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关于整系数多项式有理根的几个定理及求解方法-

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●　高教视野　．　．　●精　’，．．　●　获等整　数　磊　椴鳓　僬　黎蘼　◎车莹莹　（吉林师范大学数学学院，吉林长春１３００００）　【摘要】本文简要介绍整系数多项式有理根的几个定理　及求解方法，其中介绍的定理是应用广泛且书本中尚未提　到的．解题过程中，首先要判定该整系数多项式是否存在有　理根，如果存在，则运用求解有理根的方法求解出有理根．　定理６（关于整根的牛顿法）如果ｄ是整系数方程　，（　）＝Ｏ，０　＋　ｌ　一‘＋…＋ｒ上　一ｌ　＋ｎ　＝０（００≠０）的整根，　Ｂ　么ｄ　除　＋鲁，　：＋　＋　，…　＋号＋．．‘＋　，【关键词】整系数；多项式；求解方法　整系数多项式的内容　并且％＋号＋…＋　＝０．相反的话，假如ａ０＋　ａＩ＋　一、…＋　＝０，那么ｄ是，（　）＝０的根．　三、整系数多项式有理根的求解方法　（一）整系数多项式　定义１若一个多项式ｆ（　）＝ＣｔｎＸ　＋Ⅱ　＋…＋　Ｏ，１　＋ａ。的所有系数００，ｏ　－．，ｏ　都是整数，那么就称这个　多项式为整系数多项式．　（二）本原多项式　定理７（３Ｅ　斩坦　０另Ｕ法）设ｆ（ｘ）＝。　Ｘ　＋０　～。　＋…＋　ｏ　＋ｏ。是一个整系数多项式，若有一个素数Ｐ，可以满足以　下条件：　１．Ｐ不能整除ａ　；　２．Ｐ不能整除ａ　，ａ　一２，…，ａ０；　３．Ｐ　不能整除％．　定义２设，（　）∈ｚ（　）’，（　）≠０，　如果，（　）的各项系数互素，即它们的最大公约数为１，　则称，（　）为本原的．　下文给出高斯引理．　那么，（　）在有理数域上是不可约的．　例判断　一２ｘ’＋８ｘ。一６在有理数域上是否可约．　定理１（高斯引理）两个本原多项式的乘积还是本原　多项式．　一解取Ｐ＝２，由于２能整除一２，２能整除８，２能整除　证明设ｆ（　）和ｇ（　）是两个本原多项式．利用反证　６，但２不能整除１，２　，不能整除一６，因此，由艾森斯坦判　别法知，原多项式在有理数域上不可约．　法，假如　（　）＝，（　）ｇ（　）不是本原多项式，那么由定义可　以知道存在一个素数Ｐ，使Ｐ能够整除ｈ（　）的所有系数，现　【参考文献】　［１］北京大学数学系几何与代数研究室．高等代数（第　在把八　），ｇ（　）和ｈ（ｘ）全部看成Ｐ元域　上的多项式，所　以ｈ（ｘ）ｓＯ（ｍｏａｐ），从而得出，（　）；０（ｍｏ＠）或者ｇ（　）　０　三版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３．　［２］徐仲．高等代数考研教案［Ｍ］．西安：西北工业大学　出版社，２００９．　（ｍｏ￣），也就是Ｐ能够整除八　）或者ｇ（　）的全部系数，这　就和，（　），ｇ（　）是本原多项式相矛盾了．　二、整系数多项式有理根的定理　定理２　设　）＝口　＋ｎ　一　＋…＋Ⅱ１　＋％是一　个次数　不小于等于０的整系数多项式，如果　是，（　）的　Ｐ　一个有理根，其中Ｐ，ｇ是互素的整数，那么必有Ｐ能够整除　０　，ｑ能够整除１２０．　定理３（１１，一　）ｂｙ（１），（ｕ＋＂１３）ｌ，（一１）．　定理４若ｇ为整系数多项式　）的整数根，则ｇ为常　数项ｎ。的约数，且对于ｍ∈　（ｍ≠ｇ），（ｑ—ｍ）Ｉｆ（ｍ）．　定理５　设　）＝　＋　一１　＋…＋ａＩ　＋　是一　个整系数多项式，若　是，（　）的一个整数，则　ｆｏ。．　推论１　若ｑ为常数。。的约数，但存在一个整数‰　（ｍ。≠ｇ），使（ｇ—ｍ。）　，（ｍ。），则ｑ不是，（　）的整数根．　数学学习与研究２０１８．１６　

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