2018-2019 学年天津市河西区九年级（上）期末数学模拟试卷

一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分）

1．已知点 A（1，a）、点 B（b，2）关于原点对称，则 a+b 的值为（ ）

A．﹣3 B．3 C．﹣1 D．1 2．下列图形中，不是中心对称图形的是（ ）

A． B． C． D．

3. 下列四个命题中，真命题有（ ）

①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．

②如果∠1 和∠2 是对顶角，那么∠1＝∠2．

③三角形的一个外角大于任何一个内角．

④如果 x2＞0，那么 x＞0．

A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个

4. 如图，AB∥CD，OH 分别与 AB、CD 交于点 F、H，OG 分别与 AB、CD 交于点 E、G， 若 ，OF＝12，则 OH 的长为（ ）

A．39 B．27 C．12 D．26

5. 已知正三角形的边长为 12，则这个正三角形外接圆的半径是（ ）

A．2 B． C．3 D．4

6．若一元二次方程式 x2﹣8x﹣3×11＝0 的两根为 a、b，且 a＞b，则 a﹣2b 之值为何？

（ ）

A．﹣25 B．﹣19 C．5 D．17 7．已知扇形的弧长为 3πcm，半径为 6cm，则此扇形的圆心角为（ ）

A．30° B．45° C．60° D．90°

8. 在一个不透明的纸箱中放入 m 个除颜色外其他都完全相同的球，这些球中有 4 个红球，

每次将球摇匀后任意摸出一个球，记下颜色再放回纸箱中，通过大量的重复摸球实验后

发现摸到红球的频率稳定在 ，因此可以估算出 m 的值大约是（ ）

A．8 B．12 C．16 D．20

9. 在平面直角坐标系中，将抛物线 y＝x2 先向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位，得到的抛物线解析式为（ ）

A．y＝（x+2）2+2 B．y＝（x﹣2）2﹣2 C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x+2）2﹣2 10．已知点 C 在线段 AB 上，且点 C 是线段 AB 的黄金分割点（AC＞BC），则下列结论正确

的是（ ）

A．AB2＝AC•BC B．BC2＝AC•BC C．AC＝ BC D．BC＝ AC

11. 如图，把一个宽度为 2cm 的刻度尺在圆形光盘上移动，当刻度尺的一边与光盘相切时， 另一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”（单位：cm），那么光盘的直径是（ ）

A．5 cm B．8 cm C．10 cm D．12 cm

12. 已知抛物线 y＝x2﹣（4m+1）x+2m﹣1 与 x 轴交于两点，如果有一个交点的横坐标大于

2，另一个交点的横坐标小于 2，并且抛物线与 y 轴的交点在点（0，）的下方，那么

m 的取值范围是（ ）

A． B． C． D．全体实数二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）

13. 如图，PA，PB 分别与⊙O 相切于 A、B 两点，点 C 为劣弧 AB 上任意一点，过点 C 的切线分别交 AP，BP 于 D，E 两点．若 AP＝8，则△PDE 的周长为 ．

14. 在一个不透明的盒子中，装有除颜色外完全相同的乒乓球共 16 个，从中随机摸出一个

乒乓球，若摸到黄色乒乓球的概率为 ，则该盒子中装有黄色乒乓球的个数是 ．

15. 如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点 P 处放一水平的平面镜，光线从点 A 出发经平面镜反射后刚好到古城墙 CD 的顶端 C 处，已知 AB⊥BD， CD⊥BD，测得 AB＝2 米，BP＝3 米，PD＝15 米，那么该古城墙的高度 CD 是 米．

16. 如图，已知，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，⊙O 是 ABC 的内切圆， 则这个圆的半径是 ．

17. 如图，正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，点 O 为位似中心，相似比为 1 ． 若点 A 的坐标为（0，1），则点 E 的坐标是 ．

18. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的圆心 A 的坐标为（1，0），半径为 1，点 P 为直线

y＝ x+3 上的动点，过点 P 作⊙A 的切线，且点为 B，则 PB 的最小值是 ．

三．解答题（共 7 小题，满分 66 分）

19. 已知二次函数 y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0）

（1） 该二次函数图象的对称轴是直线 ．

（2） 若该二次函数的图象开口向上，当﹣1≤x≤5 时，函数图象的最高点为 M，最低点为

N，点 M 的纵坐标为，求点 M 和点 N 的坐标；

（3） 对于该二次函数图象上的两点 A（x1，y1）B（x2，y2），设 t≤x1≤t+1，当 x2≥3 时，具有 y1≥y2，请结合图象，直接写出 t 的取值范围．

20. 如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别 标有数字 1，2，3．

（1） ） 小明转动转盘一次， 当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ；

（2） 小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是 3 的倍数的概率（用画树状图或列表等方法求解）．

21. 如图，小明想用镜子测量一棵松树的高度，但树旁有一条河，不能测量镜子与树之间的距离，于是小明两次利用镜子，第一次他把镜子放在 C 点，人在 F 点正好在镜子中看见树尖 A；第二次把镜子放在 D 点，人在 H 点正好在镜子中看到树尖 A．已知小明的眼睛距离地面的距离 EF＝1.68 米，量得 CD＝10 米，CF＝1.2 米，DH＝3.6 米，利用这些数据你能求出这棵松树的高度吗？试试看．（友情提示：∠ACB＝∠ECF，∠ADF＝∠GDH）

22. 如图，在△ABO 中，OA＝OB，C 是边 AB 的中点，以 O 为圆心的圆过点 C，连接 OC， AO 延长线交⊙O 于点 D，OF 是∠DOB 的平分线，E 为 OF 上一点，连接 BE．

（1） 求证：AB 与⊙O 相切；

（2） ①当∠OEB＝ 时，四边形 OCBE 为矩形；

②在①的条件下，若 AB＝4，则 OA＝ 时，四边形 OCBE 为正方形？

23. 在国家的宏观调控下，某市的商品房成交价由去年 10 月份的 14000 元/m2 下降到 12 月

份的 11340 元/m2．

（1） 求 11、12 两月平均每月降价的百分率是多少？

（2） 如果房价继续回落，按此降价的百分率，你预测到今年 2 月份该市的商品房成交均价

是否会跌破 10000 元/m2？请说明理由．

24. 如图 1，P 点从点 A 开始以 2 厘米/秒的速度沿 A→B→C 的方向移动，点 Q 从点 C 开始以 1 厘米/秒的速度沿 C→A→B 的方向移动，在直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，若 AB

＝16 厘米，AC＝12 厘米，BC＝20 厘米，如果 P、Q 同时出发，用 t（秒）表示移动时间， 那么：

（1） 如图 1，若 P 在线段 AB 上运动，Q 在线段 CA 上运动，试求出 t 为何值时，QA＝AP

（2） 如图 2，点 Q 在 CA 上运动，试求出 t 为何值时，三角形 QAB 的面积等于三角形 ABC

面积的 ；

（3） 如图 3，当 P 点到达 C 点时，P、Q 两点都停止运动，试求当 t 为何值时，线段 AQ 的长度等于线段 BP 的长的

25. 如图，点 A，B，C 都在抛物线 y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5（﹣＜a＜0）上，AB∥x 轴，

∠ABC＝135°，且 AB＝4．

（1） 填空：抛物线的顶点坐标为 ；（用含 m 的代数式表示）；

（2） 求△ABC 的面积（用含 a 的代数式表示）；

（3） 若△ABC 的面积为 2，当 2m﹣5≤x≤2m﹣2 时，y 的最大值为 2，求 m 的值．

参考答案 一．选择题（共 12 小题，满分 36 分，每小题 3 分） 1．【解答】解：由题意，得

a＝﹣2，b＝﹣1． a+b＝﹣2+（﹣1）＝﹣3， 故选：A．

2. 【解答】解：A、是中心对称图形，故本选项错误；

B、不是中心对称图形，故本选项正确； C、是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项错误； 故选：B．

3. 【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；如果∠1 和∠2 是对顶角，那么∠1＝∠2，所以②正确；

三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以③错误； 如果 x2＞0，那么 x≠0，所以④错误．

故选：A．

4. 【解答】解：∵EF∥GH，

∴ ＝ ＝ ，

∴ ＝ ，

∴FH＝27，

∴OH＝OF+FH＝12+27＝39，

故选：A．

5. 【解答】解：如图，连接 OB，作 OD⊥BC，

∵BC＝12，

∴BD＝ BC＝ ×12＝6，

∵△ABC 是等边三角形，

∴∠OBD＝30°，

∴OB＝ ．

故选：D．

6．【解答】解：（x﹣11）（x+3）＝0，

x﹣11＝0 或 x+3＝0， 所以 x1＝11，x2＝﹣3， 即 a＝11，b＝﹣3，

所以 a﹣2b＝11﹣2×（﹣3）＝11+6＝17． 故选：D．

7. 【解答】解：∵l＝ ，l＝3πcm，r＝6cm，

∴3π＝ ，

解得 n＝90°． 故选：D．

8. 【解答】解：根据题意得，

解得，m＝20． 故选：D．

9. 【解答】解：抛物线 y＝x2 的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）先向右平移 2 个单位，再向上平移 2 个单位后得到的点的坐标为（2，2），

所以所得的抛物线的解析式为 y＝（x﹣2）2+2． 故选：C．

10【解答】解：∵点 C 是线段 AB 的黄金分割点且 AC＞BC，

∴ ＝ ，即 AC2＝BC•AB，故 A、B 错误；

∴AC＝ AB，故 C 错误；

BC＝ AC，故 D 正确；

故选：D．

11【解答】解：设光盘的圆心为 O，如图所示：

过点 O 作 OA 垂直直尺于点 A，连接 OB，设 OB＝x，

∵一边与光盘边缘两个交点处的读数恰好是“2”和“10”，

∴AB＝ ×（10﹣2）＝4，

∵刻度尺宽 2cm，

∴OA＝x﹣2， 在 Rt△OAB 中，

OA2+AB2＝OB2，即（x﹣2）2+42＝x2， 解得：x＝5．

∴该光盘的直径是 10cm． 故选：C．

12【解答】解：根据题意，

令 f（x）＝x2﹣（4m+1）x+2m﹣1，

∵抛物线 y＝x2﹣（4m+1）x+2m﹣1 与 x 轴有一个交点的横坐标大于 2，另一个交点的横坐标小于 2，且抛物线开口向上，

∴f（2）＜0，即 4﹣2（4m+1）+2m﹣1＜0，解得：

又∵抛物线与 y 轴的交点在点（0，）的下方，

∴f（0）＜﹣ ，解得：m＜ ， 综上可得： ＜m＜ ，

故选：A．

二．填空题（共 6 小题，满分 18 分，每小题 3 分）

13【解答】解：∵DA、DC、EB、EC 分别是⊙O 的切线，

∴DA＝DC，EB＝EC；

∴DE＝DA+EB，

∴PD+PE+DE＝PD+DA+PE+BE＝PA+PB，

∵PA、PB 分别是⊙O 的切线，

∴PA＝PB＝8，

∴△PDE 的周长＝16． 故答案为：16

14【解答】解：∵装有除颜色外完全相同的乒乓球共 16 个，从中随机摸出一个乒乓球，若

摸到黄色乒乓球的概率为 ，

∴该盒子中装有黄色乒乓球的个数是：16× ＝6． 故答案为：6．

15【解答】解：如图，

由题意可得：∠APE＝∠CPE，

∴∠APB＝∠CPD，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABP＝∠CDP＝90°，

∴△ABP∽△CDP，

∴ ＝ ，

∵AB＝2 米，BP＝3 米，PD＝15 米，

∴ ＝ ，

解得：CD＝10 米， 故答案为：10．

16【解答】解：在 Rt△ABC 中，∵∠C＝90°，AB＝13，AC＝5，

∴BC＝ ＝ ＝12，

设内切圆半径为 r，则有 •BC•AC＝ （AB+BC+AC）•r，

∴r＝ ＝2． 故答案为 2

17【解答】解：∵正方形 OABC 与正方形 ODEF 是位似图形，O 为位似中心，相似比为 1：

，

∴OA：OD＝1： ，

∵点 A 的坐标为（0，1），即 OA＝1，

∴OD＝ ，

∵四边形 ODEF 是正方形，

∴DE＝OD＝ ．

∴E 点的坐标为：（，）．故答案为：（，）．

18【解答】解：如图，作 AP⊥直线 y＝x+3，垂足为 P，作⊙A 的切线 PB，切点为 B，

此时切线长 PB 最小，

∵A 的坐标为（1，0），

设直线与 x 轴，y 轴分别交于 D，C，

∴D（0，3），C（﹣4，0），

∴OD＝3，AC＝5，

∴DC＝ ＝5，

∴AC＝DC，

在△APC 与△DOC 中， ，

∴△APC≌△DOC，

∴AP＝OD＝3，

∴PB＝ ．

故答案为：2

三．解答题（共 7 小题，满分 66 分）

19【解答】解：（1）∵二次函数 y＝ax2﹣2ax﹣2a（a≠0），

∴该二次函数图象的对称轴是直线 x＝﹣＝1， 故答案为：x＝1；

（2） ∵该二次函数的图象开口向上，对称轴为直线 x＝1，﹣1≤x≤5，

∴当 x＝5 时，y 取得最大值，即 M（5，），

∴ ，得 a＝，

∴该二次函数的表达式为 y＝ax2﹣2ax﹣2a＝a（x﹣1）2﹣3a＝， 即点 N 的坐标为（1，）．

（3） 当 a＞0 时，该函数的图象开口向上，对称轴为直线 x＝1，

∵t≤x1≤t+1，当 x2≥3 时，具有 y1≥y2，点 A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，

∴t≥3，

当 a＜0 时，该函数的图象开口向下，对称轴为直线 x＝1，

∵t≤x1≤t+1，当 x2≥3 时，具有 y1≥y2，点 A（x1，y1）B（x2，y2）在该函数图象上，

∴ ，得﹣2≤t≤2．

20【解答】解：（1）∵在标有数字 1、2、3 的 3 个转盘中，奇数的有 1、3 这 2 个，

∴指针所指扇形中的数字是奇数的概率为 ， 故答案为： ；

（2）列表如下：

由表可知，所有等可能的情况数为 9 种，其中这两个数字之和是 3 的倍数的有 3 种， 所以这两个数字之和是 3 的倍数的概率为＝ ．

21【解答】解：根据反射定律可以推出∠ACB＝∠ECF，∠ADB＝∠GDH，

∵AB⊥BC，EF⊥BC，GH⊥BC，

∴△BAC∽△FEC 、 △ADB∽△GDH， 设 AB＝x，BC＝y

，

答；这棵松树的高约为 7 米．

22【解答】（1）证明：∵OA＝OB，C 是边 AB 的中点，

∴OC⊥AB，

∴AB 与⊙O 相切；

（2）解：①当∠OEB＝90°时，四边形 OCBE 为矩形， 证明：∵OA＝OB，

∴∠A＝∠OBA，

∵OF 是∠DOB 的平分线，

∴∠DOF＝∠BOF，

由三角形的外角的性质可知，∠DOF+∠BOF＝∠A+∠OBA，

∴∠BOF＝∠OBA，

∴OF∥BC，

当∠OEB＝90°时，∠CBE＝90°，又 OC⊥AB，

∴四边形 OCBE 为矩形， 故答案为：90°；

②当 OA＝2时，四边形 OCBE 为正方形， 证明：∵四边形 OCBE 为正方形，

∴CO＝CB，

∴OA＝OB＝ ＝2 ， 故答案为：2 ．

23【解答】解：（1）设 11、12 两月平均每月降价的百分率是 x，则 11 月份的成交价是：14000（1﹣x），

12 月份的成交价是：14000（1﹣x）2

∴14000（1﹣x）2＝11340，

∴（1﹣x）2＝0.81，

∴x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）．答：11、12 两月平均每月降价的百分率是 10%；

（2）会跌破 10000 元/m2．

如果按此降价的百分率继续回落，估计今年 2 月份该市的商品房成交均价为：

11340（1﹣x）2＝11340×0.81＝9184.5＜10000．

由此可知今年 2 月份该市的商品房成交均价会跌破 10000 元/m2．

24【解答】解：（1）当 P 在线段 AB 上运动，Q 在线段 CA 上运动时，设 CQ＝t，AP＝2t，则 AQ＝12﹣t，

∵AQ＝AP，

∴12﹣t＝2t，

∴t＝4．

∴t＝4s 时，AQ＝AP．

（2） 当 Q 在线段 CA 上时，设 CQ＝t，则 AQ＝12﹣t，

∵三角形 QAB 的面积等于三角形 ABC 面积的 ，

∴ •AB•AQ＝ × •AB•AC，

∴ ×16×（12﹣t）＝ ×16×12，解得 t＝9．

∴t＝9s 时，三角形 QAB 的面积等于三角形 ABC 面积的．

（3） 由题意可知，Q 在线段 CA 上运动的时间为 12 秒，P 在线段 AB 上运动时间为 8 秒，

①当 0＜t≤8 时，P 在线段 AB 上运动，Q 在线段 CA 上运动，设 CQ＝t，AP＝2t，则 AQ＝

12﹣t，BP＝16﹣2t，

∵AQ＝ BP，

∴12﹣t＝（16﹣2t），解得 t＝16（不合题意舍弃）．

②当 8＜t≤12 时，Q 在线段 CA 上运动，P 在线段 BC 上运动，设 CQ＝t，则 AQ＝12﹣t， BP＝2t﹣16，

∵AQ＝ BP，

∴12﹣t＝（2t﹣16），解得 t＝．

③当 t＞12 时，Q 在线段 AB 上运动，P 在线段 BC 上运动时，

∵AQ＝t﹣12，BP＝2t﹣16，

∵AQ＝ BP，

∴t﹣12＝（2t﹣16），解得 t＝16，

综上所述，t＝ s 或 16s 时，AQ＝BP．

25．【解答】解：（1）∵y＝ax2﹣2amx+am2+2m﹣5＝a（x﹣m）2+2m﹣5，

∴抛物线的顶点坐标为（m，2m﹣5）．故答案为：（m，2m﹣5）．

（2） 过点 C 作直线 AB 的垂线，交线段 AB 的延长线于点 D，如图所示．

∵AB∥x 轴，且 AB＝4，

∴点 B 的坐标为（m+2，4a+2m﹣5）．

∵∠ABC＝135°，

∴设 BD＝t，则 CD＝t，

∴点 C 的坐标为（m+2+t，4a+2m﹣5﹣t）．

∵点 C 在抛物线 y＝a（x﹣m）2+2m﹣5 上，

∴4a+2m﹣5﹣t＝a（2+t）2+2m﹣5， 整理，得：at2+（4a+1）t＝0，

解得：t1＝0（舍去），t2＝﹣ ，

∴S△ABC＝ AB•CD＝﹣ ．

（3） ∵△ABC 的面积为 2，

∴﹣ ＝2， 解得：a＝﹣ ，

∴抛物线的解析式为 y＝﹣（x﹣m）2+2m﹣5． 分三种情况考虑：

①当 m＞2m﹣2，即 m＜2 时，有﹣（2m﹣2﹣m）2+2m﹣5＝2， 整理，得：m2﹣14m+39＝0，

解得：m1＝7﹣（舍去），m2＝7+（舍去）；

②当 2m﹣5≤m≤2m﹣2，即 2≤m≤5 时，有 2m﹣5＝2，

解得：m＝ ；

③当 m＜2m﹣5，即 m＞5 时，有﹣（2m﹣5﹣m）2+2m﹣5＝2， 整理，得：m2﹣20m+60＝0，

解得：m3＝10﹣2 （舍去），m4＝10+2 ． 综上所述：m 的值为 或 10+2 ．