3．2.2　平面的法向量与平面的向量表示

学习目标　1.理解平面的法向量的概念，会求平面的法向量.2.会用平面的法向量证明平面与平面平行、垂直.3.理解并会应用三垂线定理及其逆定理，证明有关垂直问题．

知识点一　平面的法向量

思考　平面的法向量有何作用？是否唯一？

梳理　平面的法向量

已知平面α，如果________________________________，则向量n叫做平面α的法向量或说向量n与平面α正交．

知识点二　平面的向量表示

设A是空间任一点，n为空间内任一非零向量，则适合条件____________的点M的集合构成的图形是过空间内一点A并且与n垂直的平面．这个式子称为一个平面的向量表示式．

知识点三　两平面平行或垂直的判定及三垂线定理

1．两平面平行或垂直的判定方法

设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则容易得到

α∥β或α与β重合⇔____________；

α⊥β⇔__________⇔__________.

2．三垂线定理

如果在平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直．

类型一　求平面的法向量

例1　如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．AB＝AP＝1，AD＝，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面ACE的一个法向量．

引申探究

若本例条件不变，试求直线PC的一个方向向量和平面PCD的一个法向量．　

反思与感悟　利用待定系数法求平面法向量的步骤

(1)设向量：设平面的法向量为n＝(x，y，z)．

(2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，.

(3)列方程组：由列出方程组．

(4)解方程组：

(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)．

(6)得结论：得到平面的一个法向量．

跟踪训练1　如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形．平面PAB⊥平面ABCD，△PAB是边长为1的正三角形，ABCD是菱形．∠ABC＝60°，E是PC的中点，F是AB的中点，试建立恰当的空间直角坐标系，求平面DEF的法向量．

类型二　利用空间向量证明平行问题

例2　已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，E，F分别是BB1，DD1的中点，求证：

(1)FC1∥平面ADE；

(2)平面ADE∥平面B1C1F.

反思与感悟　利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题．

跟踪训练2　如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝BC＝AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在，求出E点的位置；若不存在，请说明理由．

类型三　三垂线定理及应用

例3　在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，E为CC1的中点．求证：EO⊥平面A1DB.

反思与感悟　利用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直是一种常用方法，其基本环节有三个．

跟踪训练3　如图，已知PO⊥平面ABC，且O为△ABC的垂心，求证：AB⊥PC.

1．若直线l∥α，且l的方向向量为(2，m，1)，平面α的法向量为，则m为(　　)

A．－4 B．－6 C．－8 D．8

2．若两个不同平面α，β的法向量分别为u＝(1，2，－1)，v＝(－3，－6，3)，则(　　)

A．α∥β B．α⊥β

C．α，β相交但不垂直 D．以上均不正确

3．若a＝(1，2，3)是平面γ的一个法向量，则下列向量中能作为平面γ的法向量的是(　　)

A．(0，1，2) B．(3，6，9)

C．(－1，－2，3) D．(3，6，8)

4．已知平面α的法向量是(2，3，－1)，平面β的法向量是(4，λ，－2)，若α∥β，则λ的值是(　　)

A．－ B．6

C．－6 D.

5．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，平面ACD1的一个法向量为________．

1．用法向量来解决平面与平面的关系问题，思路清楚，不必考虑图形的位置关系，只需通过向量运算，就可得到要证明的结果．

2．利用三垂线定理证明线线垂直，需先找到平面的一条垂线，有了垂线，才能作出斜线的射影，同时要注意定理中的“平面内的一条直线”这一条件，忽视这一条件，就会产生错误结果．

提醒：完成作业　第三章　3.2.2

答案精析

问题导学

知识点一

思考　平面的法向量与空间一点可以确定一个平面，利用平面的法向量可以判断直线与平面、平面与平面的位置关系．

平面的法向量不唯一，它们都是共线的．

梳理　向量n的基线与平面α垂直

知识点二

·n＝0

知识点三

1．n1∥n2　n1⊥n2　n1·n2＝0

题型探究

例1　解　因为PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，

所以AB，AD，AP两两垂直．如图，以A为坐标原点，的方向为x轴的正方向，建立空间直角坐标系，

则D(0，，0)，E(0，，)，B(1，0，0)，C(1，，0)，

于是＝(0，，)，＝(1，，0)．

设n＝(x，y，z)为平面ACE的法向量，

则即

所以

令y＝－1，则x＝z＝.

所以平面ACE的一个法向量为n＝(，－1，)．

引申探究

解　如图所示，建立空间直角坐标系，

则P(0，0，1)，C(1，，0)，

所以＝(1，，－1)即为直线PC的一个方向向量．

设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)．

因为D(0，，0)，所以＝(0，，－1)．

由即

所以令y＝1，则z＝.

所以平面PCD的一个法向量为

n＝(0，1，)．

跟踪训练1　解　因为PA＝PB，F为AB的中点，所以PF⊥AB，

又因为平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，PF⊂平面PAB.

所以PF⊥平面ABCD，因为AB＝BC，∠ABC＝60°，

所以△ABC是等边三角形，

所以CF⊥AB.

以F为坐标原点，建立空间直角坐标系(如图所示)．

由题意得F(0，0，0)，P(0，0，)，

D(－1，，0)，

C(0，，0)，E(0，，)．

所以＝(0，，)，＝(－1，，0)．

设平面DEF的法向量为m＝(x，y，z)．

则即

所以令y＝2，则x＝，z＝－2.

所以平面DEF的一个法向量为m＝(，2，－2)．

例2　证明　(1) 建立如图所示空间直角坐标系Dxyz，

则有D(0，0，0)，A(2，0，0)，

C(0，2，0)，C1(0，2，2)，E(2，2，1)，F(0，0，1)，B1(2，2，2)，

所以＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，＝(0，2，1)．

设n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，则n1⊥，n1⊥，

即

得

令z1＝2，则y1＝－1，

所以n1＝(0，－1，2)．

因为·n1＝－2＋2＝0，

所以⊥n1.

又因为FC1⊄平面ADE，

所以FC1∥平面ADE.

(2)因为＝(2，0，0)，设n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的一个法向量．

由n2⊥，n2⊥，

得

得

令z2＝2，得y2＝－1，

所以n2＝(0，－1，2)，因为n1＝n2，

所以平面ADE∥平面B1C1F.

跟踪训练2　解　分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，

∴P(0，0，1)，C(1，1，0)，D(0，2，0)，

设E(0，y，z)，则＝(0，y，z－1)，

＝(0，2，－1)，

∵∥，

∴y(－1)－2(z－1)＝0， ①

∵＝(0，2，0)是平面PAB的法向量，

又＝(－1，y－1，z)，CE∥平面PAB，

∴⊥，∴(－1，y－1，z)·(0，2，0)＝0.

∴y＝1，代入①得z＝，∴E是PD的中点，∴存在E点，当点E为PD中点时，CE∥平面PAB.

例3　证明　方法一　取F、G分别为DD1和AD的中点，

连接EF、FG、GO、AC.

由正方体的性质知FG为EO在平面ADD1A1内的射影．

又A1D⊥FG，

∴A1D⊥EO(三垂线定理)．

又AC⊥BD，CO为EO在平面ABCD内的射影，∴EO⊥BD(三垂线定理)．

又A1D∩BD＝D，∴EO⊥平面A1DB.

方法二　连接AC、A1O、A1E，A1C1，设正方体棱长为2，

由方法一已证BD⊥OE，

又OE2＝()2＋12＝3.

A1O2＝22＋()2＝6，

A1E2＝(2)2＋12＝9.

∴A1E2＝OE2＋A1O2.

∴A1O⊥OE，又A1O∩BD＝O，

∴OE⊥平面A1DB.

跟踪训练3　证明　∵PO⊥平面ABC，

O为垂足，

∴PC在平面ABC内的射影为OC.

又O为△ABC的垂心，

∴AB⊥OC.

据三垂线定理得AB⊥PC.

当堂训练

1．C　2.A　3.B　4.B　

5．(1，1，1)(答案不唯一)

你曾落过的泪，最终都会变成阳光，照亮脚下的路。 （舞低杨柳楼心月 歌尽桃花扇底风）我不去想悠悠别后的相逢是否在梦中，我只求此刻铭记那杨柳低舞月下重阁，你翩若惊鸿的身影，和那桃花扇底悄悄探出的半面妆容与盈盈水眸。用宁静的童心来看，这条路是这样的：它在两条竹篱笆之中。篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。 你必得一个人和日月星辰对话，和江河湖海晤谈，和每一棵树握手，和每一株草耳鬓厮磨，你才会顿悟宇宙之大、生命之微、时间之贵我一直以来都弄不明白，为什么不管做了多么明智合理的选择，在结果出来之前，谁都无法知道它的对错。到头来我们被允许做的，只是坚信那个选择，尽量不留下后悔而已。看不见的，是不是就等于不存在？记住的，是不是永远不会消失？每一个黄昏过后，大家焦虑地等待，却再也没有等到月亮升起。潮水慢慢平静下来，海洋凝固成一面漆黑的水镜，没有月亮的夜晚，世界变得清冷幽寂．但是，最深的黑夜即将过去，月亮出来了……记忆的冰川在岁月的侵蚀下，渐渐崩塌消融。保持着最初的晶莹的往事，已经越来越稀少。 灼灼其华，非我桃花。苍苍蒹葭，覆我其霜。芦荻不美，桃花艳妖。知我怜我，始觉爱呵。只要春天还在我就不会悲哀纵使黑夜吞噬了一切太阳还可以重新回来只要生命还在我就不会悲哀纵使陷身茫茫沙漠还有希望的绿洲存只要明天还在

我就不会悲哀冬雪终会悄悄融化春雷定将滚滚而来孤独，寂静，在两条竹篱笆之中，篱笆上开满了紫色的牵牛花，在每个花蕊上，都落了一只蓝蜻蜓。 一袭粉色拖地蝶园纱裙，长发垂至脚踝，青丝随风舞动。眸若点漆，水灵动人，冰肤莹彻，气质脱俗，眼波转动间却暗藏睿智锋芒。淡雅如仙，迎风而立的她，宛若来自天堂的。暖有时候猛烈地指责别人说谎，其实是太渴望那消息真实。 原来时间也会失误和出现意外，并因此迸裂，在某个房间里留下永恒的片段。尘世里，总有些什么，让我们不自觉地微笑，使我们的坚硬，在一瞬间变得柔软。婴儿的梦呓，幼童的稚语，夕阳下相互搀扶的老人.......那天黄昏，紫岚在栖身的石洞口默黩地注视着落日。余晖变幻着色调，嫣红、水红、玫瑰红，转瞬便消失在天涯尽头；草原被铅灰色的暮霭垄断了，苍茫沉静。 孔明灯真的很漂亮，就像是星星流过天河的声音。你既然已经做出了选择，又何必去问为什么选择。 原来岁月太长，可以丰富，可以荒凉。能忘掉结果，未能忘掉遇上。我不可抑制地在脑海勾勒这样的景象：黄昏。风。无垠的旷野。一棵树。----就那么一棵树，孤零零的。风吹动它的每一片叶子，每一片叶子，都在骨头里作响。天高路远，是永不能抵达的摸样...... 孤单时，仍要守护心中的思念，有阴影的地方，必定有光 最好的时光，是经由记忆粉饰的过往。我们会不由自主地忘记伤痛，欢天喜地地投向下一个天国。过往的人事，在前行的途中偶尔显身于记忆，又不可挽留地悄然远去。谁也阻止不了忘记的步伐每一次的离别都在夏天，明明是最火热的季节，却承载着最盛大的离别。睡着你的秘密，醒着你的自由。它的篱笆结实而疏朗，有清风徐徐穿过。人生有很多选择，一个选择又决定下个选择，所以，选择的时候只要是自己内心所想的，也值了，怕的就是，明明不愿意，又不得不选择。人生最遗憾的，莫过于轻易地放弃了不该放弃的，固执地坚持了不该坚持的 早春二月，乍暖还寒的时候，鹅黄隐约，新绿悄绽，昭示着生命的勃勃，那是旭日般的青春；阳春三月，杏花春雨时节，桃红柳绿，柔风扶雨，飘扬着自然的伟力，那是如火的中年；晚春四月，芳菲渐尽之际，远山幽径，柳暗花明，辉煌着黄昏的执著，这是晚晴的暮年……人都说顺其自然，其实一点都不是，而是实在别无选择的选择。 有个地方，名为汴梁，那年桃花肆意，旧年，桃花消散在汴梁。桃花十八年，繁华再现，桃花盛开三千夜，只需花颜亦墨离。那个汴梁有个童谣：桃花屋外飞满天，桃花谷里醉缠绵。桃花屋内冷桃茶，夭夭桃花葬桃恋。问桃花十八为几年，不谈墨离负花颜，江河暗流痴情魂，温柔十里桃花人。竹马青梅，亦是无猜，满眼繁花，只为那十八年的傻傻等候，公子俊秀，书画幔纱，唯有流逝一瞬，继过千年。　1、起地你出小起时，我们手牵手，看过声地你一棵树的叶子，闻过声地你一朵花香。夏日如格成我实每我们一实每吃孩把发一冰激凌一实每在绿茵道上玩会也嬉闹。我们不实把发一零食和啤酒，坐在广时说的大草作把上看电影。冬日午实每好如我躺在在作腿上晒把发一太阳的慵懒时光我躺在在作怀如格成我实每，风着一格光透格成我就为吃孩风着一格玻璃窗，温暖一格那他的开清亮。实每好如来作把图上几公分的距离，成了我们那他也也天过却法跨越的海角开天觉涯。 小小的白纸上记录着我们的曾经

虽然有的时候真的相信的未必开花结果可是那本子里记录的快乐与我们的青春与泪水与那时的我们，还谈论着自己的青春、年少与梦想记得那一年你的离开我在夜里痛哭了一场那天，你的作文被贴在最显眼的地方当我们蜂拥来到你的作文旁却只得到你要走了的消息可你却不彻底磨灭我们的希望你说过你会回来我相信你所以我就傻傻的等着一年又一年，就这样两年时光飞逝正当我要忘记你时，你回来了那时我真的很高兴好像冲上讲台，拥抱一下你问问你，这几年过得好吗本上的荷花提醒着我们要出淤泥而不染更要濯清涟而不妖是你让我懂得了友情的可贵我们一定会再见的“你想要我追那只风筝给你吗?”

他的喉结吞咽着上下蠕动。风掠起他的头发。我想我看到他点头“为你，千千万万遍。”我听见自己说。然后我转过身，我追。它只是一个微笑，没有别的了。它没有让所有事情恢复正常。它没有让任何事情恢复正常。只是一个微笑，一件小小的事情，像是树林中的一片叶子，在惊鸟的飞起中晃动着。但我会迎接它，张开双臂。因为每逢春天到来，它总是每次融化一片雪花；而也许我刚刚看到的，正是第一片雪花的融化。我追。一个成年人在一群尖叫的孩子中奔跑。但我不在乎。我追。风拂过我的脸庞，我唇上挂着一个像潘杰希尔峡谷那样大大的微笑。我追。 一个安静的夜晚，我独自一人，有些空虚，有些凄凉。坐在星空下，抬头仰望美丽天空，感觉真实却又虚幻，闪闪烁烁，似乎看来还有些跳动。美的一切总在瞬间，如同“海市蜃楼”般，也只是刹那间的一闪而过，当天空变得明亮，而这星星也早已一同退去……夕阳已去，皎月方来。 ----朱自清月光如流水一般，静静地泻在这一片叶子和花上。薄薄的青雾浮起在荷塘里。叶子和花仿佛在牛乳中洗过一样；又像笼着轻纱的梦。虽然是满月，天上却有一层淡淡的云，所以不能朗照；但我以为这恰是到了好处酣眠固不可少，小睡也别有风味的。月光是隔了树照过来的，高处丛生的灌木，落下参差的斑驳的黑影，峭愣愣如鬼一般；变变的杨柳的稀疏的倩影，却又像是画在荷叶上。塘中的月色并不均匀；但光与影有着和谐的旋律，如梵婀玲上奏着的名曲。东风里， 掠过我脸边， 星呀星的细雨， 是春天的绒毛呢。好久不见，你们还好吗？一直觉得学校最神圣的能力，就是把一些原本毫无瓜葛的人聚在了一间教室里，并在他们最美好的年纪，留下了一生中最珍贵的记忆。然后不经意间，也决定了很多人这一生中最好的朋友是谁。许多年过去，我们已经渐渐长大，也渐渐散落在天涯。那些白衣飘飘的年代仿佛还在昨天，那些风华正茂的人呐，仿佛还是少年……将清晨化成钥匙，扔到水井去。慢慢走，我心爱的月亮，慢慢走，让朝阳忘记从东方升起，慢慢走，我心爱的月亮