第八节 直线与圆锥曲线的位置关系

【考纲解读】

【知识清单】

1.直线和圆锥曲线的位置关系

判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程．

即消去y，得ax2＋bx＋c＝0.

(1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交；

Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切；

Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离．

(2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．

对点练习：

【2018届衡水金卷全国高三大联考】抛物线有如下光学性质：过焦点的光线经抛物线反射后得到的光线平行于抛物线的对称轴；反之，平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线的焦点为，一条平行于轴的光线从点射出，经过抛物线上的点反射后，再经抛物线上的另一点射出，则的周长为 ( )

A. B. C. D.

【答案】B

.

将代入得，故.

故.

故的周长为.

故选B.

2.“弦”的问题

1.弦长公式

设斜率为k(k≠0)的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

|AB|＝|x1－x2|＝·＝·|y1－y2|

＝·.

2．处理中点弦问题常用的求解方法

(1)．点差法：

即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率．

(2)．根与系数的关系：

即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解．

注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足．

对点练习：

【2018届湖南省益阳市、湘潭市高三9月调研】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若点是的中点，且，则线段的长为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】如图：过点A作交l于点D.

: .与抛物线联立得： .

.

.

故选C.

【考点深度剖析】

纵观近几年的高考试题，高考对直线与圆锥曲线的位置关系的考查，一直是命题的热点，较多的考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题；有时，先求轨迹方程，再进一步研究直线与曲线的位置关系.命题的主要特点有：一是以过特殊点的直线与圆锥曲线相交为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；二是以不同曲线（圆、椭圆、抛物线）的位置关系为基础设计“连环题”，结合曲线的定义及几何性质，利用待定系数法先行确定曲线的标准方程，进一步研究弦长、图形面积、最值、取值范围等；三是直线与圆锥曲线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量（共线、垂直、数量积）结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题等.

【重点难点突破】

考点1 直线和圆锥曲线的位置关系

【1-1】【2018届安徽省合肥市高三调研性检测】已知抛物线的焦点为，直线过点交抛物线于两点，且.直线分别过点，且与轴平行，在直线上分别取点（分别在点的右侧），分别作和的平分线且相交于点，则的面积为（ ）

A. B. C. D.

【答案】C

【1-2】【2017届四川省成都市第三次诊断】已知圆，点是圆上任意一点，线段的垂直平分线交于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．

（Ⅰ）求曲线的方程；

（Ⅱ）若直线与曲线相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值．

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）．

【解析】试题分析：（1）由垂直平分线的几何意义可知，，满足椭圆的定义。（2）直线与椭圆组方程组，由韦达定理、弦长公式和点到直线的距离公式，可求得 ．由，得及均值不等式可求得面积的最大值．

试题解析：（Ⅰ）∵点在线段的垂直平分线上，∴．

又，∴．

∴曲线是以坐标原点为中心，和为焦点，长轴长为的椭圆．

设曲线的方程为．

∵，∴．

∴曲线的方程为．

（Ⅱ）设．

联立消去，得．

此时有．

由一元二次方程根与系数的关系，得

，．

∴ ．

∵原点到直线的距离，

∴ ．

由，得．又，∴据基本不等式，得

．

当且仅当时，不等式取等号．

∴面积的最大值为．

【综合点评】研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数．对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解．

【领悟技法】

1．直线与双曲线交于一点时，易误认为直线与双曲线相切，事实上不一定相切，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点．

2．直线与抛物线交于一点时，除直线与抛物线相切外易忽视直线与对称轴平行时也相交于一点．

3直线和圆锥曲线的位置关系利用代数方法判断，其中直线和双曲线的位置关系，还可以通过比较直线的斜率和渐近线斜率来判断.

【触类旁通】

【变式一】已知抛物线的准线与双曲线相交于A,B两点，双曲线的一条渐近线方程是，点F是抛物线的焦点，，且△是直角三角形，则双曲线的标准方程是( )

A. B. C. D.

【答案】C

【变式二】【2017届浙江省台州市高三4月调研】如图，在椭圆中，过坐标原点作两条互相垂直的射线与分别交于两点.

（1）已知直线的斜率为，用表示线段的长度；

（2）过点作于点，点为椭圆上一动点，求线段长度的取值范围.

【答案】(1) ;(2) .

【解析】试题分析：（1）设直线的方程为与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，代入弦长公式 ，再根据，解得： ，代入上式得到；（2）设直线的方程为 ，与直线方程联立，消参后得到点的轨迹方程 ，那么即求椭圆上的点和原点连线的取值范围，再求长度的取值范围.

所以；

（2）若设直线，则，可设，

由（1）可知，（**）

由，得，再代入，得，

代入（**），有，即，

因，故有.

当直线的斜率为0或不存在时，显然符合.

故点的轨迹方程为.

所以，.

而的最大值为，最小值为，

所以，的取值范围为.

【综合点评】直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．

考点2 弦长问题和中点弦问题

【2-1】【2016高考新课标3理数】已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点．

（I）若在线段上，是的中点，证明；

（II）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.

【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）．

（Ⅰ）由于在线段上，故.

记的斜率为，的斜率为，则，

所以. ......5分

（Ⅱ）设与轴的交点为，

则.

由题设可得，所以（舍去），.

设满足条件的的中点为.

当与轴不垂直时，由可得.

而，所以.

当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为. ....12分

【2-2】【2018届云南省玉溪第一中学高三上学期第三次月考】在平面直角坐标系xOy中，直线与抛物线y2＝4x相交于不同的A，B两点,O为坐标原点．

(1) 如果直线过抛物线的焦点且斜率为1，求的值；

（2）如果，证明：直线必过一定点，并求出该定点.