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第３Ｏ卷第１期　２０１２年Ｏ１月　佳木斯大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖ０１．３０　Ｎｏ．１　Ｊａｎ．　２０１２　文章编号：１００８—１４０２（２０１２）０１—０１４８—０３　随机利率下多元衰减模型的Ｔｈｉｅｌｅ’Ｓ微分方程①　许道军，李敏，沈浮　（解放军陆军军官学院基础部数学教研室。安徽合肥２３００３１）　摘要：在随机利率服从Ｗｉｅｎｅｒ过程的条件下，讨论了随机利率下多元衰减模型的净准金，得　到随机利率为Ｗｉｅｎｅｒ过程时的Ｔｈｉｅｌｅ’Ｓ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ．发现，随机利率下多元衰减模型的　保费由储蓄保费、利率风险保费和死亡风险保费三部分组成，而后两者之和即为风险保费．　关键词：Ｔｈｉｅｌｅ’Ｓ微分方程；随机利率；多元衰减模型；净准备金；Ｗｉｅｎｅｒ过程　中图分类号：　Ｏ２１１．９　文献标识码：Ａ　０　引　言　不管是单张保单还是保单组合，死亡率和利率　都随机时准备金的表达形式比较繁琐，因此，人们　对随机利率下寿险的准备金理论研究很少，对于多　元衰减模型的情形更是如此．在Ｈａｎｓ　Ｕ．Ｇｅｒｂｅｒ的　著作“Ｌｉｆｅ　Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ”（Ｔｈｉｒｄ　Ｅｄｉｔｉｏｎ　亡后立即给付，采用下面的表示方法　（１）在时刻ｔ，由第＿『种原因导致死亡的保险金　额记为Ｃ　（￡）√＝１，２，…，ｍ；　（２）在时刻ｔ，由第Ｊ．种原因导致死亡的死亡力　函数记为　√＝１，２，…，ｍ，且有∑　＝　＋Ｉ；　１９９７）中给出了在固定利息力　下多元衰减的模型　（１）在时刻ｔ，由第　种原因导致死亡的保险金　额记为Ｃ　（　），（－『：１，２，…，ｍ）；　（２）在时刻ｔ，由第　种原因导致死亡的死亡力　（３）保费连续缴纳，设时刻ｔ的保费缴纳率为　７ｒ（￡）；　（４）在时刻ｔ的利息力函数随机变量记为　（￡）：　＋｜ｌＢ　，其中　≥ｏ，　≥０，　为参数，　（ｔ）为标准Ｗｉｅｎｅｒ过程．　记Ｙ（ｔ）＝ｅ－　（”）出，易得Ｙ（ｔ）＝ｅ咄　ｔ保险人的未来损失量为　（Ｔ）　一　ｓ）　圳（１）　函数记为竹　，（＿『＝１，２，…，ｍ），且有∑　＝１　＝　，时刻　＋ｆ；　（３）保费连续缴纳，设时刻ｔ的保费缴纳率为　７ｒ（ｔ）的净准备金与Ｔｈｉｅｌｅ’Ｓ微分方程，得到时刻ｔ　缴纳的保费由储蓄保费７ｒ　（　）和（死亡）风险保费　ｊ　２　净准备金与Ｔｈｉｅｌｅ’Ｓ微分方程　定理１：　时刻ｔ的净准备金　＝７ｒ　（ｔ）构成，其中７『　（￡）＝　一　，丌　（　）＝　∑［　（￡）一　…　＝１　１　模型的建立　考虑下面的模型：在　岁投保的寿险，假设保　费连续缴纳，死亡原因有ｍ种，死亡保险金额在死　一∑［　（ｆ＋　）ｅ　ｈｐ　＋竹　Ⅲｄｈ　［　ｒ（ｔ＋＾）ｅ　‘　一譬）　．Ｐ　＋　ｄｈ　（２）　证明：　由净准备金的定义知，时刻　的净准　备金　：Ｅ　。　≥　：兰　，＿三＿）　至　二　！　；＿　；　①收稿日期：２０１１—１２—２７　作者简介：许道军（１９７８一），男，安徽合肥人，讲师，硕士　
第１期　许道军，等：随机利率下多元衰减模型的Ｔｈｉｅｌｅｇ微分方程　１４９　一　竺二　ｔｐ　号）Ｏ－Ｏｐ蛳　厂　至ｉ＝ｌ　＝（　＋＾）ｅ　雩’　＋　一　７ｒ（　＋＾）ｅ　与　肌　耋Ｊｃ　（　＋ｈ）ｅ　‘６号）　＋　＋　一ＪＣ　７ｒ（ｔ＋ｈ）ｅ　‘５～　一　（３）　定理２：　时刻　的净准备金　对ｚ的导数　ｄ　ｄ：７ｒ（ｆ）＋［（　一譬）＋　＋Ｉ］　一　（ｔ）　。　————＿　——一证明：　在定理　的证明中，易知　　羔ｒ　（ｓ）ｅ　）（｜＿Ｉ】ｐ　＋　ｒ仃（ｓ）ｅ　）　出　Ｉ　至【　（　）　‘　等’　，　一广７ｒ（　）　‘６号）。　出　一　ｅ　‘８龟　７ｒ　（ｔ）＝仃　（　）＋仃　（ｔ）　从而有　＝　出一　与　方程两边ｔ求导数，得到　一　募　鐾　盏　鑫　嚣　，　＝仃（　）＋［（６一譬）＋　一　一３　数值模拟　下面，将把固定利率下多元衰减模型的净准备　金与随机利率下的多元衰减模型的净准备金进行　数值模拟并比较．假定衰减原因有两种，即ｒｔｔ＝２，　并设两种原因导致的死亡保险金额分别为：Ｃ　（ｔ）　＝∑　（￡）　显然，（３）式就是随机利率为Ｗｉｅｎｅｒ过程时　的Ｔｈｉｅｌｅ’Ｓ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ．值得注意的是，　它与固定利率下的Ｔｈｉｅｌｅ’ｓ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　在结构上是一致的．（３）式整理得　１０００，Ｃ２（　）＝２０００，两种原因导致死亡的死亡　１　，’　，　力分别为：　，　ｚ，　，投保年龄　＝　仃（ｆ）＝　ｄ　ｉｆ，一　＋譬　＋砉［　（ｔ）一　＝７ｒ　（ｔ）＋７ｒ　（ｔ）＋仃　（ｔ）　其中　（４）　仃　）＝蔷　，仃　）：譬　仃　（　）＝∑［　（¨一；　这里，７ｒ　（ｔ）为储蓄保费，而仃　（￡）为利率风险　保费，７ｒ　（　）为死亡风险保费，因此在随机利率条　件下，风险保费是由利率风险保费和死亡风险保费　两部分组成，即‘　２５，极限年龄　＝１０５，保费缴纳率仃（ｔ）取常数．　在传统的固定利率下，假设利息力　＝０．０５，　则由。Ｖ＝０，计算出保费缴纳率仃（　）＝７３．０２４０．　在随机利率为Ｗｉｅｎｅｒ过程下，取６＝０．０５，口＝０．　１，仍由。Ｖ＝０，计算出保费缴纳率７ｒ（ｔ）：７３．　６４９５．　通过两种模型的对比，首先在随机利率下，保　费缴纳率７ｒ（ｔ）＝７３．６４９５，要比固定利率下的保费　缴纳率７ｒ（ｔ）＝７３．０２４０增加了０．６２５５．不难发现，　这正是由于利率风险的存在所导致的，所以按照固　定利率收取保费，实际上增大了保险公司的经营风　险．其次，当　＝０．１时，刚开始时，利率风险保费　
ｌ５０　佳木斯大学学报（自然科学版）　２０１２血　仃　（ｔ）的值都比较小，当然这首先是由保额较低所　导致的，但是可以看到７ｒ　（　）随着ｔ的增加也在不　．　［１］Ｈａｎｓ　Ｕ．Ｇｅｒｂｅｒ．Ｌｉｆｅ　Ｉｎｓｕｒａｎｃｅ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ［Ｍ］．Ｓｐｒｉｎｇｅｒ，　，巧　‘　２　的：　葶　蹩　曾　．保险公司　，　准备金也会随之大幅增长，从而导致利华　￣陋Ｉｒ／Ｍ休ＩＩ＂Ｊ　．　出版社．】９９５．　蔷　…　　。。…一术　‘　费的增加，由Ｍａｔｌａｂ容易计算出当ｔ＝５０时，利率　风险保费高达７．０２５０，约占保费的１０％，因此保险　公司在实际经营中利率风险是绝对不容忽视的，在　［