2020年北京市朝阳区中考数学零模试卷

一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）

1. 我国探月工程嫦娥四号任务“鹊桥”中继星是世界首颗运行在地月L2点Halo轨道的卫星，它的运行轨道距月球约65000公里，将65000用科学记数法表示应为

A. B. C. D.

2. 以下给出的几何体中，主视图和俯视图都是圆的是

A. B. C. D.

3. 如图，直线，直角三角板的直角顶点C在直线上，一锐角顶点B在直线上，若，则的度数是

A. B. C. D.

4. 如图，点A，B，C均在上，当时，的度数是

A.
B.
C.
D.

5. 某班有40人，一次体能测试后，老师对测试成绩进行了统计．由于小亮没有参加本次集体测试，因此计算其他39人的平均分为90分，方差后来小亮进行了补测，成绩为90分，关于该班40人的测试成绩，下列说法正确的是

A. 平均分不变，方差变大 B. 平均分不变，方差变小
C. 平均分和方差都不变 D. 平均分和方差都改变

6. 如图是函数的图象，直线轴且过点，将该函数在直线l上方的图象沿直线l向下翻折，在直线l下方的图象保持不变，得到一个新图象．若新图象对应的函数的最大值与最小值之差不大于5，则m的取值范围是

A. B.
C. D. 或

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）

7. 分解因式：______．

8. 若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是______．

9.  数轴上有两个实数a，b，且，，，则四个数a，b，，的大小关系为_____用“”号连接．

10. 中国清代算书御制数理精蕴中有这样一题：“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两．问马、牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为______．

11. 如图，在▱ABCD中，E为DC边的中点，AE交BD于点O，如果，那么为______，为______．

12. 学校计划购买A和B两种品牌的足球，已知一个A品牌足球60元，一个B品牌足球75元．学校准备将1500元钱全部用于购买这两种足球两种足球都买，该学校的购买方案共有______种．

三、解答题（本大题共8小题，共58.0分）

13. 计算：

14. 先化简，再求值：，其中．

15. 如图，在中，BD平分交AC于D，作交AB于点E，作交BC于点F．
求证：四边形BEDF是菱形；
若，，，求DE的长．

16. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根．
求k的取值范围；
若此方程至少有一个有理数根，写出一个k的值，并求此时方程的根．

17. 如图，线段AB经过的圆心O，交于A，C两点，，AD为的弦，连接BD，，连接DO并延长交于点E，连接BE交于点M．
求证：直线BD是的切线；
求线段EM的长．

18. 在平面直角坐标系xOy中，二次函数图象的对称轴为直线，且，顶点为P．
求a的值；
求点P的坐标用含k的式子表示；
已知点，，若函数的图象与线段AB恰有一个公共点，直接写出k的取值范围．

19. 已知线段AB，将AB绕点A逆时针旋转得到AC，将AC绕点C逆时针旋转得到CD，连接AD，点E在AD上，连接CE．
已知，．
依题意补全图1；
求，的度数；
连接BE，写出一个的值用含的式子表示，使得对于任意的都有，并证明．

20. 在中，点D在AB边上不与点B重合，，垂足为点E，如果以DE为对角线的正方形上的所有点都在的内部或边上，则称该正方形为的内正方形．
如图，在中，，，点D是AB的中点，画出的内正方形，直接写出此时内正方形的面积；
在平面直角坐标系xOy中，点，，．
若，求的内正方形的顶点E的横坐标的取值范围；
若对于任意的点D，的内正方形总是存在，直接写出t的取值范围．

-------- 答案与解析 --------

1.答案：A

解析：解：将65000用科学记数法表示为：．
故选：A．
科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
2.答案：A

解析：解：球的主视图是圆，俯视图是圆，故A符合题意；
B.立方体的主视图是正方形，俯视图是正方形，故B不合题意；
C.圆锥的主视图是三角形，俯视图是圆，故C不符合题意；
D.圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故D不符合题意．
故选：A．
直接利用主视图以及俯视图的观察角度不同分别得出几何体的视图进而得出答案．
本题主要考查三视图的左视图的知识；考查了学生的空间想象能力，属于基础题．
3.答案：B

解析：解：如图，，，
．
又直线，
．
故选：B．
根据余角的定义得到，根据两直线平行，内错角相等可得．
本题考查了平行线的性质，余角的定义，熟记性质并准确识图是解题的关键．
4.答案：D

解析：解：，
，
，
由圆周角定理得，，
故选：D．
根据三角形内角和定理求出，根据圆周角定理解答即可．
本题考查的是圆周角定理、三角形内角和定理，掌握同弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
5.答案：B

解析：解：小亮的成绩和其他39人的平均数相同，都是90分，
该班40人的测试成绩的平均分为90分，方差变小，
故选：B．
根据平均数，方差的定义计算即可．
本题考查方差，算术平均数等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
6.答案：C

解析：解：如图1所示，当时，
，
顶点坐标为，
当时，，
，
当时，，
，
当时，
，
此时最大值为0，最小值为；
如图2所示，当时，
此时最小值为，最大值为1．
综上所述：，
故选：C．
找到最大值和最小值差刚好等于5的时刻，则M的范围可知
此题考查了二次函数与几何图形结合的问题，找到最大值和最小值的差刚好为5的m的值为解题关键．
7.答案：

解析：解：．
直接提公因式法：观察原式，找到公因式a，提出即可得出答案．
考查了对一个多项式因式分解的能力．一般地，因式分解有两种方法，提公因式法，公式法，能提公因式先提公因式，然后再考虑公式法．该题是直接提公因式法的运用．
8.答案：

解析：解：若在实数范围内有意义，
则，
解得：．
故答案为：．
直接利用二次根式的定义分析得出答案．
此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．
9.答案：

解析：【分析】
本题考查了有理数的大小比较，掌握有理数的大小比较法则是：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是本题的关键．根据两个负数比较大小，其绝对值大的反而小和负数都小于0，即可得出答案．
【解答】
解：，，，
，
，，
四个数a，b，，的大小关系为．
故答案为：
10.答案：

解析：解：设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为：
．
故答案是：．
直接利用“马四匹、牛六头，共价四十八两我国古代货币单位；马三匹、牛五头，共价三十八两”，分别得出方程得出答案．
此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等式是解题关键．
11.答案：2  4

解析：解：在中，，
∽，
：：：1，
与的面积的比是4：1，与的面积的比是2：1．
，
，．
故答案为：2，4．
由，证得∽，又E为DC边的中点，，故相似比为AB：：1，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，可求由OB：：1可求出．
本题考查的是平行四边形的性质、相似三角形的面积的比是相似比的平方，根据平行得相似是前提，熟悉相似三角形的性质是关键．
12.答案：4

解析：解：设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，
依题意，得：，
解得：
，y均为正整数，
是5的倍数，
，，，，
共有4种购买方案．
故答案为：4．
设购买x个A品牌足球，y个B品牌足球，根据总价单价数量，即可得出关于x，y的二元一次方程，结合x，y均为正整数，即可得出各进货方案，此题得解．
本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键．
13.答案：解：原式

．

解析：原式利用特殊角的三角函数值，立方根定义，零指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，零指数幂，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
14.答案：解：原式

，
当时，原式．

解析：根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算，得到答案．
本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
15.答案：证明：平分，
，
垂直平分BD，
，，
，，
，，
，，
四边形DEBF是平行四边形，且，
四边形BEDF是菱形；
过点D作于点H，

四边形BEDF是菱形，
，
，
，且，
，，
，，
，
，
，
，
．

解析：由线段垂直平分线的性质可得，，可得，，由角平分线的性质可得，可证，，可得四边形DEBF是平行四边形，即可得结论；
由菱形的性质和外角性质可得，由直角三角形的性质可求DF的长．
本题考查了菱形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，直角三角形的性质等知识，掌握菱形的判定方法是本题的关键．
16.答案：解：关于x的一元二次方程有实数根，
，
解得：且．
关于x的一元二次方程的解为，
此方程至少有一个有理数根，
是完全平方数，
当不唯一时，方程的根为，
，．

解析：根据二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围；
先求出方程的解，再根据有理数根的定义得到根的判别式是完全平方数，进一步确定一个k的值，进一步求出此时方程的根．
本题考查了一元二次方程的整数根与有理根，根的判别式以及一元二次方程的定义，解题的关键是：根据二次项系数非零结合根的判别式，列出关于k的一元一次不等式组；根据有理数根的定义得到根的判别式是完全平方数．
17.答案：证明：，
，
，
即，
过O，
直线BD是的切线；

解：设，
在中，，
解得：，
即，，
由勾股定理得：，
，
连接DM，
是的直径，
，
即，
，
∽，
，
，
解得：，
．

解析：求出，再根据切线的判定得出即可；
解直角三角形求出OD、根据勾股定理求出BD，连接DM，根据相似三角形的判定得出∽，得出比例式，再代入求出即可．
本题考查了切线的判定和性质，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，勾股定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
18.答案：解：二次函数图象的对称轴为直线，
，
；

把代入得，，
当时，，
顶点；

函数的图象与线段AB恰有一个公共点，
点，，
当抛物线顶点落在AB上时，，则当时，函数的图象与线段AB恰有一个公共点；
当抛物线经过点B时，，无解，
当抛物线经过点A时，，解得，，则当时，函数的图象与线段AB恰有一个公共点；
综上所述：或；

解析：由对称轴公式列出a的方程解出a便可；
把代入抛物线的解析式，便可求得顶点的纵坐标，进而得顶点P的坐标；
根据二次函数的图象与线段AB只有一个公共点，分三种情况说明：当抛物线顶点落在AB上时；当抛物线经过点B时；当抛物线经过点A时；分别求得k的值，进而结合图象的位置即可求此k的取值范围．
本题是二次函数的一个综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，二次函数图象点的特征，第三题难度较大，关键是分情况讨论．
19.答案：解：如图1所示．

，，
，
，
，
．

当时，．
理由：如图1中，连接BC，BE．
，，
，
，
，，
，
，
，B，E，C四点共圆，
，
．

解析：根据要求画出图形即可．
利用三角形内角和定理，等腰三角形的性质求解即可．
当时，如图1中，连接BC，证明，即可判断．
本题考查了作图旋转变换，解决本题的关键是掌握旋转的性质，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20.答案：解：如图1中，正方形DGEH是的内正方形．

，，
，
，
，
，
，
．

如图2中，设．

，，
，直线AC的解析式为，
，，
，，
，
四边形DGEH是正方形，
，
点H在AB上，可得，，
当点G落在AC上时，把点代入直线AC的解析式得到：，
解得，
观察图象可知满足条件的点E的横坐标m的取值范围为．

观察图2可知，当时，点G落在AC上，故时，的内正方形总是存在，
根据对称性，时，也满足条件．
综上所述，满足条件的t的值为或．

解析：根据要求作出正方形DGEH即可，求出DE，根据正方形的面积等于对角线乘积的一半计算即可．
如图2中，设用m表示出点G的坐标，求出直线AC的解析式，当点G落在AC上时，利用待定系数法求出m即可解决问题．
观察图2可知，当或时，点G落在AC上，由此可以得出结论．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，解直角三角形，一次函数的应用，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，学会构建一次函数解决问题，属于中考压轴题．