不容异也”．“幂”是截面积，“势”是几何体的高，意思是两等高几何体，若在每一等高处的截面积都相等，则两几何体体积相等．已知某不规则几何体与右侧三视图所对应的几何体满足“幂势既同”，其中俯视图中的圆弧为圆周，则该不规则几何体的体积为

A． B． C． D．

10．在中，角A,B,C的对边分别为，若

A． B． C． D．

11．已知圆锥曲线的公共焦点为.点M为的一个公共点，且满足，若圆锥曲线的离心率为，则的离心率为

A． B． C． D．

12．已知函数，则使不等式成立的的最小整数为

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共有4个小题，每小题5分，共20分．

13．已知函数内任取一个实数，使得的概率是

14．己知满足约束条件的最小值是

15．已知圆的弦AB的中点为，直线AB交轴于点P，则的值为

16．若定义域为R的函数，则不等式的解集为（结果用区间表示）

三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．试题组提供.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

(一)必考题：60分．

17．(12分)

已知等差数列的公差是1，且成等比数列．

(1)求数列的通项公式；

(2)求数列的前n项和．

18．(12分)

如图，四边形ABCD为矩形，A，E，B，F四点共面，且△ABE和△ABF均为等腰直角三角形，．

(1)求证：平面BCE//平面ADF；

(2)若平面平面AEBF，AF=1，BC=2求三棱锥的体积．

19．(12分)

已知F为抛物线的焦点，过F的动直线交抛物线C于A，B两点．

当直线与x轴垂直时，．

(1)求抛物线C的方程；

(2)设直线AB的斜率为1且与抛物线的准线相交于点M，抛物线C上存在点P使得直线PA,PM,PB的斜率成等差数列，求点P的坐标．

20．(12分)

2019年2月13日《烟台市全民阅读促进条例》全文发布，旨在保障全民阅读权利，培养全民阅读习惯，提高全民阅读能力，推动文明城市和文化强市建设．某高校为了解条例发布以来全校学生的阅读情况，随机调查了200名学生每周阅读时间X(单位：小时)并绘制如图所示的频率分布直方图．

(1)求这200名学生每周阅读时间的样本平均数和中位数a (a的值精确到0.01)；

(2)为查找影响学生阅读时间的因素，学校团委决定从每周阅读时间为的学生中抽取9名参加座谈会．

(i)你认为9个名额应该怎么分配？并说明理由；

(ii)座谈中发现9名学生中理工类专业的较多.请根据200名学生的调研数据，填写下面的列联表，并判断是否有95%的把握认为学生阅读时间不足（每周阅读时间不足8.5小时）与“是否理工类专业”有关？

附：．

临界值表：

21．(12分)

已知函数．

(1)当时，求曲线在点处的切线方程；

(2)设函数…是自然对数的底数，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．

(二)选考题：共10分．请在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题

计分．

22．[选修4—4：坐标系与参数方程](10分)

在平面直角坐标系中，直线的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.

(1)求直线的普通方程及曲线C的直角坐标方程；

(2)设点，直线与曲线C相交于两点A，B，求的值.

23．[选修4—5：不等式选讲](10分)

已知函数。

(1)当m=1时，求不等式的解集；

(2)若实数m使得不等式恒成立，求m的取值范围．

文科数学参考答案及评分标准

一、选择题

A B C C D C B C B D B D

二、填空题

13. 14. 15. 16.

三、解答题

17.解：（1）因为是公差为的等差数列，且成等比数列，

所以，即，解得. ………………4分

所以. ………………………………………5分

（2）

………6分

两式相减得 ………8分

所以 ………………………11分

所以. …………………………………12分

18.（1）证明：∵四边形为矩形，，

又平面，平面，∴平面. ………2分

∵和均为等腰直角三角形，且90°，

∴，∴，

又平面，平面，

∴平面， …………………………………4分

∵平面，平面，，

∴平面平面. …………………………………6分

（2）∵为矩形，∴，

又∵平面平面，平面，

平面平面，

∴平面， ……………………………………………8分

在中，因为,所以,

所以. ………10分

由. ………12分

19.解：（1）因为，在抛物线方程中，令，可得. …2分

于是当直线与轴垂直时，，解得. ………3分

所以抛物线的方程为. ………………………………4分

（2）因为抛物线的准线方程为，所以. ………5分

设直线的方程为，

联立消去，得.

设，，则，. ………7分

若点满足条件，则，

即， ……………………………………8分

因为点均在抛物线上，所以.

代入化简可得， ………10分

将，代入，解得. ………11分

将代入抛物线方程，可得.

于是点为满足题意的点. ………………………………………12分

20.解：（1）该组数据的平均数

………………………2分

因为，所以中位数，

由，解得； …4分

（2）（i）每周阅读时间为的学生中抽取名,每周阅读时间为的学生中抽取名. ………………………………………………5分

理由：每周阅读时间为与每周阅读时间为是差异明显的两层，为保持样本结构与总体结构的一致性，提高样本的代表性，宜采用分层抽样的方法抽取样本；因为两者频率分别为，所以按照进行名额分配. ………………………7分

（ii）由频率分布直方图可知，阅读时间不足小时的学生共有人，超过小时的共有人.

于是列联表为：

……………9分

的观测值， ………11分

所以有的把握认为学生阅读时间不足与“是否理工类专业”有关. ……12分

21.解：（1）由题意，所以当时，，，……2分

因此曲线在点处的切线方程是，

即. ……………………………………………………4分

（2）因为

所以

， ………………6分

令，则，令得，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以当时，，也就说，对于恒有. ………………………8分

当时，，在上单调递增，无极值；

…………………………………………9分

当时，令，可得.当或，，单调递增，当，，单调递减；因此，当时，取极大值；当时，取极小值. …………………………11分

综上所述：

当时 在上单调递增，无极值；

当时， 在和单调递增，在单调递减，函数既有极大值，又有极小值，极大值为，极小值为. ………………………………………12分

22.解：（1）直线的普通方程为； …………………………………2分

因为，所以，

将，，代入上式，可得. …………4分

（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，可得，

设两点所对应的参数分别为，则，. ………6分

于是 …………………………………8分

. …………………………………10分

23.解：（1）

当时，原不等式转化为，解得； ………1分

当时，原不等式转化为， 解得； …2分

当时，原不等式转化为，解得； ……………3分

综上，不等式的解集为. ………………………………4分

（2）由已知得：，即.

，由题意. ………………………6分

当时，为减函数，此时最小值为；

………………………………8分

当时，为增函数，此时最小值为.

又，所以 ……………………………………9分

所以，的取值范围为. ……………………………………10分