江西赣中南五校2017届高三一摸测试

数学试卷（理科）

一、单项选择题（每题5分，共60分）

1、设集合，则集合等于（ ）

A.        B.             C.  D.

2、如果函数在区间(－∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（   ）

A．a≥9             B．a≤－3         C．a≥5            D．a≤－7

3、 函数的定义域为（    ）

A.（，1）          B.（，+）          C.（1，+）   D.

4、设函数,     (     )

A．3                  B．6                    C．9                 D．12

5、已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸，那么可得这个几何体最长的棱长是（     ）

   A、2         B、           C、    D、

6、已知点在经过两点的直线上，则的最小值为 (　 　)

A．             B．             C．              D．不存在

7、为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据组成传输信息．设定原信息为a0a1a2，ai∈{0,1}(i＝0,1,2)，传输信息为h0a0a1a2h1，其中h0＝a0⊕a1，h1＝h0⊕a2，⊕运算规则为0⊕0＝0，0⊕1＝1,1⊕0＝1,1⊕1＝0.例如原信息为111，则传输信息为01111，信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是(　　)

A．11 010              B．01 100 C．10 111                             D．00 011

8、如右图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点，那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点M，N在大圆内所绘出的图形大致是（ ）

9、 中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么为（     ）

A．           B．           C．        D．

10、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若＝，则cosB＝（ ）

    A．－         B．               C．－          D．

11、已知双曲线的方程为，过左焦点作斜率为的直线交双曲线的右支于点P，且y轴平分线段，则双曲线的离心率是（   ）

A．                B．             C．           D．

12、已知函数的大致图象如图所示，则函数的解析式应（    ）

       A．       B．

       C．       D．

二、填空题（每空5 分，共20 分）

13、定积分 ____________．

14、某城区有农民、工人、知识分子家庭共计2 000户，其中农民家庭1 800户，工人家庭100户.现要从中抽取容量为40的样本调查家庭收入情况，则在整个抽样过程中，可以用到的抽样方法的是　　　　.(填序号)

①简单随机抽样；②系统抽样；③分层抽样.

15、已知命题p：x2＋3x－3＞0；命题q：＞1，若“綈q且p”为真，则x的取值范围是________．

16、已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：

①f（2）=0；

②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[8，10]单调递增；

④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．

上述命题中所有正确命题的序号为　　　　　　．

三、综合题：必考题每题12分，选考题共10分；总分70分。

必考题

17、在平面直角坐标系中，O为坐标原点，；A、B、C三点满足满足．                

（Ⅰ）求证：A、B、C三点共线；                                                                        

（Ⅱ）已知A（1，cosx），B（1+cosx，cosx）（0≤x≤  ），    的最小值为﹣，求实数m的值．                 

18、已知数列与满足，.

（1）若，且，求数列的通项公式；

（2）设，（），求的取值范围，使得有最大值与最小值，且.

19、2016年里约奥运会在巴西里约举行，为了接待来自国内外的各界人士，需招募一批志愿者，要求志愿者不仅要有一定的气质，还需有丰富的人文、地理、历史等文化知识。志愿者的选拔分面试和知识问答两场，先是面试，面试通过后每人积60分，然后进入知识问答。知识问答有A,B,C,D四个题目，答题者必须按A,B,C,D顺序依次进行，答对A,B,C,D四题分别得20分、20分、40分、60分，每答错一道题扣20分，总得分在面试60分的基础上加或减。答题时每人总分达到100分或100分以上，直接录用不再继续答题；当四道题答完总分不足100分时不予录用。 假设志愿者甲面试已通过且第二轮对A,B,C,D四个题回答正确的概率依次是，且各题回答正确与否相互之间没有影响.

(Ⅰ) 用X表示志愿者甲在知识问答结束时答题的个数，求X的分布列和数学期 望；

（Ⅱ）求志愿者甲能被录用的概率.

20、四棱锥S－ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．

(Ⅰ)求证：MN∥平面SAD；

(Ⅱ)求二面角S－CM－D的余弦值．

21、如图，已知抛物线，其焦点到准线的距离为，点、点是抛物线上的定点，它们到焦点的距离均为，且点位于第一象限．

（1）求抛物线的方程及点、点的坐标；

（2）若点是抛物线异于、的一动点，分别以点、、为切点作抛物线的三条切线，若、、分别相交于D、E、H，设的面积依次为，记，问：是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由。

22、  已知函数

（1）当时，求函数的单调区间；

 （2）若，恒成立，求的取值范围；

 （3）若，证明:.

选考题

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号后方的方框涂黑。

22．选修 4-1：几何证明选讲

如图，AB是圆O的直径，弦BD、CA的延长线相交于点E，F为BA延长线上一点，且，求证：

（1）；

（2）．

23． 选修 4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系中，以原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（为参数），曲线的极坐标方程为,若曲线与相交于A、B两点．

（1）求的值；

（2）求点到A、B两点的距离之积．

24． 选修 4-5：不等式选讲

在平面直角坐标系中，定义点、之间的直角距离为，点，，

（1）若，求的取值范围；

（2）当时，不等式恒成立，求t的最小值．

理科数学参考答案

一、选择题

1、C

2、A

3、A

4、C

5、A

6、B

7、C

8、A

9、C

10、B

11、C

12、A

二、填空题

13、

【解析】

试题分析：

考点：定积分

14、①②③

【解析】由于各家庭有明显差异，所以首先应用分层抽样的方法分别从农民、工人、知识分子这三类家庭中抽出若干户，即36户、2户、2户.又由于农民家庭户数较多，那么在农民家庭这一层宜采用系统抽样；而工人、知识分子家庭户数较少，宜采用简单随机抽样法.故整个抽样过程三种抽样方法都要用到.

15、 (－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞) 解析　因为“綈q且p”为真，即q假p真，而q为真命题时，即2＜x＜3，所以q假时有x≥3或x≤2；p为真命题时，由x2＋2x－3＞0，解得x＞1或x＜－3，由得x≥3或1＜x≤2或x＜－3，

所以x的取值范围是(－∞，－3)∪(1,2]∪[3，＋∞)．

16、　①②④　．

【考点】命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质．

【专题】计算题．

【分析】根据f（x）是定义在R上的偶函数，及在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2可得f（﹣2）=f（2）=0，从而有f（x+4）=f（x），故得函数f（x）是周期为4的周期函数，再结合y=f（x）单调递减、奇偶性画出函数f（x）的简图，最后利用从图中可以得出正确的结论．

【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，

∴f（﹣x）=f（x），

可得f（﹣2）=f（2），

在f（x+4）=f（x）+f（2），中令x=﹣2得

f（2）=f（﹣2）+f（2），

∴f（﹣2）=f（2）=0，

∴f（x+4）=f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，又当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，结合函数的奇偶性画出函数f（x）的简图，如图所示．

从图中可以得出：

②x=﹣4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[8，10]单调递减；

④若方程f（x）=m在[﹣6，﹣2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=﹣8．

故答案为：①②④．

【点评】本题考查函数奇偶性的性质，函数奇偶性的判断，考查学生的综合分析与转化能力，属于难题．

三、简答题

17、【分析】（Ⅰ）根据向量减法的几何意义，在两边同减去，进行向量的数乘运算便可得出，这样便可得出三点A，B，C共线；                                                                           

（Ⅱ）根据上面容易求出点C的坐标，并求出向量的坐标，从而得出f（x）=（cosx﹣m）2+1﹣m2，这样根据配方的式子，讨论m的取值：m＜0，0≤m≤1，m＞1，这样即可求出m的值．                        

【解答】解：（Ⅰ）由已知得；                                               

即；                                                                                                     

∴，又∵有公共点A；                                                                

∴A，B，C三点共线；                                                                                       

（Ⅱ）；                                                                                              

∴；                                                                                    

∵；                                                                                          

∴                                                                      

=                                                                    

=（cosx﹣m）2+1﹣m2；                                                                                     

∵，∴cosx∈[0，1]；                                                                    

①当m＜0，当且仅当cosx=0时，f（x）取得最小值为1（舍去）                                

②当0≤m≤1时，当且仅当cosx=m时，f（x）取得最小值为1﹣m2，（舍去）                

③当m＞1时，当且仅当cosx=1时，f（x）取得最小值2﹣2m，2﹣2m=；           

∴                                                                                                               

综上m=．                                                                                                       

【点评】考查向量减法的几何意义，向量的数乘运算，以及共线向量基本定理，根据点的坐标求向量的坐标，以及配方求二次函数最值的方法．                                                                                       

四、综合题

18、（1）（2）

19、解：设某题M答对记为“M”，答错记为“”

 (Ⅰ) X的可能取值为2，3，4

，

X的分布列为：

   -------6分

 (Ⅱ) 志愿者甲能被录用的概率

   -------12分

或

20、【解析】 (Ⅰ)如图，取的中点，连结，则，且，，所以，且，所以四边形是平行四边形，则，由于平面，平面外，所以平面．

(Ⅱ)取的中点，连结，过作的垂线交于，分别以，，为轴，建立坐标系，，，，，，

设面的法向量为,则有令，，取面ABCD的法向量，则，所以二面角的余弦值为.

[解法二]:如图，取的中点，连结、，连结SH，由，且面⊥面，所以平面，易得，所以，则，所以，则有，所以是二面角的平面角，设，则，，，，，则，所以二面角的余弦值为．

21、 因为抛物线的焦点到准线的距离为，所以，所以所求抛物线的方程为；设，则，即，同理，代入抛物线方程可得所；···············4分

（2），∴

 ∴ l1：；l2：；l3：

∴ D（0,-1），，

∴；

∴

∴．

22、解：（Ⅰ）时，，.

函数的定义域为，则由得，由得，

所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为.

…………………………4分

（Ⅱ）由已知得.

①若在上恒成立，则恒成立，所以，.

即时，在单调递减，，与恒成立矛盾.

…………………………6分

②当时，令，得.

所以当时，，单调递减；当时，，单调递增.

所以.

由得，，所以.

综上，所求的取值范围是.                 …………………………9分

（Ⅲ）时，由（Ⅱ）得.       ………………11分

令，则.

所以当时，，单增；当时，，单减.

所以.                           …………………………13分

所以，即.          

22.（1）证明：连接AD，在中

又∽

则

（2）在中，

又

四点共圆；

又是⊙的直径，则，

23.（1）曲线的普通方程为，

,则的普通方程为，

则的参数方程为： 为参数），代入得，

. 

（2）.

24.（1）由定义得，即，两边平方得，

解得；

（2）当时，不等式恒成立，也就是恒成立，

法一：函数  令，所以，

要使原不等式恒成立只要即可，故.

法二：三角不等式性质  因为，所以，.