2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷Ⅰ）

理科数学

注意事项：

1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑.

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域内均无效.

3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑.答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

5、 考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.

第Ⅰ卷

一. 选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.设集合，,则

（A） （B） （C） （D）

2.设，其中是实数，则

（A） （B） （C） （D）

3.已知等差数列前9项的和为27，，则

（A）100 （B）99 （C）98 （D）97

4.某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是

（A）7c1bc20c016ab66f2b43e99fbf038c45.png （B）df4344a8d214cca83c5817f341d32b3d.png （C）6b947573d14816876763af57c7a89b2e.png （D）265e19a4ae0afb453ff050334cc577b1.png

5.已知方程表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是

word/media/image1_1.png（A） （B） （C） （D）

6.如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是

（A） （B） （C） （D）

7.函数在的图像大致为

（A） （B）

（C） （D）

8.若,则

（A） （B） （C） （D）

9.执行右面的程序框图,如果输入的,则输出x,y的值满足

（A） （B） （C） （D）

10.以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的准线于D、E两点.已知|AB|=,|DE|=,则C的焦点到准线的距离为

(A)2 (B)4 (C)6 (D)8

11.平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,//平面CB1D1,

平面ABCD=m,平面AB B1A1=n,则m、n所成角的正弦值为

(A) (B) (C) (D)

12.已知函数 为的零点,为图像的对称轴，且在单调，则的最大值为

（A）11        （B）9     （C）7        （D）5

二、填空题：本大题共3小题,每小题5分

13.设向量a=(m,1)，b=(1,2)，且|a+b|2=|a|2+|b|2，则m= ．

14.的展开式中，x3的系数是 ．（用数字填写答案）

15.设等比数列满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2 …an的最大值为 ．

16.某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．

三.解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.（本小题满分为12分）

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知

（word/media/image5.gif）求C；

（word/media/image6.gif）若，的面积为，求的周长．

18.（本小题满分为12分）如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，AF=2FD，，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是．

（word/media/image5.gif）证明：平面ABEF平面EFDC；

（word/media/image6.gif）求二面角E-BC-A的余弦值．

19.（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（I）求的分布列；

（word/media/image6.gif）若要求,确定的最小值；

（word/media/image7.gif）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？

20.（本小题满分12分）设圆的圆心为A,直线l过点B（1,0）且与x轴不重合，l交圆A于C,D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.

（I）证明为定值，并写出点E的轨迹方程；

（word/media/image6.gif）设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M,N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围.

21.（本小题满分12分）已知函数有两个零点.

(I)求a的取值范围； (II)设x1,x2是的两个零点,证明：.

请考生在22、23、24题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.

22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，△OAB是等腰三角形，∠AOB=120°.以O为圆心，OA为半径作圆.

(I)证明：直线AB与⊙O相切；

(II)点C，D在⊙O上，且A，B，C，D四点共圆，证明：AB∥CD.

word/media/image10_1.png

23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）．

在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ=.

（I）说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；

（II）直线C3的极坐标方程为，其中满足tan=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a．

24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数.

（I）画出的图像；

（II）求不等式的解集．

2019年高考全国1卷理科数学参考答案

1.word/media/image13_1.png，word/media/image14_1.png．

故word/media/image15_1.png．

故选D．

2.由word/media/image16_1.png可知：word/media/image17_1.png，故word/media/image18_1.png，解得：word/media/image19_1.png．

所以，word/media/image20_1.png．

故选B．

3.由等差数列性质可知：word/media/image21_1.png，故word/media/image22_1.png，

而word/media/image23_1.png，因此公差word/media/image24_1.png

∴word/media/image25_1.png．

故选C．

4.如图所示，画出时间轴：

word/media/image26_1.png

小明到达的时间会随机的落在图中线段word/media/image27_1.png中，而当他的到达时间落在线段word/media/image28_1.png或word/media/image29_1.png时，才能保证他等车的时间不超过10分钟

根据几何概型，所求概率word/media/image30_1.png．

故选B．

5.word/media/image31_1.png表示双曲线，则word/media/image32_1.png

∴word/media/image33_1.png

由双曲线性质知：word/media/image34_1.png，其中word/media/image35_1.png是半焦距

∴焦距word/media/image36_1.png，解得word/media/image37_1.png

∴word/media/image38_1.png

故选A．

6.原立体图如图所示：

word/media/image39_1.png

是一个球被切掉左上角的word/media/image40_1.png后的三视图

表面积是word/media/image41_1.png的球面面积和三个扇形面积之和

word/media/image42_1.png

故选A．

7.word/media/image43_1.png，排除A

word/media/image44_1.png，排除B

word/media/image45_1.png时，word/media/image46_1.pngword/media/image47_1.png，当word/media/image48_1.png时，word/media/image49_1.png

因此word/media/image50_1.png在word/media/image51_1.png单调递减，排除C

故选D．

8.对A：由于word/media/image52_1.png，∴函数word/media/image53_1.png在word/media/image54_1.png上单调递增，因此word/media/image55_1.png，A错误

对B：由于word/media/image56_1.png，∴函数word/media/image57_1.png在word/media/image58_1.png上单调递减，

∴word/media/image59_1.png，B错误

对C：要比较word/media/image60_1.png和word/media/image61_1.png，只需比较word/media/image62_1.png和word/media/image63_1.png，只需比较word/media/image64_1.png和word/media/image65_1.png，只需word/media/image66_1.png和word/media/image67_1.png

构造函数word/media/image68_1.png，则word/media/image69_1.png，word/media/image70_1.png在word/media/image71_1.png上单调递增，因此word/media/image72_1.png

又由word/media/image73_1.png得word/media/image74_1.png，∴word/media/image75_1.png，C正确

对D： 要比较word/media/image76_1.png和word/media/image77_1.png，只需比较word/media/image78_1.png和word/media/image79_1.png

而函数word/media/image80_1.png在word/media/image81_1.png上单调递增，故word/media/image82_1.png

又由word/media/image83_1.png得word/media/image84_1.png，∴word/media/image85_1.png，D错误

故选C．

9.如下表：

输出word/media/image98_1.png，word/media/image99_1.png，满足word/media/image100_1.png

故选C．

10. 以开口向右的抛物线为例来解答，其他开口同理

设抛物线为word/media/image102_1.pngword/media/image103_1.png，设圆的方程为word/media/image104_1.png，

题目条件翻译如图：

设word/media/image105_1.png，word/media/image106_1.png，

点word/media/image105_1.png在抛物线word/media/image102_1.png上，∴word/media/image107_1.png……①

点word/media/image106_1.png在圆word/media/image104_1.png上，∴word/media/image108_1.png……②

点word/media/image105_1.png在圆word/media/image104_1.png上，∴word/media/image109_1.png……③

word/media/image110_1.png联立①②③解得：word/media/image111_1.png，焦点到准线的距离为word/media/image112_1.png．

故选B．

11. 如图所示：

∵word/media/image113_1.png，∴若设平面word/media/image114_1.png平面word/media/image115_1.png，则word/media/image116_1.png

又∵平面word/media/image117_1.png∥平面word/media/image118_1.png，结合平面word/media/image119_1.png平面word/media/image120_1.png

∴word/media/image121_1.png，故word/media/image122_1.png

同理可得：word/media/image123_1.png

故word/media/image124_1.png、word/media/image125_1.png的所成角的大小与word/media/image126_1.png、word/media/image127_1.png所成角的大小相等，即word/media/image128_1.png的大小．

而word/media/image129_1.png（均为面对交线），因此word/media/image130_1.png，即word/media/image131_1.png．

故选A．

12. 由题意知：

word/media/image132_1.png

则word/media/image133_1.png，其中word/media/image134_1.png

word/media/image135_1.png在word/media/image136_1.png单调，word/media/image137_1.png

接下来用排除法

若word/media/image138_1.png，此时word/media/image139_1.png，word/media/image140_1.png在word/media/image141_1.png递增，在word/media/image142_1.png递减，不满足word/media/image143_1.png在word/media/image144_1.png单调

若word/media/image145_1.png，此时word/media/image146_1.png，满足word/media/image147_1.png在word/media/image148_1.png单调递减

故选B．

13.-2 14.10 15．64 16． 216000

13. 由已知得：word/media/image149_1.png

∴word/media/image150_1.png，解得word/media/image151_1.png．

14． 设展开式的第word/media/image152_1.png项为word/media/image153_1.png，word/media/image154_1.png

∴word/media/image155_1.png．

当word/media/image156_1.png时，word/media/image157_1.png，即word/media/image158_1.png

故答案为10．

15.由于word/media/image159_1.png是等比数列，设word/media/image160_1.png，其中word/media/image161_1.png是首项，word/media/image162_1.png是公比．

∴word/media/image163_1.png，解得：word/media/image164_1.png．

故word/media/image165_1.png，∴word/media/image166_1.png

当word/media/image167_1.png或word/media/image168_1.png时，word/media/image169_1.png取到最小值word/media/image170_1.png，此时word/media/image171_1.png取到最大值word/media/image172_1.png．

所以word/media/image173_1.png的最大值为64．

16． 设生产A产品word/media/image174_1.png件，B产品word/media/image175_1.png件，根据所耗费的材料要求、工时要求等其他限制条件，构造线性规则约束为

目标函数word/media/image178_1.png

作出可行域为图中的四边形，包括边界，顶点为word/media/image179_1.pngword/media/image180_1.pngword/media/image181_1.pngword/media/image182_1.png

在word/media/image183_1.png处取得最大值，word/media/image184_1.png

17.解：word/media/image185.gif

由正弦定理得：

∵，

∴

∴，

∵ ∴

word/media/image186.gif 由余弦定理得：

∴

∴

∴周长为

18．解：(1) ∵为正方形 ∴

∵

∴

∵

∴面

面

∴平面平面

word/media/image186.gif 由word/media/image185.gif知

∵

平面

平面

∴平面

平面

∵面面

∴

∴

∴四边形为等腰梯形

以为原点，如图建立坐标系，设

，，

设面法向量为.

，即

设面法向量为

.即

设二面角的大小为.

二面角的余弦值为

19解：word/media/image185.gif 每台机器更换的易损零件数为8，9，10，11

记事件为第一台机器3年内换掉个零件

记事件为第二台机器3年内换掉个零件

由题知，

设2台机器共需更换的易损零件数的随机变量为，则的可能的取值为16，17，18，19，20，21，22

word/media/image186.gif 要令，，

则的最小值为19

word/media/image188.gif 购买零件所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用

当时，费用的期望为

当时，费用的期望为

所以应选用

20. (1)圆A整理为，A坐标，如图，

，则，由，

则

所以E的轨迹为一个椭圆，方程为，()；

⑵ ；设，

因为，设，联立

得；

则；

圆心到距离，

所以，

21. （Ⅰ）．

（i）设，则，只有一个零点．

（ii）设，则当时，；当时，．所以在上单调递减，在上单调递增．

又，，取满足且，则

，

故存在两个零点．

（iii）设，由得或．

若，则，故当时，，因此在上单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．

若，则，故当时，；当时，．因此在单调递减，在单调递增．又当时，，所以不存在两个零点．

综上，的取值范围为．

不妨设，由（Ⅰ）知，，，在上单调递减，所以等价于，即.

由于，而，所以

.

设，则.

所以当时，，而，故当时，.

从而，故.

22．⑴ 设圆的半径为，作于

∵

∴

∴与相切

⑵ 方法一：

假设与不平行

与交于

∵四点共圆

∴

∵

∴由①②可知矛盾

∴

方法二：

因为，因为所以为的中垂线上，同理所以的中垂线，所以．

23．word/media/image185.gif （均为参数）

∴ ①

∴为以为圆心，为半径的圆．方程为

∵ ∴ 即为的极坐标方程

word/media/image186.gif

两边同乘得

即 ②

：化为普通方程为

由题意：和的公共方程所在直线即为

①—②得：，即为

∴ ∴

24．word/media/image185.gif 如图所示：

⑵

当，，解得或

当，，解得或

或

当，，解得或

或

综上，或或

，解集为每项建议案实施完毕，实施部门应根据结果写出总结报告，实事求是的说明产生的经济效益或者其他积极效果，呈报总经办。

总经办应将实施完毕的建议案提交给评委会进行效果评估，确定奖励登记，对符合条件的项目，应整理材料，上报总经理审批后给建议人颁发奖励。

总经办应做好合理化建议的统计记录及资料归档管理。