课题:2.3.1双曲线的标准方程

【教学目标】:

1.知识与技能

掌握双曲线的定义,标准方程,并会根据已知条件求双曲线的标准方程.

2.过程与方法

通过设置有关拉链拉锁轨迹的问题，引导学生类比椭圆的定义,引出双曲线的定义,并通过类比推导出双曲线的标准方程.

3.情感、态度与价值观

通过本节课的学习,增强学生类比推理的能力,激发学生的学习兴趣。通过学习，学生学会思考问题、分析问题、解决问题，体会数学在生活中无处不在。

【教学重点】: 双曲线的定义、标准方程及其简单应用

【教学难点】: 双曲线标准方程的推导

【授课类型】：新授课

【课时安排】：1课时

【教 具】：多媒体、实物投影仪

【教学过程】:

一.情境设置

我们知道，数学问题来源于生活，同时服务于生活，我们这节课就从一个问题出发，来进行实践研究，下面请看问题。

问题 1：将拉链的下端分别固定在F1，F2上，拉动拉锁，若把拉锁看着一个动点M的话，动点M满足什么几何条件？M的轨迹是什么？

问题 2：在问题1中，若将拉链的右支截去5cm后重新固定在F2处,拉动拉锁，此时动点M满足什么几何条件？此时动点M的轨迹是一条什么样的曲线呢？

问题3：在问题1中，若是将拉链的左支截去5cm后重新固定在F1处,拉动拉锁，此时动点M又满足什么几何条件？此时动点M的轨迹又是什么样的一条曲线呢？

问题4：若把这两条曲线看作是同一个动点M形成的轨迹，此时动点M满足的几何条件又是什么呢？

二.理论建构

1.双曲线的定义

引导学生概括出双曲线的定义：

定义:平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距。（投影）

概念中几个关键词：“平面内”、“距离的差的绝对值”、“常数小于”

2.探究：

现在我们可以用类似求椭圆标准方程的方法来求双曲线的标准方程，请学生思考、回忆椭圆标准方程的推导方法，随即引导学生给出双曲线标准方程的推导（教师使用多媒体演示）

（1）建系

取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系。

(2) 设点

设M（x,y）为双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），则F1（－c，0）、F2（c，0），又设点M与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a（2a<2c）.

（3）列式

由定义可知,双曲线上点的集合是P={M|||MF1|－|MF2||=2a}.

即:

（4）化简方程

师生共同化简，整理得：

移项两边平方得

两边再平方后整理得

由双曲线定义知

从上述过程可以看到，双曲线上任意一点的坐标都满足方程，有推导过程可逆知，以方程的解为坐标的点到双曲线两个焦点的距离之差的绝对值为2a,由此，方程是曲线的方程，这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点是F1（-c，0）、F2（c，0）。

思考: 双曲线的焦点F1（0,－c）、F2（0,c）在y轴上的标准方程是什么?

学生得到: 双曲线的标准方程:.

练习：

（1）

（2）

思考：1、双曲线的焦点位置和方程形式有什么对应关系？椭圆呢？

2、双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系?

三.典型应用

例1(参考课本P54例 )

已知两定点, ,动点满足, 求动点的轨迹方程.

例2.(课本第54页例)已知A,B两地相距800m,在A地听到炮弹爆炸声比在B地晚2s,且声速为340m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.

思考1:若在A,B两地同时听到炮弹爆炸声,则炮弹爆炸点的轨迹是什么?

思考2:根据两个不同的观测点测得同一炮弹爆炸声的时间差，可以确定爆炸点在某条曲线上，但不能确定爆炸点的准确位置. 而现实生活中为了安全，我们最关心的是炮弹爆炸点的准确位置，怎样才能确定爆炸点的准确位置呢?

四．课堂练习：

1.求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在 x 轴上,a=4,b=3;

（2）焦点为(0,-6),(0,6)且经过点 (2,-5).

五.课堂小结:

双曲线的两类标准方程是焦点在轴上，焦点在轴上,有关系式成立，且 其中a与b的大小关系:可以为

本节课主要是学习了双曲线的定义及其标准方程,并运用双曲线的定义及其标准方程解决问题, 体会双曲线在实际生活中的一个重要应用. 其实全球定位系统就是根据例2这个原理来定位的.

六．课外作业

P61 ：A组2、5、B组2

课后探究2：（参考课本P55探究）

如图2.3-5，点A,B的坐标分别是（－5,0），（5,0），直线AM, BM相交于点M，且它们斜率之积是 4/9 ，试求点M的轨迹方程，并由M的轨迹方程判断轨迹的形状，与课本P41例3比较，你有什么发现？