◆随堂检测
1、若x2 = a ,则 叫 的平方根,如16的平方根是 ,
2、
3、196的平方根有 个,它们的和为
4、下列说法是否正确?说明理由
(1)0没有平方根;
(2)—1的平方根是
(3)64的平方根是8;
(4)5是25的平方根;
(5)
5、求下列各数的平方根
(1)100 (2)
◆典例分析
例 若
◆课下作业
●拓展提高
一、选择
1、如果一个数的平方根是a+3和2a-15,那么这个数是( )
A、49 B、441 C、7或21 D、49或441
2、
A、4 B、2 C、-2 D、
二、填空
3、若5x+4的平方根为
4、若m—4没有平方根,则|m—5|=
5、已知
三、解答题
6、a的两个平方根是方程3x+2y=2的一组解
(1) 求a的值 (2)
7、已知
● 体验中考
1、(09河南)若实数x,y满足
2、(08咸阳)在小于或等于100的非负整数中,其平方根是整数的共有 个
3、(08荆门)下列说法正确的是( )
A、64的平方根是8 B、-1 的平方根是
C、-8是64的平方根 D、
12.1.1平方根(第二课时)
◆随堂检测
1、
2、一个数的算术平方根是9,则这个数的平方根是
3、若
4、下列叙述错误的是( )
A、-4是16的平方根 B、17是
C、
◆典例分析
例:已知△ABC的三边分别为a、b、c且a、b满足
分析:根据非负数的性质求a、b的值,再由三角形三边关系确定c的范围
◆课下作业
●拓展提高
一、选择
1、若
A、16 B、
2、
A、4 B、
二、填空
3、如果一个数的算术平方根等于它的平方根,那么这个数是
4、若
三、解答题
5、若a是
6、已知a为
●体验中考
.(2009年山东潍坊)一个自然数的算术平方根为,则和这个自然数相邻的下一个自然数是( )
A. B. C. D.
2、(08年泰安市)
b=
3、(08年广州)如图,实数
化简
4、(08年随州)小明家装修用了大小相同的正方形瓷砖共66块铺成10.56米2的房间,小明想知道每块瓷砖的规格,请你帮助算一算.
12.1.2 立方根
◆随堂检测
1、若一个数的立方等于 —5,则这个数叫做—5的 ,用符号表示为 ,—64的立方根是 ,125的立方根是 ; 的立方根是 —5.
2、如果
如果
3、当
4、下列语句正确的是( )
A、
C、
典例分析
例 若
●拓展提高
一、选择
1、若
A、0 B、
2、若式子
A、
二、填空
3、
4、若
三、解答题
5、求下列各式中的x的值
(1)125
6、已知:
●体验中考
1、(09宁波)实数8的立方根是
2、(08泰州市)已知
A、3a与3b B、
3、(08益阳市)一个正方体的水晶砖,体积为100 cm3,它的棱长大约在( )
A、4~5cm之间 B、5~6cm之间 C、6~7 cm之间D、7~8cm之间
12.2实数与数轴
◆随堂检测
1、下列各数:
2、
3、设
4、若实数a,则|a| |b|;大于
比较大小:
5、下列说法中,正确的是( )
A.实数包括有理数,0和无理数 B.无限小数是无理数
C.有理数是有限小数 D.数轴上的点表示实数.
◆典例分析
例: 设a、b是有理数,并且a、b满足等式
◆课下作业
●拓展提高
一、选择
1、
A.
2、设a是实数,则|a|-a 的值( )
A.可以是负数 B.不可能是负数 C.必是正数 D.可以是整数也可以是负数
二、填空
3、写出一个3和4之间的无理数
4、下列实数
三、解答题
5、比较下列实数的大小
(1)|
6、设m是
● 体验中考
.(2011年青岛二中模拟)如图,数轴上两点表示的数分别为和,
点B关于点A的对称点为C,则点C所表示的数为( )
C. D.
.(2011年湖南长沙)已知实数
A.1 B.
3、(2011年江苏连云港)实数
A.
C.
4、(2011年浙江省杭州市模2)如图,数轴上点A所表示的数的倒数是( )
A.
§13.1 幂的运算
1. 同底数幂的乘法
试一试
(1) 2
(2) 5
概 括:a
= =a
可得 a
例1计算:
(1) 10
练习
1. 判断下列计算是否正确,并简要说明理由.
(1) a·a
2. 计算:
(1) 10
3.填空:
(1)
(2)写出一个以幂的形式表示的数,使它的底数为c,指数为3,这个数为________;
(3)
(4)根据乘方的意义,
同底数幂的乘法练习题
1.计算:
(1)
(3)
(5)
(7)
2.计算:
(1)
(3)
(5)
(7)
(9)
(11)
3.下面的计算对不对?如果不对,应怎样改正?
(1)
(3)
(5)
(7)
(9)
4.选择题:
(1)
(2)下列式子正确的是( ).A.
(3)下列计算正确的是( ).
A.
C.
2. 幂的乘方
根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空:
(1) (2
(2) (3
(3) (a
概 括
(a
可得(a
例2计算:
(1) (10
练习
1. 判断下列计算是否正确,并简要说明理由.
(1) (a
2. 计算:
(1)(2
3、计算:
(1)x·(x2)3 (2)(xm)n·(xn)m (3)(y4)5-(y5)4
(4)(m3)4+m10m2+m·m3·m8 (5)[(a-b)n] 2 [(b-a)n-1] 2
(6)[(a-b)n] 2 [(b-a)n-1] 2 (7)(m3)4+m10m2+m·m3·m8
幂的乘方
一、基础练习
1、 幂的乘方,底数_______,指数____.(am)n= ___(其中m、n都是正整数)
2、计算:(1)(23)2=_____; (2)(-22)3=______;
(3)-(-a3)2=______; (4)(-x2)3=_______。
3、如果x2n=3,则(x3n)4=_____.
4、下列计算错误的是( ).
A.(a5)5=a25 B.(x4)m=(x2m)2 C.x2m=(-xm)2 D.a2m=(-a2)m
5、在下列各式的括号内,应填入b4的是( ).
A.b12=( )8 B.b12=( )6 C.b12=( )3 D.b12=( )2
6、如果正方体的棱长是(1-2b)3,那么这个正方体的体积是( ).
A.(1-2b)6 B.(1-2b)9 C.(1-2b)12 D.6(1-2b)6
7、计算(-x5)7+(-x7)5的结果是( ).
A.-2x12 B.-2x35 C.-2x70 D.0
二、 能力提升
1、若xm·x2m=2,求x9m=__________ 2、若a2n=3,求(a3n)4=____________。
3、已知am=2,an=3,求a2m+3n=______,4、若644×83=2x,求x的值 。
5、已知a2m=2,b3n=3,求(a3m)2-(b2n)3+a2m·b3n的值.
6、若2x=4y+1,27y=3x- 1,试求x与y的值.
7、已知a=355,b=444,c=533,请把a,b,c按大小排列.
8.已知:3x=2,求3x+2的值.
9.已知xm+n·xm-n=x9,求m的值.10.若52x+1=125,求(x-2)2011+x的值.
3. 积的乘方
试一试
(1) (ab)
(2) (ab)
(3) (ab)
概 括(ab)
=a
积的乘方,等于 ,再 .
例3计算:
(1)(2b)
练习
1. 判断下列计算是否正确,并说明理由.
(1) (xy
2. 计算:
(1)(3a)
3、计算:
(1)(2×103)2 (2)(-2a3y4)3
(3)
(5)(-2a2b)2·(-2a2b2)3 (6)[(-3mn2·m2)3] 2
积的乘方
一、基础训练
1.(ab)2=______,(ab)3=_______.
2.(a2b)3=_______,(2a2b)2=_______,(-3xy2)2=_______.
3. 判断题 (错误的说明为什么)
(1)(3ab2)2=3a2b4 (2)(-x2yz)2=-x4y2z2
(3)(
(5)(a
4.下列计算中,正确的是( )
A.(xy)3=xy3 B.(2xy)3=6x3y3 C.(-3x2)3=27x5 D.(a2b)n=a2nbn
5.如果(ambn)3=a9b12,那么m,n的值等于( )
A.m=9,n=4 B.m=3,n=4 C.m=4,n=3 D.m=9,n=6
6.a6(a2b)3的结果是( )
A.a11b3 B.a12b3 C.a14b D.3a12b
7.(-
二、能力提升
1.用简便方法计算:
(4)(-0.125)12×(-1
2.若x3=-8a6b9,求x的值。 3.已知xn=5,yn=3,求(xy)3n的值.
4. 同底数幂的除法
试一试
用你熟悉的方法计算:
(1) 2
概 括
2
一般地,设m、n为正整数,m>n, a≠0,有a
这就是说,同底数幂相除, .a
例4计算:
(1)a
(2)你会计算(a+b)
练习
1. 填空:
(1) a
(3) x
2. 计算:
(1)a
3.计算:
(1) x
(3) (p
习题13.1
1. 计算(以幂的形式表示):
(1) 9
2. 计算(以幂的形式表示):
(1) (10
3. 判断下列等式是否正确,并说明理由.
(1) a
(3) a
4. 计算(以幂的形式表示):
(1) (3×10
(5) (ab)
5. 计算:
(1) x
(3) (p
6.计算:(1) (a
(3) x
§13.2 整式的乘法
1. 单项式与单项式相乘
计算:例 2x
概 括单项式与单项式相乘,只要将它们的 、 分别相乘,对于只在一个单项式中出现的字母,则 作为积的一个因式.
例2卫星绕地球表面做圆周运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×10
你能说出a·b,3a·2a,以及3a·5ab的几何意义吗?
练习
1. 计算:
(1) 3a
(3) (-3a
2. 光速约为3×10
单项式与单项式相乘随堂练习题
一、选择题
1.式子x4m+1可以写成( )
A.(xm+1)4 B.x·x4m C.(x3m+1)m D.x4m+x
2.下列计算的结果正确的是( )
A.(-x2)·(-x)2=x4 B.x2y3·x4y3z=x8y9z
C.(-4×103)·(8×105)=-3.2×109 D.(-a-b)4·(a+b)3=-(a+b)7
3.计算(-5ax)·(3x2y)2的结果是( )
A.-45ax5y2 B.-15ax5y2 C.-45x5y2 D.45ax5y2
二、填空题
4.计算:(2xy2)·(
5.已知am=2,an=3,则a3m+n=_________;a2m+3n=_________.
6.一种电子计算机每秒可以做6×108次运算,它工作8×102秒可做_______次运算.
三、解答题
7.计算:
①(-5ab2x)·(-
③(-
④(-2×103)3×(-4×108)2
8.先化简,再求值:
-10(-a3b2c)2·
9.若单项式-3a2m-nb2与4a3m+nb5m+8n同类项,那么这两个单项式的积是多少?
四、探究题
10.若2a=3,2b=5,2c=30,试用含a、b的式子表示c.
2. 单项式与多项式相乘
试一试
计算: 2a
概 括单项式与多项式相乘,只要将 ,再 .
练习
1. 计算:(1) 3x
2. 化简: x(x
3、计算:
①(
③(3an+2b-2anbn-1+3bn)·5anbn+3(n为正整数,n>1)
④-4x2·(
单项式与多项式相乘随堂练习题
一、选择题
1.计算(-3x)·(2x2-5x-1)的结果是( )
A.-6x2-15x2-3x B.-6x3+15x2+3x
C.-6x3+15x2 D.-6x3+15x2-1
2.下列各题计算正确的是( )
A.(ab-1)(-4ab2)=-4a2b3-4ab2 B.(3x2+xy-y2)·3x2=9x4+3x3y-y2
C.(-3a)(a2-2a+1)=-3a3+6a2 D.(-2x)(3x2-4x-2)=-6x3+8x2+4x
3.如果一个三角形的底边长为2x2y+xy-y2,高为6xy,则这个三角形的面积是( )
A.6x3y2+3x2y2-3xy3 B.6x3y2+3xy-3xy3
C.6x3y2+3x2y2-y2 D.6x3y+3x2y2
4.计算x(y-z)-y(z-x)+z(x-y),结果正确的是( )
A.2xy-2yz B.-2yz C.xy-2yz D.2xy-xz
二、填空题
5.方程2x(x-1)=12+x(2x-5)的解是__________.
6.计算:-2ab·(a2b+3ab2-1)=_____________.
7.已知a+2b=0,则式子a3+2ab(a+b)+4b3的值是___________.
三、解答题
8.计算:
①(
③(3an+2b-2anbn-1+3bn)·5anbn+3(n为正整数,n>1)
④-4x2·(
9.化简求值:-ab·(a2b5-ab3-b),其中ab2=-2。
四、探究题
10.请先阅读下列解题过程,再仿做下面的题.
已知x2+x-1=0,求x3+2x2+3的值.
解:x3+2x2+3=x3+x2-x+x2+x+3
=x(x2+x-1)+x2+x-1+4
=0+0+4=4
如果1+x+x2+x3=0,求x+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8的值.
3. 多项式与多项式相乘
回 忆(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb
概 括
这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则:
多项式与多项式相乘,先用 ,再把 .
例4计算:
(1) (x+2)(x-3) (2) (3x-1)(2x+1).
例5计算:
(1) (x-3y)(x+7y); (2) (2x+5y)(3x-2y).
练习
1. 计算:(1) (x+5)(x-7); (2) (x+5y)(x-7y)
(3) (2m+3n)(2m-3n); (4) (2a+3b)(2a+3b).
2. 小东找来一张挂历纸包数学课本.已知课本长a厘米,宽b厘米,厚c厘米,小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米.问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形?
习题13.2
1. 计算:
(1) 5x
(3) 2x
2. 世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米,底边长230.4米,用了约2.3×10
3. 计算:(1) -3x·(2x
4. 化简:
(1)x(1/2x+1)-3x(3/2x-2);(2)x
5. 一块边长为xcm的正方形地砖,被裁掉一块2cm宽的长条.问剩下部分的面积是多少?
6. 计算:
(1) (x+5)(x+6); (2) (3x+4)(3x-4);
(3) (2x+1)(2x+3);(4) (9x+4y)(9x-4y).
13.5 因式分解(1)
一、基础训练
1.若多项式-6ab+18abx+24aby的一个因式是-6ab,那么其余的因式是( )
A.-1-3x+4y B.1+3x-4y C.-1-3x-4y D.1-3x-4y
2.多项式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( )
A.-6ab2c B.-ab2 C.-6ab2 D.-6a3b2c
3.下列用提公因式法分解因式正确的是( )
A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab) B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)
C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c) D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)
4.下列等式从左到右的变形是因式分解的是( )
A.-6a3b2=2a2b·(-3ab2) B.9a2-4b2=(3a+2b)(3a-2b)
C.ma-mb+c=m(a-b)+c D.(a+b)2=a2+2ab+b2
5.下列各式从左到右的变形错误的是( )
A.(y-x)2=(x-y)2 B.-a-b=-(a+b)
C.(m-n)3=-(n-m)3 D.-m+n=-(m+n)
6.若多项式x2-5x+m可分解为(x-3)(x-2),则m的值为( )
A.-14 B.-6 C.6 D.4
7.(1)分解因式:x3-4x=_______;(2)因式分解:ax2y+axy2=________.
8.因式分解:
(1)3x2-6xy+x; (2)-25x+x3;
(3)9x2(a-b)+4y2(b-a); (4)(x-2)(x-4)+1.
二、能力训练
9.计算54×99+45×99+99=________.
10.若a与b都是有理数,且满足a2+b2+5=4a-2b,则(a+b)2006=_______.
11.若x2-x+k是一个多项式的平方,则k的值为( )
A.
12.若m2+2mn+2n2-6n+9=0,求
13.利用整式的乘法容易知道(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb,现在的问题是:
如何将多项式ma+mb+na+nb因式分解呢?用你发现的规律将m3-m2n+mn2-n3因式分解.
14.由一个边长为a的小正方形和两个长为a,宽为b的小矩形拼成如图的矩形ABCD,则整个图形可表达出一些有关多项式分解因式的等式,请你写出其中任意三个等式.
15.说明817-299-913能被15整除.
参考答案
1.D 点拨:-6ab+18abx+24aby=-6ab(1-3x-4y).
2.C 点拨:公因式由三部分组成;系数找最大公约数,字母找相同的,字母指数找最低的.
3.C 点拨:A中c不是公因式,B中括号内应为x2-x+2,D中括号内少项.
4.B 点拨:分解的式子必须是多项式,而A是单项式;分解的结果是几个整式乘积的形式,C、D不满足.
5.D 点拨:-m+n=-(m-n).
6.C 点拨:因为(x-3)(x-2)=x2-5x+6,所以m=6.
7.(1)x(x+2)(x-2);(2)axy(x+y).
8.(1)3x2-6xy+x=x(3x-6y+1);
(2)-25x+x3=x(x2-25)=x(x+5)(x-5);
(3)9x2(a-b)+4y2(b-a)=9x2(a-b)-4y2(a-b)
=(a-b)(9x2-4y2)=(a-b)(3x+2y)(3x-2y);
(4)(x-2)(x-4)+1=x2-6x+8+1=x2-6x+9=(x-3)2.
9.9900 点拨:54×99+45×99+99=99(54+45+1)=99×100=9900.
10.1 点拨:∵a2+b2+5=4a-2b,
∴a2-4a+4+b2+2b+1=0,即(a-2)2+(b+1)2=0,
所以a=2,b=-1,(a+b)2006=(2-1)2006=1.
11.A 点拨:因为x2-x+
12.解:m2+2mn+2n2-6n+9=0,
(m2+2mn+n2)+(n2-6n+9)=0,
(m+n)2+(n-3)2=0,
m=-n,n=3,
∴m=-3.
13.解:m3-m2n+mn2-n3=m2(m-n)+n2(m-n)=(m-n)(m2+n2).
14.a2+2ab=a(a+2b),a(a+b)+ab=a(a+2b),a(a+2b)-a(a+b)=ab,
a(a+2b)-2ab=a2,a(a+2b)-a2=2ab等.
点拨:将某一个矩形面积用不同形式表示出来.
15.解:817-279-913=(34)7-(33)9-(32)13
=328-327-326=326(32-3-1)=326×5
=325×3×5=325×15,
故817-279-913能被15整除.
13.5 因式分解(2)
1.3a4b2与-12a3b5的公因式是_________.
2.把下列多项式进行因式分解
(1)9x2-6xy+3x; (2)-10x2y-5xy2+15xy; (3)a(m-n)-b(n-m).
3.因式分解:
(1)16-
4.下列由左边到右边的变形,属于因式分解的是( )
A.(x+2)(x-2)=x2-4 B.x2-2x+1=x(x-2)+1
C.a2-b2=(a+b)(a-b) D.ma+mb+na+nb=m(a+b)+n(a+b)
5.因式分解:
(1)3mx2+6mxy+3my2; (2)x4-18x2y2+81y4;
(3)a4-16; (4)4m2-3n(4m-3n).
6.因式分解:
(1)(x+y)2-14(x+y)+49; (2)x(x-y)-y(y-x);(3)4m2-3n(4m-3n).
7.用另一种方法解案例1中第(2)题.
8.分解因式:
(1)4a2-b2+6a-3b; (2)x2-y2-z2-2yz.
9.已知:a-b=3,b+c=-5,求代数式ac-bc+a2-ab的值.
参考答案
1.3a3b2
2.(1)原式=3x(3x-2y+1);
(2)原式=-(10x2y+5xy2-15xy)=-5xy(2x+y-3);
(3)原式=a(m-n)+b(m-n)=(m-n)(a+b).
点拨:(1)题公因式是3x,注意第3项提出3x后,不要丢掉此项,括号内的多项式中写1;(2)题公因式是-5xy,当多项式第一项是负数时,一般提出“-”号使括号内的第一项为正数,在提出“-”号时,注意括号内的各项都变号.
3.(1)16-
(2)(a+b)2-1=[(a+b)+1][(a+b)-b]=(a+b+1)(a+b-1);
(3)a2-6a+9=a2-2·a·3+32=(a-3)2;
(4)
点拨:如果多项式完全符合公式形式则直接套用公式,若不是,则要先化成符合公式的形式,再套用公式.(1)(2)符合平方差公式的形式,(3)(4)符合完全平方公式的形式.
4.C 点拨:这是一道概念型试题,其思路是根据因式分解的定义来判断,分解因式的最后结果应是几个整式积的形式,只有C是,故选C.
5.(1)3mx2+6mxy+3my2=3m(x2+2xy+y2)=3m(x+y)2;
(2)x4-18x2y2+81y4=(x2)2-2·x2·9x2+(9y2)2
=(x2-9y2)2=[x2-(3y)2] 2
=[(x+3y)(x-3y)]
=(x+3y)2(x-3y)2;
(3)a416=(a2)2-42=(a2+4)(a2-4)=(a2+4)(a+2)(a-2);
(4)4m2-3n(4m-3n)=4m2-12mn+9n2=(2m)2-2·2m·3n+(3n)2=(2m-3n)2.
点拨:因式分解时,要进行到每一个多项式因式都不能分解为止.(1)先提公因式3m,然后用完全平方公式分解;(2)把x4作(x2)2,81y4作(9y2)2,然后运用完全平方公式.
6.(1)(x+y)2-14(x+y)+49=(x+y)2-2·(x+y)·7+72=(x+y-7)2;
(2)x(x-y)-y(y-x)=x(x-y)+y(x-y)=(x-y)(x+y);
(3)4m2-3n(4m-3n)=4m2-12mn+9n2=(2m)2-2·2m·3n+(3n)2
=(2m-3n)2.
7.x(x-y)+y(y-x)=x2-xy+y2-xy=x2-2xy+y2=(x-y)2.
8.解:(1)原式=(4a2-b2)+(6a-3b)=(2a+b)(2a-b)+3(2a-b)=(2a-b)(2a+b+3);
(2)原式=x2-(y2+2yz+z2)=x2-(y+z)2=(x+y+z)(x-y-z).
9.∵a-b=3,b+c=-5,
∴a+c=-2,∴ac-bc+a2-ab=c(a-b)+a(a-b)=(a-b)(c+a)=3×(-2)=-6.
因式分解方法研究系列
三、十字相乘法
1、因式分解以下各式:
1、
2、因式分解以下各式:
1、
3、
2、因式分解以下各式:
1、
3、挑战自我:
1、
数学当堂练习(1) 姓名
计算 (1) (-2a)2 (3ab2-5ab3) (2)x(x2-1)+2x2(x+1)-3x(2x-5)
(3)3(m+n) (m+n) 4+3(-m-n) 3(m+n) 2
数学当堂练习(2) 姓名
计算 (1)(x-y) 3÷(y-x) 2=
(2) 3a2·(2a2-9a+3)-4a(2a-1) (3)5xy[4xy-6(
(4)(2x-3)(x+4) (5)(3x+y)(x一2y)
数学当堂练习(3) 姓名
计算(1) (3x-5)(2x+3) (2) 5x(x-2)-(x-2)(x+4)
解不等式1-(2y+1)(y-2)>y 2-(3y-1)(y+3)-11
数学当堂练习(4) 姓名
计算 (1) (1-xy)(-1-xy) (2)(a+2)(a-2)(a2+4)
(3) (x+y)(x-y)-(x-2y)(x+2y) (4) 6
数学当堂练习(5) 姓名
计算 (1) (2x-1) 2- (2x+1) 2 (2) (2x-1) 2(2x+1) 2
(3) (2x) 2- 3(2x+1) 2 (4) ( 2x+ y – 3) 2
(5)(m – 2n + 3)(m+2n +3)
数学当堂练习(6) 姓名
计算 (1) (1+x+y)(1- x –y) (2) (3x- 2y +1) 2
(3)已知 (x+y) 2=6 (x- y) 2=8 求 (1) ( x+y ) 2 (2) xy 值
(4)(x- 2)(x 2+2x+4) (5) x(x- 1) 2- (x 2 –x +1)(x+1)
数学当堂练习(7) 姓名
计算 (1) (-2m- 1) 2 (2) (3x-2y+1) 2
(3) (3s-2t)(9s2 +6st+4t2) (4) -21a2b3c÷7a2b2
(5) (28a4b2c-a2b3+14a2b2) ÷(-7a2b) (6)(x2y -
数学当堂练习(8) 姓名
一. 计算 (1) (16x3-8x2 +4x) ÷(-2x) (2) (x2x3) 3÷(-
二 。因式分解 (1) 2x+4x (2) 5(a-2) – x(2-x)
(3) -12m2n+3mn2
18.1 勾股定理
1. 在△ABC中,∠B=90°,∠A、∠B、∠C对边分别为a、b、c,则a、b、c的关系是( )
A.c2=a2+b2 B.a2=(b+c)(b-c ) C.a2=c2-b2 D.b=a+c
知识点:勾股定理
知识点的描述:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,要正确的理解勾股定理的条件和结论,要明确斜边和直角边在定理中的区别。
答案:B
详细解答:在△ABC中,∠B=90°,∠B的对边b是斜边,所以b2=a2+c2。a2=(b +c)(b-c )可变形为b2=a2+c2,所以选B
1. 下列说法正确的是( )
A.若 a、b、c是△ABC的三边,则a2+b2=c2;
B.若 a、b、c是Rt△ABC的三边,则a2+b2=c2;
C.若 a、b、c是Rt△ABC的三边,,则a2+b2=c2;
D.若 a、b、c是Rt△ABC的三边,,则c2-b2=a2。
答案:D
详细解答:A是错的,缺少直角条件;
B也是错的,不明确哪一边是斜边,无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方;
C也是错的,既然,那么a边才是斜边,应该是a2=c2+b2
D才是正确的,,那么c2=a2+b2,即c2-b2=a2.
2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为58cm,宽为46cm,则这台电视机的尺寸(即电视机屏幕的对角线长)是 ( )
A. 9英寸(23cm) B. 21英寸(54cm) C. 29英寸(74cm) D.34英寸(87cm)
知识点:勾股定理的应用
知识点的描述:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的一般方法是:把这条线段放在一个直角三角形中,作为三角形的边来求。
答案:C
详细解答:
如答图,四边形ABCD表示彩电屏幕,其长为58cm,即BC=58cm;宽为46cm,即AB=46cm。
在直角三角形ABC中,BC=58cm,AB=46cm,那么AC2=BC2+AB2=572+462=5365,所以AC=74cm,选C。
2.两只小鼹鼠在地下挖洞,一只朝前方挖,每分钟挖8cm,另一只朝左挖,每分钟挖6cm,10分钟之后两只小鼹鼠相距( )
A. 50cm B. 80cm C. 100cm D. 140cm
答案:C
详细解答:
如答图,一只小鼹鼠从B挖到C,BC=8cm×10=80cm,
另一只小鼹鼠从B挖到A,BA=6cm×10=60cm,
由题意可知两个方向互相垂直,
所以AC2=AB2+BC2=602+802=10000,所以AC=100 cm
3.已知一个三角形三个内角的比是1:2:1,则它的三条边的比是( )
A.1:1:
知识点:等腰直角三角形、含30°角的直角三角形
知识点的描述:要求知道等腰直角三角形、含30°角的直角三角形的三边的比的来历,最好能记住三边之比。
答案:A
详细解答:
三角形三个内角的比是1:2:1,可以知道三个角分别为45°、90°、 45°,如答图,假设AB=1,那么BC=1,AC2=AB2+BC2=1+1=2,所以AC=
3.已知△ABC中,∠A=
A.1:1:
答案:B
详细解答:△ABC中,∠A=
假设BC=1,那么AC=2,根据勾股定理得AB2=AC2-BC2=4-1=3,所以AB=
4.直角三角形中,斜边的平方等于两直角边乘积的2倍,这个三角形的最小锐角为( )
(A)15° (B)30° (C)45° (D)不能确定
知识点:勾股定理在数学中的应用
知识点的描述:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。
答案:C
详细解答:由勾股定理得AC2=BC2+AB2,又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍,即AC2=2AB×BC,所以BC2+AB2=2AB×BC,得(BC-AB)2=0,所以BC=AB,所以三角形ABC是等腰直角三角形,最小锐角为45°。
4.如图所示,Rt△ABC中,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,那么PP′长为( )
(A)4 (B)5 (C)6 (D)
答案:D
详细解答:由题意“将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合”知,△ABP≌△ACP′,
所以∠CAP′=∠BAP,AP′=AP,又因为∠BAC=90°,所以∠PAP′=90°,AP′=AP=3,
在直角三角形APP′中,PP′2= AP′2+AP2=32+32=18,所以PP′=
5.如图,数轴上的点A所表示的数为x,则x的值为( )
A.
知识点:认识长度为无理数的线段
知识点的描述:在直角三角形中利用勾股定理,可以作出长度为无理数的线段
答案:B
详细解答:在Rt△BCD中,CB=BD=1,那么CD2=CB2+BD2=2,所以CD=
5. 如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为1,则网格上的三角形ABC中,边长为无理数的边数是( )
A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
答案:C
详细解答:在Rt△ABD中,AD=5,BD=1,那么AB2=AD2+BD2=26,AB=
在Rt△BCE中,BE=3,CE=2,那么BC2=BE2+CE2=13,BC=
在Rt△ACF中,AF=4,CF=3,那么AC2=AF2+CF2=25,AC=5
所以边长为无理数的边是:AB 和BC
A.5 B.25 C.
知识点:两解问题
知识点的描述:在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。
答案:D
详细解答:如果两直角边长分别为3和4,那么第三边就是斜边,其长度为5;如果4是斜边,3是直角边,那么另一条直角边为
6.△ABC中,若AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长是( )
A.42 B.32 C.42或32 D.37或33
答案:C
详细解答:若高AD在△ABC内部,如图,
在Rt△ABD中,AB=15,AD=12,那么BD2=AB2-AD2=81,BD=9
在Rt△ACD中,AC=13,AD=12,那么CD2=AC2-AD2=25,CD=5
所以BC=BD+CD=9+5=14,这时周长为15+13+14=42
若高AD在△ABC外部,如图,
在Rt△ABD中,AB=15,AD=12,那么BD2=AB2-AD2=81,BD=9
在Rt△ACD中,AC=13,AD=12,那么CD2=AC2-AD2=25,CD=5
所以BC=BD-CD=9-5=4,这时周长为15+13+4=32
所以选C.
7.如图,有两棵树,一棵高8m,另一棵高2 m,两树相距8 m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢,至少飞行( )
(A)6 m (B)8 m (C)10 m (D)18 m
知识点:构建直角三角形、勾股定理、实际问题
知识点的描述:在解决实际问题时,常常要构建直角三角形,构成勾股定理的模型,应用勾股定理解决实际问题
答案:C
详细解答:把实际问题转化为数学问题,如图,AB表示高8m的树,CD表示高2 m的树,小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为AD,过D点作AB的垂线,构成直角三角形AED。
在直角三角形AED中,DE=BC=8 m,AE=AB-EB=AB-CD=6m,从而AD2=AE2+DE2=62+82=100,所以AB=10 m。
7.一根高9米的旗杆在离地4米高处折断,折断处仍相连,此时在3.9米远处玩耍的身高为1米的小明是否有危险 ( )
A.没有危险 B.有危险 C.可能有危险 D.无法判断
答案:B
详细解答:把实际问题转化为数学问题,如答图,
AB代表原旗杆的位置,AF表示折段的旗杆,CD表示小明,如果AD小于等于AF,就有危险,反之就没有危险。过D点作AB的垂线,构成直角三角形AED。
在直角三角形AED中,DE=BC=3.9,AE=AB-EB=AB-CD=3,从而AD2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。
由题意知AF=5,所以AF2=25,显然AD小于AF,有危险。
A.10 m B.11 m C.12 m D.15 m
知识点:方程的思想、勾股定理的实际应用问题
知识点的描述:在解决几何中的有关计算问题时,经常要用到代数中的方程,要形成用方程解决几何问题的思想意识。
答案:C
详细解答:设AD=x米,则AB为(10+x)米,AC为(15-x)米,BC为5米,
∴(x+10)2+52=(15-x)2,解得x=2,∴10+x=12(米)
所以树高12 m 。
8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为( ).
A. 2m B. 2.5m C. 2.25m D. 3m
答案:A
详细解答:画出如图所示的示意图,AB是竖直的竹竿,CB是拉向岸边的竹竿,CD是水面,
由题意知:CD=1.5 m,AD=0.5 m,假设河水的深度BD为x m,那么竹竿的高就是(x+0.5)m,所以CB=(x+0.5)m,直角三角形BDC中应用勾股定理得(x+0.5)2=x2+1.52,解得x=2,所以河水的深度为2m
9.已知:如图,△ABC中,BC=4,∠A=45°,∠B=60°,那么AC=( )
(A)
知识点:转化的数学思想、勾股定理
知识点的描述:在解决有关求线段长度问题时,常通过添加辅助线,把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题,利用勾股定理解决问题。
答案:A (2
分析:由于本题中的△ABC不是直角三角形,所以根据题设只能直接求得∠ACB=75°,添置AB边上的高这条辅助线,就可以得到直角三角形,在直角三角形中就可以求得一些线段的长度
详细解答:作AB边的高CD,如图,
在Rt△BDC中,∠B=60°,那么∠BCD=90°-60°=30°,BC=4,
那么BD=2,利用勾股定理可求出CD=
在Rt△ADC中,∠A=45°,那么∠ACD=90°-45°=45°,所以AD=CD=
那么利用勾股定理得AC2=AD2+CD2=24,所以AC=
小结:可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。请你思考本题还可以作其它辅助线吗?为什么?(注意利用特殊角)
9.已知:如图,∠B=∠D=90°,∠A=60°,AB=4,CD=2。四边形ABCD的面积为( )。
(A)20 (B)
(C)
答案:C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简,做到2
分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结AC,或延长AB、DC交于F,或延长AD、BC交于E,根据本题给定的角应选后两种,进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。不妨几种方法都尝试一下,你会有很多收获的。
详细解答:延长AD、BC交于E。
∵∠A=∠60°,∠B=90°,∴∠E=30°。
∴AE=2AB=8,CE=2CD=4,
∴BE2=AE2-AB2=82-42=48,BE=
∵DE2= CE2-CD2=42-22=12,∴DE=
∴S四边形ABCD=S△ABE-S△CDE=
小结:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件,一般情况下是不能把特殊角分割的。
10. 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,则CD等于( )
A.
知识点:“折叠”问题、勾股定理的应用
知识点的描述:“折叠”问题是数学中常见问题之一.解决问题的关键就是一定要搞清是怎样折叠的,尤其是原来的线段和角折叠到哪去了,理清已知和未知,找到能联系二者的直角三角形,利用勾股定理问题就迎刃而解。
答案:B
详细解答:假设CD=xcm,那么DE=CD=xcm,BD=(8-x)cm。
因为直角三角形纸片的两直角边AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边AB=10cm,
又AE=AC=6cm,所以EB=AB-AE=4(cm),
在Rt△EBD中,EB=4cm,DE=xcm,BD=(8-x)cm ,那么(8-x)2=x2+42,
解得x=3
所以CD=
10.如下图,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边AD,点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,AD=10cm,求EC的长( ).
(A)3cm (B)4cm
(C)5cm (D)6cm
答案:A
详细解答:
由折叠的过程可知.△AFE≌△ADE、AD=AF,DE=EF,在Rt△ABF中,AB=8cm,AF=10cm,BF2=AF2-AB2=102-82=62,BF=6,FC=BC-BF=10-6=4cm,如果设CE=xcm,DE=(8-x)cm,所以EF=(8-x)cm.
在Rt△CEF中,EF2=CF2+CE2,用这个关系建立方程:(8-x)2=42+x2
解得x=3,即CE的长为3cm.
18.2 勾股定理的逆定理
A.2
C.
知识点:转化的数学思想、勾股定理
知识点的描述:在解决有关求线段长度问题时,常通过添加辅助线,把一般三角形的问题转化为直角三角形的问题,利用勾股定理解决问题。勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
答案:C
详细解答:作BC边上的高AD,
△ ABC中,∠BAC=75°,∠C=45°,那么∠B=60°,从而∠BAD=30°
在Rt△ABD中,∠BAD=30°,AB=2,所以BD=1,AD=
在Rt△ACD中,∠C=45°,AD=
利用勾股定理可得AC=
1.已知:在Rt△ABC中,∠C=90°,CD⊥AB于D,∠A=60°,CD=
A.2 B.3
C.4 D.3
答案:C
分析:欲求AB,可由AB=BD+AD,分别在两个三角形中利用勾股定理和特殊角,求出BD和AD。或欲求AB,可由
详细解答:在Rt△ACD中,∠A=60°,那么∠ACD=30°,又已知CD=
在Rt△ACB中,∠A=60°,那么∠B=30°。
在Rt△BCD中,∠B=30°,又已知CD=
因此AB=BD+CD=3+1=4,
小结:本题是“双垂图”的计算题,“双垂图”是中考重要的考点,所以要求对图形及性质掌握非常熟练,能够灵活应用。目前“双垂图”需要掌握的知识点有:3个直角三角形,三个勾股定理及推导式BC2-BD2=AC2-AD2,两对相等锐角,四对互余角,及30°或45°特殊角的特殊性质等。
2.已知a,b,c为△ABC三边,且满足a2c2-b2c2=a4-b4,则它的形状为
A.直角三角形 B.等腰三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形
知识点:综合代数变形和勾股定理的逆定理判断三角形的形状
知识点的描述:这类问题常常用到代数中的配方、因式分解,再结合几何中的有关定理不难作出判断。
答案:D
详细解答:∵ a2c2-b2c2=a4-b4,∴左右两边因式分解得
∴
即
2.若△ABC的三边a,b,c满足(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0,则△ABC是( )
(A)等腰三角形 (B)直角三角形
(C)等腰直角三角形 (D)等腰三角形或直角三角形
答案:C
详细解答:∵(c-b)2+︱a2-b2-c2︱=0,∴c-b =0且a2-b2-c2=0 即
所以三角形的形状为等腰直角三角形。
3.五根小木棒,其长度分别为7,15,20,24,25,现将他们摆成两个直角三角形,其中正确的是( )
知识点:勾股定理的逆定理
知识点的描述:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,最大的边就是斜边。
满足a2 +b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.最好能记住常见的几组勾股数:3、4、5;5、12、13;6、8、10;7、24、25;8、15、17等。
答案:C
详细解答:A图和B图中右边的三角形三边不存在某两边的平方和等于第三边的平方,不是直角三角形。D图中两个的三角形三边都不存在某两边的平方和等于第三边的平方,都不是直角三角形。只有C图中的两个三角形都是直角三角形。
3.在下列说法中是错误的( )
A.在△ABC中,
B.在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=3:4:5,则△ABC为直角三角形.
C.在△ABC中,若
D.在△ABC中,若a:b:c=5:12:13,则△ABC为直角三角形.
答案:B
详细解答: 在△ABC中,若∠A:∠B:∠C=3:4:5,那么最大角∠C=
不是直角三角形。
△ABC三条边的比为a:b:c=5:12:13,则可设a=5k,b=12k,c=13k,a2+b2=25k2+144k2=169k2,c2=(13k)2=169k2,所以,a2+b2=c2,△ABC是直角三角形.
4. 下列各命题的逆命题不成立的是( )
A.两直线平行,同旁内角互补; B.若两个数的绝对值相等,则这两个数也相等
C.对顶角相等 D.如果a2=b2,那么a=b
知识点:互逆命题
知识点的描述:如果一个命题的题设是另一个命题的结论,而结论又是另一个命题的题设,那么这样的两个命题是互逆命题。一个命题和它的逆命题的真假没有什么联系。
答案:C
详细解答:“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”,显然这是一个假命题。
4.下列命题的逆命题成立的是( )
(A)若a=b,则
(C)同角(或等角)的余角相等 (D)若a=0,则ab=0
答案:C
详细解答:(A)的逆命题是:若
(B)的逆命题是:周长相等的三角形全等。不一定成立,两个三角形周长相等,形状不一定就相同。
(D)的逆命题是:若ab=0,则a=0。不一定成立,也可能是b=0,而a≠0。
5.如图,一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行,另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行,
离开港口2小时后,两船相距( )
A.25海里 B.30海里
C.35海里 D.40海里
知识点:勾股定理的实际应用题
知识点的描述:求距离或某个长度是很常见的实际应用题,这种问题一般转化为几何中的求线段长度问题,通常是在现有的直角三角形或构建的直角三角形中,利用勾股定理求出线段的长度,从而解决实际问题。
答案:D
详细解答:画出答题图,由题意知,三角形ABC是直角三角形,
AC=32海里,AB=24海里,
根据勾股定理得BC2=AC2+AB2=322+242=1600,
所以BC=40(海里)
5.有一长、宽、高分别为5cm、4cm、3cm的木箱,在它里面放入一根细木条(木条的粗细、形变忽略不计)要求木条不能露出木箱.请你算一算,能放入的细木条的最大长度是( )
A.
答案:C
详细解答:画出如图所示的木箱图,图中AD的长度就是能放入的细木条的最大长度,由题意知CB=5cm、CA=4cm、BD=3cm
在Rt△ACB中,AC和BC 是直角边,AB是斜边,AB2=AC2+CB2=41,
在Rt△ADB中,AB和BD 是直角边,AD是斜边,AD2=AB2+BD2
=41+9=50,所以AD=
6.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是( )
A.直角三角形 B.锐角三角形
C.钝角三角形 D.以上答案都不对
知识点:网格问题,勾股定理和逆定理
知识点的描述:网格问题是常见的问题,解决这种问题要充分的利用正方形网格。
勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形
答案:A
详细解答:把△ABC的各边分别放在不同的直角三角形中,给出必须的点的名称,画出图形。
在Rt△BCD中, CD=1,DB=8,那么CB2=CD2+BD2=65,
在Rt△ACE中, AE=2,CE=3,那么AC2=AE2+CE2=13,
在Rt△ABF中, AF=6,BF=4,那么AB2=AF2+BF2=52,
所以,在△ABC中, AC2+AB2=13+52=65,
又CB2=65,所以,AC2+AB2= CB2,根据勾股定理的逆定理可知三角形ABC是直角三角形
6.如图,图中的小方格都是边长为1的正方形网格,则图中四边形的面积是 ( )
A.25 B.12.5
C. 9 D.8.5
答案:B
详细解答:S四边形EFGH =SABCD -S△DEF -S△CFG -S△BGH -S△AEH
=5×5-
7.如图,已知四边形ABCD中,∠B=90°,AB=3,BC=4,CD=12,AD=13,求得四边形ABCD的面积.( )
A. 36 B. 25
C. 24 D. 30
知识点:勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
答案:A
分析:根据题目所给数据特征,联想勾股数,连接AC,可实现四边形向三角形转化,并运用勾股定理的逆定理可判定△ACD是直角三角形.
详细解答:连接AC,在Rt△ABC中,
AC2=AB2+BC2=32+42=25, ∴ AC=5.
在△ACD中,∵ AC2+CD2=25+122=169,
又∵ AD2=132=169,
∴ AC2+CD2=AD2,∴ ∠ACD=90°.
故S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
=
7.在四边形ABCD中,AB=2,BC=
A. 10 B.
C.
答案:B
详细解答:连接AC,在Rt△ABC中,AB=2,,BC=
所以
所以AC=3
又因为
所以
所以∠CAD=90°
所以
8.已知:如图,四边形ABCD,AD∥BC,AB=4,BC=6,CD=5,AD=3。
那么四边形ABCD的面积是( )。
A. 24 B. 36
C. 18 D. 20
知识点:勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
答案:C
详细解答:如图,作DE∥AB,连结BD,可以证明△ABD≌△EDB(ASA);
所以DE=AB=4,BE=AD=3,EC=BC-EB=6-3=3;
在△DEC中,EC=3;DE=4,CD=5,
3、4、5勾股数,所以△DEC为直角三角形,DE⊥BC;
利用梯形面积公式可得:四边形ABCD的面积是
8.已知,△ABC中,AB中,AB=17cm,BC=16cm,BC边上的中线AD=15cm,求AC得( )。
A. 15 B. 16 C. 17 D. 18
答案:C
详细解答:如图,∵AD是BC边上的中线,BC=16cm
∴BD=8cm
∴在△ABD中:AB=17cm,AD=15cm,BD=8cm
则有:
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC,即∠ADC=90°
在Rt△ADC中,∠ADC=90°,AD=15cm,CD=8cm
根据勾股定理得:AC=
9.已知:如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,且CD2=AD·BD,△ABC是( )。
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 不等边三角形 D. 等边三角形
知识点:勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
答案:A
详细解答:∵AC2=AD2+CD2,BC2=CD2+BD2
∴AC2+BC2=AD2+2CD2+BD2
又∵CD2=AD·BD
∴AC2+BC2=AD2+2AD·BD+BD2
=(AD+BD)2=AB2
所以△ABC是直角三角形。
9.如图,在△ABC中,∠ACB=90º,AC=BC,P是△ABC内的一点,且PB=1,PC=2,PA=3,求得∠BPC的度数( ).
C. 135° D. 120°
答案:C
详细解答:如答图,
将△APC绕点C旋转,使CA与CB重合,即△APC≌△BEC,
∴△PCE为等腰Rt△,∴∠CPE=45°,PE2=PC2+CE2=8.
又∵PB2=1,BE2=9,
∴PE2+ PB2= BE2,则∠BPE=90°,
∴∠BPC=135°.
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 不等边三角形 D. 等边三角形
知识点:勾股定理和逆定理在数学问题中的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
勾股定理的逆定理:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形。
答案:A
详细解答: 设DF=a,则DE=AE=2a,CF=3a,AB=BC=4a。
在Rt△ABE中,BE2=AB2+AE2=(4a)2+(2a)2=20a2
在Rt△DEF中,EF2=DE2+DF2=(2a)2+a2=5a2
在Rt△BCF中,BF2=BC2+CF2=(4a)2+(3a)2=25a2
所以BE2+EF2=BF2
所以∠BEF=90°
所以△BEF为直角三角形。
10.如图,△ABC中,D是AB的中点,AC=12,BC=5,CD=
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
答案:A
详细解答:
延长CD到点E,使得DE=CD,连接AE
∵CD=
∴CE=13
∵在△ADE和△BDC中
∴△ADE≌△BDC
∴AE=BC=5
在△AEC中:AE=5,AC=12,CE=13
即
∵∠EAB=∠CBA
∴∠CAB+∠CBA=∠CAB+∠EAB=90°
∴∠ACB=90°
∴△ACB为直角三角形
第十八章 勾股定理
1. 三角形的三边为a、b、c,由下列条件不能判断它是直角三角形的是( )
A.a:b:c=8∶16∶17 B. a2-b2=c2 C.a2=(b+c)(b-c) D. a=26 b=10 c=24
知识点:勾股定理的逆定理
知识点的描述:在三角形中,如果某两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形,最大的边就是斜边。
满足a2+b2=c2的三个正整数,称为勾股数.勾股数扩大相同倍数后,仍为勾股数.最好能记住常见的几组勾股数:3、4、5;5、12、13;6、8、10;7、24、25;8、15、17等。
答案:A
详细解答: A.a:b:c=8∶16∶17,可设a=8k,b=16k,c=17k,
a2+b2=64k2+256k2=320k2,c2=(17k)2=289k2,
所以,a2+b2≠c2,这个三角形不是直角三角形.
B. a2-b2=c2 即a2 =c2+b2,这个三角形是直角三角形.
C.a2=(b+c)(b-c) 即a2 =b2-c2,所以a2 +c2= b2,这个三角形是直角三角形.
D. a=26,b=10,c=24,那么c2+b2=102+242=676,a2 =262=676,所以a2=c2+b2,这个三角形是直角三角形.
1.有一木工师傅测量了一个等腰三角形的腰、底边和高的长,但他把这三个数据与其它的数据弄混了,请你帮他找出来,是( ).
(A)13、12、12 (B)12、12、8 (C)13、10、12 (D)5、8、4
答案:C
详细解答:如图,假设等腰三角形ABC中,AB=AC=13,中线AD=12,
由于CB=10,那么CD=5,△ACD的三边是一组勾股数,所以AD是高。
其他三组数据的△ACD的三边都不是一组勾股数,AD不可能是高。
2、△ABC中,AB=AC=10,BC边上的高AD=6,则BC的长为( )
A、8 B、10
C、12 D、16
知识点:勾股定理在数学上的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段的长度的一般方法是:把这条线段放在一个直角三角形中,利用勾股定理。因此一般要添加辅助线,构建直角三角形。
答案:D
详细解答: 在Rt△ACD中,AD=6,AC=10,那么CD2=AC2-AD2=64,CD=8.
△ABC中,AB=AC,那么BC边上的高AD平分BC,所以BC=2CD=16
2、已知平面直角坐标系中有A(1,1)和B(4,4)两点,则连结两点的线段AB的长是( )
A、3 B、
答案: B(3
详细解答:画出如图所示的示意图,构建如图所示的直角三角形,
由 A(1,1)和B(4,4)两点的坐标可以知道
AC=3, BC=3 ,所以AB2=AC2+BC2=9+9=18
因此AB=
3、王英同学从C地沿北偏东600方向走10米到B地,再从B地向正南方向走20米到D地,此时王英同学离C地的距离为( )
知识点:勾股定理在实际问题中的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。
在实际问题中经常要求距离或长度等等,解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题,求一条线段的长度的一般方法是:把这条线段放在一个直角三角形中,把这条线段作为三角形的一边,利用勾股定理来求。
答案:D(10
详细解答:根据题意画出如图所示的示意图,
由题意可知CB=10米,BD=20米,∠BCE=300,
在Rt△BCE中,CB=10米, ∠BCE=300, 那么BE=5米,
因为BC2=BE2+CE2,所以CE2=75。
在Rt△DCE中,DE=BD-BE=15米,CD2=DE2+CE2=75+225=300,
所以CD=
A. 20cm B. 50cm
C. 40cm D. 45cm
答案:C
详细解答:画出答图如下,则桶内能容下的最长的木棒为图中线段AB的长,
由题意知在Rt△ABC中,AC=24 cm,BC=32 cm,那么AB2=AC2+BC2=242+322=1600,
所以AB=40 cm
4.已知直角三角形一个锐角60°,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是( ).
A.
知识点:特殊三角形——含30°角的直角三角形。
知识点的描述: 含30°角的直角三角形是一个非常重要的图形,要记住这个三角形的角与角之间的关系,也要记住这个三角形中的边和边之间的关系,这些都是中考的重点。特别要记住三边之比1:
答案:D
详细解答:如图,直角三角形ABC中,一个锐角∠B=60°,斜边长AB为1,
那么BC=
所以周长1+
4.如图,在直角△ABC中,∠ACB=90°,∠A=15°,CD⊥AB于D,AC边的垂直平分线交AB于E,那么AE∶ED等于( )
A.1∶1 B.1∶2
C.
答案:D
详细解答:∵AC边的垂直平分线交AB于E,∴AE=CE, ∴∠ACE=∠A=15°,∴∠CED=30°,
∵ CD⊥AB于D,∠CED=30°,∴AE∶ED=CE∶ED=2∶
5.已知:在△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c。
试判断△ABC的形状( )。
A. 直角三角形 B. 等腰三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
知识点:代数思想和方法在几何中的应用,代数与几何的结合。
知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质,因此经常要结合代数的内容来解决问题,代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解是解决这些问题时用得比较多的。
答案:A
详细解答: ∵ a2+b2+c2+338=10a+24b+26c , ∴a2-10a+25+b2-24b+144+c2-26c+169=0
∴(a-5)2+(b-12)2+(c-13)2=0 ∴a=5,b=12,c=13,是一组勾股数,
利用勾股定理的逆定理判断△ABC是直角三角形。
5、△ABC的三边a,b,c满足
A、 等边三角形 B 腰底不等的等腰三角形 C 直角三角形 D 等腰直角三角形
答案:A
详细解答: ∵
∴
∴
∴
∴
∴△ABC是等边三角形
6. 一个三角形的三边的比为5:12:13,它的周长为60cm,则它的面积是( )
A.100 B.110 C.120 D. 150
知识点:对比值处理的一般方法。
知识点的描述:当已知几个比相等的时候,我们经常采用设比值为k的方法,这样往往便于应用条件,也便于计算。
答案:C
详细解答: ∵ △ABC三条边的比为a:b:c=5:12:13,则可设a=5k,b=12k,c=13k,
∵它的周长为60cm,∴5k +12k +13k =60,k=2,
∴△ABC的三边分别为a=10 cm,b=24 cm,c=26 cm,
∴a2+b2=102+242=676,c2=262=676,
∴a2+b2=c2,△ABC是直角三角形.
∴它的面积是
6.在Rt△ABC中,∠C=90°,周长为60,斜边与一条直角边之比为13∶5,则这个三角形三边长分别是( )
A.5、4、3 B.13、12、5 C.10、8、6 D.26、24、10
答案:D
详细解答: 斜边与一条直角边之比为13∶5,不妨设a=5k,c=13k,那么b=12k,又周长为60,∴5k +12k +13k =60,解得k=2,
∴△ABC的三边分别为a=10 ,b=24 ,c=26 。
7.在△ABC中,∠A=30°,AC=
A.
知识点:多解问题
知识点的描述:中考中经常用多解问题来检查学生思考问题的严密性,从而培养学生研究问题的严谨性,是学生得高分的一个难点,各市的中考题中一般都有多解问题,平常在解决问题的时候要思考再三,不要轻易的下结论,形成严谨的学习习惯和学风。
答案:C
详细解答:本题没给出图形,作△ABC的AB边的高CD,分两种情况讨论:
(1) 若高CD在△ABC的内部,如图
在Rt△ADC中,∠A=30°,AC=
在Rt△BDC中,BC=2, CD=
∴S△ABC=
(2) 若高CD在△ABC的外部,如图
在Rt△ADC中,∠A=30°,AC=
在Rt△BDC中,BC=2, CD=
则S△ABC=
∴S△ABC=
7.若等腰三角形的腰长为4,腰上的高为2,则此三角形的顶角为 ( )
A.30° B.150° B.30°或150° D.60°或120°
答案:B
详细解答:本题没给出图形,作图如下,作△ABC的AC边的高BD,分两种情况讨论:
(1) 若高BD在△ABC的内部,如图
在Rt△ABD中,AB=4,BD=2,
∴
(2) 若高CD在△ABC的外部,如图
在Rt△ABD中,AB=4,BD=2,∴
∴∠DAB=30°∴∠BAC=150°
∴三角形的顶角为 30°或150°
8.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是( )
A. 24cm2 B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2
知识点:代数思想和方法在几何中的应用,代数与几何的结合。
知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质,因此经常要结合代数的内容来解决问题,代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。
答案:A
详细解答: Rt△ABC中,∠C=90°,那么a2+b2=c2,又c=10cm,所以a2+b2=100
由已知a+b=14cm,得(a+b)2=196,即a2+b2+2ab=196,所以2ab=196-100=96,ab=48
则Rt△ABC的面积是
8.直角三角形中一直角边的长为11,另两边为自然数,则直角三角形的周长为( )
A.121 B.132 C.100 D.不能确定
答案:B
详细解答:假设另一直角边为a,斜边为c,根据勾股定理得:c2=a2+112 ,即(c+a)(c-a)=11×11=121×1
因为 c+a>c-a ,所以c+a=121,c-a=1解方程组得c=61,a=60,则直角三角形的周长为132。
9.如图,A市气象站测得台风中心在A市正东方向480千米的B处,以30 千米/时的速度向北偏西60°的BF方向移动,距台风中心300千米范围内是受台风影响的区域. A市是否会受到台风的影响?如果A市受这次台风影响,那么受台风影响的时间有多长?( )
A. 8小时 B. 10小时
C. 12小时 D. A市不会受到台风影响
知识点:勾股定理在实际问题中的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。
在实际问题中经常要求距离或长度等等,解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题,只要认真的读题,理解题目的意思,是不难找到数学模型来解决问题的。
答案:C
详细解答:过A作AC⊥BF于C,则AC=
∴A市会受到台风影响.
过A作AD=300km,交BF于点D.
∴DC=
∴该市受台风影响的时间为:
A.15 km B.16 km
C.17 km D.18 km
答案:C
在Rt△A′DB中,A′D= AA′+AD=8+7=15(km),DB=8(km),
由勾股定理求得A′B=
10.某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园,如图所示,∠ACB=90°,AC=80米,BC=60米,若线段CD是一条小渠,且D点在边AB上,已知水渠的造价为10元/米,问D点在距A点多远处时,水渠的造价最低?最低造价是多少?( )
A.D点在距A点60米的地方,最低造价为480元
B. D点在距A点50米的地方,最低造价为300元
C. D点在距A点64米的地方,最低造价为480元
D. D点在距A点64米的地方,最低造价为400元
知识点:勾股定理在实际问题中的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。
在实际问题中经常要求距离或长度等等,解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题,只要认真的读题,理解题目的意思,是不难找到数学模型来解决问题的。
答案:C
详细解答: ∠ACB=90°,AC=80米,BC=60米,
那么根据勾股定理得AB=100米
当CD为斜边上的高时,CD最短,从而水渠造价最价,
作AB边的高CD
∵CD·AB=AC·BC ∴CD=
∴AD=
∴D点在距A点64米的地方,水渠的造价最低,其最低造价为480元.
10.某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮每平方米售价
A.
答案:C
详细解答:作BC边上的高AD,∵∠ABC=150° ∴∠ABD=30°,在Rt△ABD中,AB=20m,
∴AD=10 m,
∴三角形空地的面积为
=150m2
∵ 这种草皮每平方米
11.如图,在四边形ABCD中,AB=8,BC=6,∠B=90°,AD=CD=
A.47 B.49
C.53 D.60
知识点:转化的数学思想、勾股定理
知识点的描述:在解决有关求面积问题时,常通过添加辅助线,把一般图形的问题通过分割等手段转化为规则图形的问题。目前用得最多的图形就是直角三角形。
答案: B
详细解答:连结AC,在Rt△ABC中,AB=8,BC=6,∠B=90°
∴AC=
在△ADC中,AD=CD=
∴AD2+DC2=(
又∵AC2=102=100
∴AD2+DC2=AC2
所以∠ADC=90°
∴S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=
小结:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为三角形面积之和。
11.在△ABC中,AB=AC=10,BD是AC边上的高,DC=2,则BD等于( )
A、4 B、6 C、8 D、
答案:B
详细解答: ∵ AC=10,DC=2 , ∴AD=8
在Rt△ABD中,AB=10,AD=8, ∴BD=6
12.如图所示,△ABC中,CD⊥AB于D,若AD=2BD,AC=5,BC=4,则BD的长为( ).
A.
C.1 D.
知识点:方程的思想
知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时,往往要利用方程来解决问题。
答案:B
详细解答: ∵ AD=2BD, ∴可设BD=k,AD=2k
Rt△ADC中,∠ADC=90°,那么AC2-AD2=DC2;
Rt△BDC中,∠BDC=90°,那么BC2-BD2=DC2,
∴AC2-AD2= BC2-BD2, 得方程52-(2k)2= 42-k2
解得k=
12.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为( )
A.56 B.48 C.40 D.32
答案:B
详细解答:如图,假设BD=DC=x,那么AB=AC=16-x,
在Rt△ADC中, AD2+DC2=AC2
∵ AD=8,CD=x,AC=16-x
∴82+x2=(16-x) 2
解得x=6
三角形的面积为
13.一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程(
A.20cm; B.10cm;
C.14cm; D.无法确定.
知识点:勾股定理在实际问题中的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。
在实际问题中经常要求距离或长度等等,解决这种问题就要把实际问题转化为数学中的求线段长度问题,求一条线段的长度的一般方法是:把这条线段放在一个直角三角形中,利用勾股定理。因此解决问题的关键是找到合适的直角三角形。
答案:B
详细解答:将圆柱沿过点A的母线展开,画出如图所示的圆柱的侧面展开图,
蚂蚁从点A爬到点B处吃食,要爬行的最短路径就是图中的线段AB,
由题意知在Rt△ABC中,AC=8,BC=
∴AB=
13.甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系,已知对话机的有效距离为15千米.早晨8:00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以5千米/时的速度向北行进,上午10:00时甲、乙二人还能保持联系吗?( )
A.能 B.不能
答案:A
分析:要求甲、乙两人的距离,就要确定甲、乙两人在平面的位置关系,由于甲往东、乙往北,所以甲所走的路线与乙所走的路线互相垂直,然后求出甲、乙走的路程,利用勾股定理,即可求得甲、乙两人的距离.
走了12千米,即OA=12(千米).
乙从上午9:00到上午10:00一共走了1小时,
走了5千米,即OB=5(千米).
在Rt△OAB中,AB2=122十52=169,∴AB=13(千米),
因此,上午10:00时,甲、乙两人相距13千米.
∵15>13,
∴甲、乙两人还能保持联系.
A、
知识点:勾股定理在数学上的应用
知识点的描述:勾股定理的内容:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。在数学中经常用于求线段的长度。求一条线段长度的一般方法是:把这条线段放在一个直角三角形中,利用勾股定理。因此一般要添加辅助线,构建直角三角形。
答案:C(
详细解答: ∵P1与P关于OA对称, ∴OP1=OP=2 ,∠AOP=∠AOP1
∵P2与P关于OB对称,∴OP2=OP=2 ,∠BOP=∠BOP2
∵∠AOB=450, 即∠AOP+∠BOP=450,
∴∠P1OP2=2(∠AOP+∠BOP )=2×450=900,
∴在Rt△P1OP2中, P1P22= OP12+ OP22=8
∴P1P2=
14、如图,AC是圆的直径,∠B为直角,AB=6,BC=8,则阴影面积为( )。
(A)100π-24 (B)25π-24
(C)100π-48 (D)25π-48
答案:B
详细解答: ∠B为直角,AB=6,BC=8,那么AC=10
则阴影面积为π×52-
15.在直角三角形中,自两锐角所引的两条中线长分别为5和2
A.10 B.4
知识点:代数思想和方法在几何中的应用,代数与几何的结合。
知识点的描述: 勾股定理是用代数的方式来描述一个图形的性质,因此经常要结合代数的内容来解决问题,代数中的配方的思想、乘法公式、因式分解在解决这些问题时用得较多。
答案:D(
详细解答:如图所示,不妨设中线AD=2
假设AC=b,BC=a
在Rt△ADC中,AC2+DC2=AD2,即b2+(
化简为4b2+a2=160,
在Rt△BEC中,BC2+EC2=BE2,即a2+(
化简为4a2+b2=100,
两式相加得4b2+a2+4a2+b2=160+100,即5(a2+ b2)=260,
所以a2+b2=52,根据勾股定理得AB=
15、CD是直角△ABC斜边AB上的高,若AB=1,AC:BC=4:1,则CD的长为( )。
A、
答案:A
详细解答:假设CB=k,那么AC=4k,直角△ABC中求得AB=
又已知AB=1,所以k=
AB·CD=AC·BC得CD=
16、如图,△ABC中,∠C=900,AC=3,BC=4,AB的垂直平分线交AB于E,交BC于D,则BD的长为( )
A、
C、
知识点:方程的思想和折叠问题
知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时,往往要利用方程来解决问题。折叠问题中用得最多,还要特别注意利用相等的线段。
答案:A
详细解答:连结AD, △ABC中,∠C=900,AC=3,BC=4,那么AB=5
∵AB的垂直平分线交AB于E,∴AD=BD
假设BD为x,那么AD=x,DC=4-x,
△ADC中,∠C=900,AC=3,DC=4-x,AD=x,∴32+(4-x)2=x2,解得x=
16.已知,如图长方形ABCD中,
C.
答案:A
详细解答:假设AE=x,那么EB=ED=9-x
在Rt△ABE中,32+x 2=(9-x)2,解得x=4
△ABE的面积为
17.如图,已知等腰△ABC的底边BC=20cm,D是腰AB上一点,且CD=16cm,BD=12cm,求△ABC的周长.( )
A.
知识点:方程的思想
知识点的描述:在找不到一个能直接解决问题的直角三角形时,往往要利用方程来解决问题。
详细解答:由BD2+DC2=122+162=202=BC2得CD⊥AB
又AC=AB=BD+AD=12+AD,
在Rt△ADC中,AC2=AD2+DC2,
即(12+AD)2=AD2+162,解得AD=
故 △ABC的周长为2AB+BC=
17.如图,南北向MN为我国领域,即MN以西为我国领海,以东为公海.上午9时50分,我反走私A艇发现正东方向有一走私艇C以13海里/时的速度偷偷向我领海开来,便立即通知正在MN线上巡逻的我国反走私艇B.已知A、C两艇的距离是13海里,A、B两艇的距离是5海里;反走私艇测得离C艇的距离是12海里.若走私艇C的速度不变,最早会在什么时间进入我国领海?( )
A. 10时41分 B. 10时30分 C. 10时51分 D. 11时
答案:A
分析:为减小思考问题的“跨度”,可将原问题分解成下述“子问题”:(1)△ABC是什么类型的三角形?(2)走私艇C进入我领海的最近距离是多少?(3)走私艇C最早会在什么时间进入?这样问题就可迎刃而解.
详细解答:设MN交AC于E,则∠BEC=900.
又AB2+BC2=52+122=169=132=AC2,
∴△ABC是直角三角形,∠ABC=900.
则CE2+BE2=144,(13-CE)2+BE2=25,得26CE=288,
∴CE=
9时50分+51分=10时41分.
答:走私艇最早在10时41分进入我国领海.
18.如图,P是等边三角形ABC内的一点,连结PA,PB,PC,以BP为边作∠PBQ=60°,且BQ=BP,连结CQ.若PA∶PB∶PC=3∶4∶5,连结PQ,试判断△PQC的形状( )
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
知识点:综合利用勾股定理以及逆定理、数学思想、常用方法
知识点的描述:一个综合题往往要用到很多数学知识和方法,设比值为k、方程的思想、勾股定理以及逆定理,还有代数中的一些变形技巧都可能用到,要综合利用。
答案:A
详细解答:在△ABP与△CBQ中,
∵AB=CB,BP=BQ,∠ABC=∠PBQ=60°
∴∠ABP=∠ABC-∠PBC=∠PBQ-∠PBC=∠CBQ
∴△ABP≌△CBQ ∴AP=CQ
由PA∶PB∶PC=3∶4∶5,可设PA=3a,PB=4a,PC=5a
连结PQ,在△PBQ中,由于PB=BQ=4a,且∠PBQ=60°
∴△PBQ为等边三角形 ∴PQ=4a
于是在△PQC中,
∴△PQC是直角三角形
18.如图,长方形ABCD中,AD=8cm,CD=4cm.点P是边AD上的一个点,PA=PC,
Q是AB边上的一个点,
A. 直角三角形 B. 等腰三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角三角形
答案:A
详细解答:设AP=x,则PD=8-x,PC=x,
在Rt△APQ中, QP2=AP2+AQ2=52+
在Rt△CBQ中,CQ2=BQ2+BC2=
∵QP2+PC2=
所以△PCQ是直角三角形
15.1.1图形的平移
◆随堂检测
1、下列几种运动属于平移的是( )
(1)水平运输带上的砖的运动;(2)啤酒生产线上的啤酒通过压盖机前后的运动;(3)升降机上下做机械运动;(4)足球场上足球的运动
A.一种 B.两种 C.三种 D.四种
2、下列图形中,由原图平移得到的图形是( )
原图 A. B. C. D.
3、在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( )
A. B. C . D.
4、如图所示,△ABC平移后成为△EFB,下列说法正确的个数有:( )
①线段AC的对应线段是BE;②点B的对应点是点C;③点B的对应点是点F;④平移的距离是线段CF的长度。
A1个 B2个 C3个 D4个
5、卷帘门上有A、B两点,(B点在A点下方)当A点向上移1m,那么B点向 移动了
m。
6、如图,经过平移圆心点O平移到了点
O
◆ 典例分析
◆课下作业
●拓展提高
1、火车在笔直的铁路上开动,火车头以100千米/时的速度前进了半小时,则车尾走的路程是( )
A、100千米 B、50千米 C、200千米 D、无法计算
2、将线段AB平移1cm,得到的线段是A/B/,则A到点A/的距离是 。
3、如图所示,在等边三角形ABC中,D、E、F分别是边BC、AC、AB的中点,图中有两个小等边三角形,其中△FBD可以看成是由△AFE平移而得到,则平移的方向是 ,平移的距离为 。
4、△DEF是把△ABC水平向左平移3.5cm得到,你能作出△ABC吗?
D
E F
5、如图所示,长方形ABCD,对角线AC,BD相交于O,DE∥AC,CE∥BD,那么△EDC可以看作由 平移得到的,平移的距离是线段 的长度。
●体验中考
1、(2009年广东广州)将图1所示的图案通过平移后可以得到的图案是( )
2、(2009年青海)如图,请借助直尺按要求画图:
(1)平移方格纸中左下角的图形,使点
(2)将点
15.1.2平移的特征
◆随堂检测
1、在下面的六幅图案中,平移(1)可得到(2)、(3)、(4)、(5)、(6)中的哪个图案?
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
2、在下列说法中,①四边形在平移过程中,对应线段一定相等;②四边形在平移过程中,对应线段一定平行;③四边形在平移过程中,周长不变;④四边形在平移过程中,面积不变,、其中正确的是:( )
A、①②③ B、①②③④ C、②③④ D、①③④
3、平移不改变图形的 和 ,只改变图形的
4、小明把自己的左手手印和右手手印按在同一张白纸上,左手手印 (填能或不能)通过平移与右手手印完全重合。
5、将线段AB向右平移3cm得到线段CD,如果AB=5 cm,则CD= cm.
6、将∠ABC向上平移10cm得到∠EFG,如果∠ABC=52°,则∠EFG= °,BF= cm.
◆典例分析
如图,已知Rt△ABC中,∠C=90°,BC=4,AC=4,现将△ABC沿CB方向平移到△A’B’C’的位置。
(1)若平移距离为3,求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积;
(2)若平移距离为x( ),求△ABC与△A’B’C’的重叠部分的面积y,并写出y与x的关系式。
●拓展提高
1、下图中,
A .
2、如图,△ABC沿着点A到A1的方向平移到△A1B1C1的位置,如果AB=5cm,BC=4cm,∠A=60O∠B=50O,则∠C1= ,B1C1= .
3、 将面积为30cm2的等腰直角三角形ABC向下平移20cm,得到△MNP,则△MNP是 三角形,它的面积是 cm2.
4、如图,在长方形ABCD中,对角线AC与BD相交于点 O ,画出
5、如图,由三角形ABC平移得到的三角形有几个?
6、△ABC经过平移后得到△DEF,(1)指出平移的方向和距离;
(2)写出图中相等的线段和平行的线段(包括虚线);
(3)写出图中相等的角。
●体验中考
1、(2009年,广东)将线段AB平移1cm,得到线段
2.(2009年福建宁德)在如图所示的四个汽车标志图案中,能用平移变换来分析其形成过程的图案是( )
A. B. C . D.
15.2.1图形的旋转
◆随堂检测
1、如右图,甲图案可以看作是乙图案通过怎样变换而得到?( )
B.先按逆时针旋转90°再作轴对称图
C.先平移再作轴对称;
D.先平移再作逆时针旋转90°
2.将字母“T”按顺时针方向旋转90°后的图形是( )
3、现象中属于旋转的有( )个
①地下水位逐年下降;②传送带的移动;③方向盘的转动;④水龙头开关的转动;
⑤钟摆的运动;⑥荡秋千运动.
A.2 B.3 C.4 D.5
4、如图,线段MO绕点O旋转900得到线段NO,在这个旋转过程中,旋转中心是 ,旋转角是 ,它等于 度.
(第4题) (第5题)
5、如图,长方形ABCD是长方形EFGD绕旋转中心________沿_______旋转______度得到的,对角线AC与EG的关系是________,理由是_________.
◆典例分析
如图,将△ABC绕点A旋转得到△AEF,指出图中的旋转中心、旋转角度及对应线段、对应角。
分析:旋转角是连结对应点与旋转中心所形成的角,而对应线段是对应点所在的线段,对应角则由对应点所形成的角,因此关键是要分清楚是谁的对应点。
◆课下作业
●拓展提高
1、如图1,在正方形ABCD中有一点P,把⊿ABP绕点B旋转到⊿CQB,
连接PQ,则⊿PBQ的形状是( )
(A)等边三角形 (B)等腰三角形
(C)直角三角形 (D)等腰直角三角形
(第1题) (第2题) (第3题)
A.∠BOF B.∠AOD C.∠COE D.∠ AOF
3、如图,
4、图中的两个等腰三角形是全等的,且∠AOD=45°,OB=4㎝,OA=
1㎝.怎样将右边的三角形变为左边的三角形?
5、如图,△ABC是等边三角形,D是BC上一点,△ABD经过旋转后到达△ACE的位置。
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)如果M是AB的中点,那么经过上述旋转后,点M转到了什么位置?
●体验中考
1、(2009年,陕西)如图,∠AOB=90°,∠B=30°,△A’OB’可以看作是由△AOB绕点O顺时针旋转
A、30° B、45° C、60° D、90°
(第1题) (第2题)
2、如图,把△ABC绕点C顺时针旋转35°,得到△A′B′C,A′B′交AC于点D,如果∠A′DC=90°,那么∠A的度数是多少?
15.2.2旋转的特征
◆随堂检测
1、你玩过万花筒吗?它是由三块等宽等长的玻璃片围成的。下图是看到的万花筒的一个图形,图中所有的小三角形均是全等的等边三角形,其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为中心( )
2、如图,在△ABC中,∠B=900,∠C=300,AB=1,将△ABC绕顶点A旋转1800,点C落在C1处,则C C1的长为( )
D.
3、如图所示,图形①经过 变化成图形②,图形②经过 变化成图形③。
图① 图② 图③
4、如图,△ABC绕点C旋转后得到△CDE,则∠A= ,∠B= ,AB= ,
AC=
5、如图,△ABC中,∠ACB=1200,将它绕着点C旋转300 后得到△DCE,则∠ACE=
∠A+∠E=
6、如图,△ABC绕O点旋转后,顶点A的对应点为点A′,试确定顶点B、C对应点的位置,以及旋转后的三角形.
◆典例分析
如图所示,△ACD和△BCE都是等边三角形,△DCB经过旋转后得到△ACE。
⑴指出旋转中心是哪一点?
⑵旋转了多少度?
⑶图中还存在是旋转关系的三角形吗?
◆课下作业
●拓展提高
1、下列关于图形旋转特征的说法不正确的是( )
A.对应线段相等 B.对应角相等
C.图形的形状与大小都保持不变 D.旋转中心平移了一定的距离
2、如图所示,在四边形ABCD中,AB=AD, ∠BAD=∠BCD=
A.15 B.20 C.25 D.无法确定
3、如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转300到正方形A1B1C1D1,图中阴影部分的面积为( )
A.
4、将等边△ABC绕着点A按某个方向旋转400后得到△ADE(点B与点D是对应点),则∠BAE的度数为_____.
5、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=35°,以直角顶点C为旋转中心,将△ABC旋转到△A′B′C的位置,其中A′、B′分别是A、B的对应点,且点B在斜边A′B′上,直角边CA′交AB于D,求∠BDC的度数.
6、如图,点P为正方形ABCD内一点,且PA=1,PB=2,PC=3.试求∠APB的度数.(提示:可将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△BP′C,连PP′,从而求出∠PP′C的度数).
●体验中考
1、(2009年,泸州)如图l,P是正△ABC内的一点,若将△BCP绕点B旋转到△BAP’,则∠PBP’的度数是( )
A、45° B、60° C、90° D、120°
2、(2008年,长沙)如图所示,等边△ABC中,D是AB边上的动点(不与A、B重合),以CD为一边,向上作等边△EDC。连结AE。
求证:⑴AE∥BC;
⑵图中是否存在旋转关系的三角形,若有,请说出其旋转中心与旋转角,若没有,请说明理由。
15.2.3旋转对称图形
◆随堂检测
1、如图,过圆心O和圆上一点A连一条曲线,将曲线OA绕O点按同一方向连续旋转三次,每次旋转900,把圆分成四部分,则 ( )
A.这四部分不一定相等 B.这四部分相等
(第1题) (第2题)
2、如图是一个旋转对称图形,要使它旋转后与自身重合,至少应将它绕中心逆时针方向旋转的度数为( )
A.30° B.60° C.120° D.180°
3、如图3所示的图形是旋转对称图形,它是绕它的旋转中心旋转_______度后与自身重合的?
(第3题) (第4题) (第5题)
4、如图所示的五角星绕中心点旋转一定的角度后能与自身完全重合,则其旋转的角度至少为
5、如上图案可以看做是哪个基本图形通过几次旋转得到的?每次旋转了多少度?旋转中心是哪个?
◆典例分析
我们在生活中可以看到不少图形绕着某一点旋转一定的角度后重合,如下图所示,这四个图形都是旋转对称图形。
⑴ ⑵ ⑶ ⑷
请大家观察上面的图形,然后说一说它们在旋转多少度后能与自身重合?
◆课下作业
●拓展提高
1、如下四个图案,它们绕中心旋转一定的度数后都能和原来的图形相互重合,其中有一个图案与其余图案旋转的度数不同的是( )
(A) (B) (C) (D)
2、如图所示图形旋转一定角度能与自身重合,则旋转的角度可能是 ( )
A.30° B.60° C.90° D.120°
3、如图所示的图案是由两个边长相等的正方形组成的,把这个图案旋转一定角度后可以与原来的图案重合,则旋转的角度为( )
A.45°或90° B.90°或180°
C.180°或270° D.n·45°(1≤n≤8,且n为正整数)
4、
5、如图,是某设计师设计的方桌布图案的一部分,请你运用旋转的方法,将该图案绕原点O顺时针依次旋转90°、180°、270°,并画出图形,你来试一试吧!但是涂阴影时,要注意利用旋转变换的特点,不要涂错了位置,否则你将得不到理想的效果,并且还要扣分的噢!
6、已知如图,正方形ABCD中,E为CD边上一点,F为BC边上一点,CE=CF:
(1)
●体验中考
1、(2009年,天津)如图,△ABC的直角三角形,BC是斜边,将△ABP绕点A逆时针旋转后,能与△ACP′重合,如果AP=3,求PP′的长.
15.3中心对称
◆随堂检测
1、如图,不是中心对称图形的是 ( )
2、给出下列图形:(1)角;(2)直角三角形;(3)等腰三角形;(4)平行四边形;(5)圆。其中为中心对称图形的是( )
A.(4)(5) B.(2)(3)(5) C.(3)(4) D.(1)(3)(4)(5)
3、在数字0至9中,哪些是中心对称图形 。
4、世界上因为有了圆的图案,万物才显得富有生机,以下来自现实生活的图形中都有圆,它们看上去是那么美丽与和谐,这正是因为圆具有轴对称和中心对称性。请问以下三个图形中是轴对称图形的有 ,是中心对称图形的有 。
一石激起千层浪 方向盘 铜钱
5、如图,已知ΔABC和ΔDEF关于点O成中心对称,则AO= ,BO= ,CO= ,点A关于对称中心O的对称点是 ,点B关于对称中心O的对称点是 ,点C关于对称中心O的对称点是 .
6、若ΔABC和Δ关于点O成中心对称,那么ΔABC绕点O旋转 后能与Δ重合.
◆典例分析
下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的有( )
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
◆课下作业
●拓展提高
1、单词NAME的四个字母中,是中心对称图形的是( )
A.N B.A C.M D.E
2、下列说法错误的是 ( )
A.中心对称图形一定是旋转对称图形
B.轴对称图形不一定是中心对称图形
C.在成中心对称的两个图形中,连接对称点的线段都被对称中心平分。
D.旋转对称图形一定是中心对称图形。
3、关于中心对称的两个图形,对应线段的关系是( ).
(A) 平行 (B) 相等 (C) 平行且相等 (D) 相等且平行或在同一直线上
4、.已知点O是 ABCD对角线的交点,则图中关于点O对称的三角形有 对,它们分别是 .
6、如图,在正方形网格上有一个△ABC.
(1)作出△ABC关于点O的中心对称图形△A′B′C′(不写作法,但要标出字母);
(2)若网格上的最小正方形边长为1,求出△ABC的面积.
●体验中考
1、(2009年甘肃白银)下列图形中,既是轴对称图形,又是中心对称图形的是( )
A.等腰梯形 B.平行四边形 C.正三角形 D.矩形
2、(2009年山东济宁)下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
15.4图形的全等
◆随堂检测
1、下列命题正确的是:( )
A.形状相同的两个图形叫做全等形
B.大小相同的两个多边形叫做全等多边形
C.“△ABC≌△DEF“说明点A与点D是对应点,点B与点F是对应点,点C与点E是对应点
D.全等三角形是能够完全重合的两个三角形
2、判断如图(1)(2)(3)所示的两个图形是不是全等图形。
3、如图,如果所画的两个三角形是全等的,那么可以写成________≌________.
4、下列8个图形中的全等图形:
5.如图所示,△ABC≌△AEC,∠B=30°,∠ACB=85°,求出△AEC各内角的度数.
◆典例分析
已知△ABC≌△DEF,∠A=30°,∠B=50°,BF=2,求∠DFE的度数和EC的长.
◆课下作业
●拓展提高
1、下列说法正确的是:( )
A.全等图形的面积一定相等
B.面积相等的两个多边形一定全等
C.轴对称的两图形一定全等,全等的两个图形一定关于某条直线对称
D.面积相等的两个圆不一定全等
2、如图,
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3、(2009年广东省清远市)如图,若
4.如图所示,△ABC≌△A′B′C′,∠C=25°,BC=6cm,AC=4cm,你能得出△A′B′C′中哪些角的大小,哪些边的长度?
5、如图所示,△ABD≌△ACE,且E在BD上,CE交AB于F,若∠CAB=20O,求∠DEF的度数。
6、如图,△ABC与△DCB全等,写出它们的对应边和对应角,你认为图中还有没有全等的三角形?如果有,请你把它们写出来。
●体验中考
1.(2009年海南省)已知图中的两个三角形全等,则∠
A.72° B.60° C.58° D.50°
A.20° B.30°
C.35° D.40°
16.1.1 平行四边形的性质
◆随堂检测
1、 ABCD的周长为40cm, ABC的周长为25cm,则AC得长为( )
A.5cm B.6cm C.15cm D.16cm
2、平行四边形不具有的性质是( )
A.对角线互相垂直 B.对边平行且相等
C.对角线互相平分 D.对角相等
3、如图,在 ABCD 中,∠ACB=∠B=50°,则∠ACD = .
4、在 ABCD中,∠A的余角与∠B的和为190°,则∠BAD= .
5、在 ABCD中,AD边与BC边的长度之和恰好是边AB与CD边长之和的2倍,又知AB=3,求该平行四边形的周长.
◆典例分析
如图,在 ABCD中,∠A+∠C =160°,求∠A、∠B、∠C、∠D的度数.
◆课下作业
●拓展提高
1、如图所示,在 ABCD中,EF∥AD,GH∥AB,EF交GH于点O,则该图中的平行四边形的个数为( )
A.7 B.8 C.9 D.11
2、如图,在 ABCD中,AE⊥BC于E,AF⊥DC交DC的延长线于点F,且∠EAF=60°,则∠B等于 ( )
A.60° B.50° C.70° D.65°
3、如图,在 ABCD中,∠B=110°,延长AD至F,延长CD至E,连接EF,
∠E+∠F等于 ( )
A.110° B.30° C.50° D.70°
4、如图,等腰三角形ABC的一腰AB=4cm,过底边BC上的任一点D作两腰的平行线,分别交两腰与E、F,则平行四边形AEDF的周长是 .
5、如图,在 ABCD中,AB=4cm,AD=7cm,∠ABC的平分线交AD于点E,交CD的延长线于点F,则DF= .
6、如图,四边形ABCD是平行四边形,已知AD=8,AB=10,BD=6,求BC、CD及此平行四边形的面积.
●体验中考
1、(2009年山东省东营市)如图,在□ABCD中,已知AD=8㎝, AB=6㎝, DE平分∠ADC交BC边于点E,则BE等于( )
A.2cm B.4cm C.6cm D.8cm
2、(2009年黑龙江省牡丹江市)如图,ABCD中,、分别为、边上的点,要使需添加一个条件: .
参考答案:
◆随堂检测
1、A.平行四边形的周长为40cm,所以AB+BC=20cm,所以AC=25-20=5cm.
2、A.平行四边形的性质.
3、80° 根据三角形内角和为180°可得.
4、40° 平行四边形的性质.
5、18 在 ABCD中,CD=AB=3,AD+BC=(3+3)×2=12,AB+BC+CD+DA=3+3+2=18.
◆课下作业
●拓展提高
1、C. 平行四边形的性质.
2、A.在 ABCD中,BC∥AD,AE⊥BC,∴AE⊥AD,∵∠EAF=60°,∴∠FAD=30°,
在Rt△ADF中,∠D=90°-∠FAD=60°=∠B.
3、D.由∠B=110°可得∠ADC=∠B=110°,∴∠EDF=∠ADC=110°,∴∠E+∠F=70°.
4、8cm 在 AEDF中,DE∥AF,∠BDE=∠C,∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠B=∠BDE,
∴BE=DE,同理FD=FC,∴AE+ED+DF+AF=AB+AC=8cm.
5、3 易求AE=AB=4,DE=DF=3.
6、解:在 ABCD中,BC=AD=8,CD=AB=10,∵
∴AD⊥BD,
●体验中考
1、A. 平行四边形的性质.
2、
16.1.2 平行四边形的性质
◆随堂检测
1、已知O是 ABCD的对角线交点,AC=10cm,BD=18cm,AD=12cm,则△BOC的周长
是_______.
2、如图,已知O是 ABCD的对角线的交点,AC=38mm,BD=24mm,AD=14mm,
那么 OBC的周长等于 mm.
3、若一个平行四边形的一条边长为10cm,一条对角线长为16cm,则另一条对角线长a的取值范围为 .
4、如图,AF∥BG,AB∥CD,CE⊥BG,FG⊥BG,则下列说法错误的是( )
A.AB=CD B.点C到直线BG的距离就是线段CE的长
C.EC=FG D.直线AF与直线BG的距离就是线段CD的长
◆典例分析
如图所示,已知 ABCD,AB=8cm,BC=10cm,∠B=30°,求 ABCD的面积.
◆课下作业
●拓展提高
1、已知三条线段的长分别为22cm,16cm,18cm,以其中的两条线段为平行四边形的对角线,剩下的一条为平行四边形的一边,可以画出 个平行四边形.
2、已知 ABCD的对角线AC,BD交于点O,△AOB的面积为2,那么 ABCD的面积
为_______.
3、在 ABCD中,AC=10,BD=6,则边长AB,AD的可能取值为( ).
A. AB=4,AD=4 B. AB=4,AD=7
C. AB=9,AD=2 D. AB=6,AD=2
4、平行四边形一边长为12cm,那么它的两条对角线的长度可能是( ).
A.8cm和14cm B.10cm和14cm
C.18cm和20cm D.10cm和34cm
5、平行四边形ABCD的周长32, 5AB=3BC,则对角线AC的取值范围为( )
A. 6
6、已知平行四边形ABCD的周长为28cm,对角线AC、BD相交于点O,且△OAB的周长比
△OBC的周长大4cm,求平行四边形的边长.
●体验中考
1、(2009年广西省桂林市、百色市)如图, ABCD中,AC、BD为对角线,BC=6,
BC边上的高为4,则阴影部分的面积为( ).
A.3 B.6 C.12 D.24
2、(2009年内蒙古呼和浩特)如图,在ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分线交BC于点E,交DC的延长线于点F,BG⊥AE,垂足为G,BG=
A.8 B.9.5 C.10 D.11.5
参考答案:
◆随堂检测
1、26cm 平行四边形对角线相互平分.
2、45 由AC=38mm,BD=24mm,可得OC=19mm,OB=12mm,又AD=14mm,所以BC=AD=14mm.
3、4cm﹤a﹤36cm
4、D. 平行线及平行四边形的性质可得.
◆课下作业
●拓展提高
1、2 平行四边形的性质.
2、8 根据三角形等底同高面积相等,可得平行四边形的面积为△AOB的面积的4倍.
3、B. 根据三角形任意两边之和大于第三边可得.
4、C. 同上.
5、D. 平行四边形对角线的性质.
6、解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AO=OC,OB=OD,
∵△ABC的周长比△OAB的周长小4cm,∴(AD+AO+OD)-(AO+OB+AB)=AD-AB=4cm,
又∵ ABCD的周长为28cm,AD+AB=14cm,故而求得AD=9cm,AB=5cm,
∴这个平行四边形各边的长为9cm,5cm,9cm,5cm.
●体验中考
1、C. 平行四边形有关的计算.
2、B. 平行四边形的性质.
16.2.1 矩形的性质
◆随堂检测
1、矩形是轴对称图形,它有______条对称轴.
2、在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,若对角线AC=10cm,边BC=8cm,则△ABO的周长为________.
3、如图1,周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形,则矩形ABCD的面积为( ).
A.98 B.196 C.280 D.284
(1) (2) (3)
4、如图2,根据实际需要,要在矩形实验田里修一条公路(小路任何地方水平宽度都相等),则剩余实验田的面积为________.
5、如图3,在矩形ABCD中,M是BC的中点,且MA⊥MD.若矩形ABCD的周长为48cm,则矩形ABCD的面积为_______cm2.
6、如图,在矩形ABCD中,已知AB=8cm,BC=10cm,折叠矩形的一边AD,使点D落在BC边的F处,折痕为AE,求CE的长.
◆典例分析
如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,DE平分∠ADC交BC于E,∠BDE=15°,求∠COD与∠COE的度数.
◆课下作业
●拓展提高
1、矩形的两条对角线的夹角为60°,一条对角线与短边的和为12,则对角线长为 ,短边长为 .
2、在矩形ABCD中,AC与BD相交于点O,作AE⊥BD,垂足为E.ED=3EB,则∠AOB得度数为( )
A.30° B.45° C.60° D.90°
3、矩形中,对角线把矩形的一个直角分成1︰2两部分,则矩形对角线所夹的锐角为
A.30° B.45° C.60° D.不确定
4、如图所示,矩形ABCD中,AB=8,BC=6,E、F是AC的三等分点,则△BEF的面积为( )
A.8 B.6 C.4 D.5
5、如图,在矩形ABCD中,AB=4cm,BC=10cm,AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,则四边形AEFD的面积为( )
A.28
6、在矩形ABCD中,∠BAD的平分线交BC于点E,O为对角线交点,且∠CAE=15°.
(1)△AOB为等边三角形,说明理由;
(2)求∠AOE的度数.
● 体验中考
1、(2009年山东济南)如图,矩形
A.1.6 B.2.5 C.3 D.3.4
2、(2009年湖北仙桃)将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠,AE、EF为折痕,∠BAE=30°,AB=
A.
参考答案:
◆随堂检测
1、2 矩形的对角线有2条.
2、16cm 矩形的对角线互相平分.
3、C. 可设小矩形的长为x,宽为y,则2(x+y+2x)=68,又2x=5y,联立得x=10,y=4,
所以小矩形的面积为40,故大矩形的面积为40×7=280.
4、a(m-b)
5、108
6、解:由题可知,设CE=x,则DE=8-x,所以EF=8-x,因为AD=10,AB=8,
所以BF=6,所以FC=10-6=4,根据勾股定理得,x=3.
◆课下作业
●拓展提高
1、8,4 矩形的对角线性质.
2、C. 通过ED=3EB,AE⊥BD,可得△ABO为等边三角形,可得∠AOB=60°.
3、C. 同上.
4、A. 因为E、F是AC的三等分点,根据同底等高面积相等可得△BEF的面积为△ABC的三分之一.
5、C. 因为AB=4cm,AE平分∠BAD,DF平分∠ADC,所以四边形AEFD的面积为矩形的面积减去边长为4的正方形的面积.
6、证明:(1)∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=45°,又∵∠CAE=15°,∴∠BAC=60°,
又∵AO=BO,∴△AOB为等边三角形.
(2)∵△AOB为等边三角形,∴BO=AB,又∵AB=BE,∴BO=BE,∴∠BOE=∠BEO,
又∵∠OBE=90°-60°=30°, ∴∠BOE=∠BEO=75°,
∴∠AOE=∠AOB+∠BOE=135°.
● 体验中考
1、D. 矩形的性质和勾股定理可得.
2、C. 矩形的性质.
16.2.2 菱形的性质
◆随堂检测
1、在菱形ABCD中,AC=6,DB=8,则菱形的面积为 .
2、菱形的周长是9.6,两个邻角之比为1:2,则这个菱形较短的对角线长为 .
3、菱形的一边与两条对角线所构成的两角比5:4,则它的各内角度数为 .
4、如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边BC和CD上,且△AEF是等边三角形,AE=AB,则 ∠BAD的度数为 .
5、如图,菱形花坛DEFG的边长为6, ∠E=60度,其中由两个正六边形组成的图形的部分种花,则种花部分的周长(粗线部分)为 .
6、如图,在菱形ABCD中,AB=10,OA=8,OB=6. 求这个菱形的周长与两条对角线的长度.
◆典例分析
如图,在菱形ABCD中,∠ACD=30°,求∠BDA、∠ABC的度数.
◆课下作业
●拓展提高
1、菱形的两个邻角的比是1︰2,两条对角线长分别为a、b,且a>b,则菱形的周长为( )
A.4a B.4b C.2a-b D.4a+4b
2、如图所示,在菱形ABCD中,∠BAD=80°,AB的垂直平分线交对角线AC于点F,E为垂足,连结DF,则∠CDF等于( )
A.80° B.70° C.65° D.60°
3、如图,点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点,点M、N分别是AB、BC边上的中点,MP+NP的最小值是( )
A.2 B.1 C.
4、在菱形ABCD中,对角线BD上一点O到AD的距离为2,则点O到另一边CD的距离
为 .
5、已知菱形的周长为40cm,两条对角线之比3︰4,则面积为 .
6、如图,在菱形ABCD中,AE⊥BC,E为垂足.且BE=CE,AB=2.求:
(1)∠BAD的度数;
(2)对角线AC的长及菱形ABCD的周长.
●体验中考
1、(2009年河北)如图,在菱形ABCD中,AB = 5,∠BCD = 120°,则对角线AC等于( )
A.20 B.15 C.10 D.5
2、(2009年广西河池)已知菱形的边长和一条对角线的长均为
A.
3、(2009年江西)如图,一活动菱形衣架中,菱形的边长均为
参考答案:
◆随堂检测
1、24. 菱形的面积等于对角线乘积的2倍.
2、2.4. 由题可得较短对角线和菱形两边组成等边三角形,所以较短对角线为9.6÷4=2.4.
3、50° 40° 90°
4、100° 设∠BAE=x,则∠DAF=x,所以∠BAD=2x+60°,所以2∠B=360°-2(2x+60°),
又2∠B=180°-x,联立得x=20°.
5、20
6、周长为4×10=40,两条对角线的长度分别为16,12.
◆课下作业
●拓展提高
1、B. 菱形的对角线的性质.
2、D. 连接FB,易证AF=FB,∠FAB=∠FBA=
将△CDF沿CF对折,△CDF≌△CBF,所以∠CDF=∠CBF=60°.
3、B. 作N关于AC的对称点N′,连接MN′,易证N′为CD中点,MN′=AD=1.
4、2
5、96
6、解:(1)∵AE⊥BC,且BE=CE,∴△ABC为等边三角形 ,∠B=∠D=60°,
∴∠BAD=∠BCD=120°.
(2)AC=AB=2,周长为:4×2=8.
●体验中考
1、D. 菱形和等边三角形的性质.
2、D. 菱形的对角线的性质.
3、120 菱形的对角线的性质.
16.2.3 正方形的性质
◆随堂检测
1、正方形具有而菱形不一定具有的性质是( )
A.内角和为360° B.对角线相等
C.对角线平分内角 D.对角线互相垂直平分
2、正方形具有而矩形不一定具有的性质是( )
A.四个角都相等 B.四条边相等
C.对角线相等 D.对角线互相平分
3、下列结论中,正确的有( )
①正方形具有平行四边形的一切性质;②正方形具有矩形的一切性质;
③正方形具有菱形的一切性质; ④正方形有两条对称轴;
⑤正方形有四条对称轴.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4、一个正方形和一个等腰三角形有相同的周长,等腰三角形的边长分别为5.6cm和13.2cm,则这个正方形的面积为( )
A.24
5、如图,E为正方形ABCD内的一点,且△BCE为等边三角形,则∠ABE= ,
∠AEB= ,∠AED= .
6、已知,如图,在正方形ABCD中,点E在对角线AC上,求证:BE=DE.
◆典例分析
如图,正方形ABCD中,点E是BC延长线上一点,且AC=CE,AE交CD于点F,求∠E和∠AFC的度数.
.
◆课下作业
●拓展提高
1、已知正方形ABCD中,AC=20cm,M点在AD上,MN⊥AC,MP⊥BD.则MN+MP的值为( )
A.5cm B.10 cm C.20 cm D.8 cm
2、一个三角形与一个正方形的面积相等,三角形的底边长是正方形边长的4倍,则三角形的高与正方形的边长的比为( )
A.1︰4 B.1︰2 C.1︰1 D. 2︰1
3、如图,已知正方形ABCD中,E为对角线AC上的一点,且AE=AB.
则∠EBC的度数是 .
4、如图,P是正方形ABCD内一点,如果△ABP为等边三角形,DP的延长线交BC于C,
那么∠PCD= .
●体验中考
1、(2009年湖北孝感)如图,正方形ABCD内有两条相交线段MN、EF,M、N、E、F分别在边AB、CD、AD、BC上.小明认为:若MN = EF,则MN⊥EF;小亮认为: 若MN⊥EF,则MN = EF.你认为( )
A.仅小明对 B.仅小亮对 C.两人都对 D.两人都不对
2、(2009年北京市)如图,正方形纸片ABCD的边长为1,M、N分别是AD、BC边上的点,将纸片的一角沿过点B的直线折叠,使A落在MN上,落点记为A′,折痕交AD于点E,若M、N分别是AD、BC边的中点,则A′N= ; 若M、N分别是AD、BC边的上距DC最近的n等分点(
参考答案:
◆随堂检测
1、B. 正方形的性质.
2、B. 正方形的性质.
3、D. 正方形的性质.
4、D. 由等腰三角形的边长分别为5.6cm和13.2cm,可以求得等腰三角形的周长为32cm,故而正方形的周长为8cm,所以正方形的面积为64
5、30° 75° 150°.由正方形的性质和等边三角形的性质可得.
6、证明:证△BEC与△DEC完全重合.
◆课下作业
●拓展提高
1、B. 令AC与BD相交于点O,由MN⊥AC,MP⊥BD,可得四边形MNOP为矩形,所以MP=NO,又因为∠DAC=45°,所以MN=AN,所以MN+MP=
2、B. 设三角形的高为x,正方形的a,则由面积相等可得,
3、22.5°. 由AE=AB可得,△ABE为等腰三角形,又因为∠EAB=45°,
所以∠ABE=∠AEB=77.5°,所以∠EBC=22.5°.
4、15°. 易求∠ABP=60°,∠PBC=30°,∠BPC=∠BCP=75°,所以∠PCD=15°.
5、解:因为正方形ABCD的面积等于9
所以三角形EFC的面积为
所以阴影部分的面积为4+9-3-
●体验中考
1、C. 正方形的性质.
2、
16.3 梯形的性质
◆随堂检测
1、等腰梯形的两腰 ,同一底上的两个角 ,对角线 .
2、如图,在梯形ABCD中,∠B=50°,∠C=80°,则∠D= ,∠A .
3、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4,AB=2,BC=6,∠B=60°,则CD= .
4、一等腰梯形的上底为9cm,下底为17cm,一底角为60°,则它的腰长为( )
A.8cm B.9cm C.8.5cm D.7cm
5、等腰梯形的上底与高相等,下底是上底的3倍,则其底角的度数为( )
A.30°或150° B.45°或135° C.60°或120° D.75°或105°
6、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,DE∥BC交AB于点E,梯形周长为30cm,CD=5cm,
则△ADE的周长为多少?
◆典例分析
如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AD=4cm,BC=10cm,∠DBC=45°,求梯形ABCD的面积.
◆课下作业
●拓展提高
1、下列说法正确的是( )
A.对角线相等的四边形是等腰梯形
B.一组对边平行,另一组对边相等的四边形是等腰梯形
C.两组对角分别互补的四边形是等腰梯形
D.等腰梯形是轴对称图形,经过两底中点的直线是它的对称轴
2、如果等腰梯形的两底之差等于一腰长,那么这个等腰梯形的锐角是( )
A.60° B.30° C.45° D.15°
3、等腰梯形有一角为120°,腰长为3cm,一底边长为4cm,则另一底边长为( )
A.3cm B.2cm C.1cm D. 1cm或7cm
4、已知直角梯形的一条腰长为5cm,这腰与底边成30°角,则这梯形另一腰的长为( )
A.10cm B.5cm C.2.5cm D. 7.5cm
5、如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠D=2∠B,AD=a,CD=b,则AB等于( )
A.
C.
6、如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=50°,∠C=80°,试说明CD=BC-AD.
7、(2009年重庆市江津区)如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC,∠B=60º.
(1)求证:AB⊥AC;
(2)若DC=6,求梯形ABCD的面积 .
参考答案:
◆随堂检测
1、相等 相等 相等.
2、100° 130°.根据梯形上底和下底平行,可知∠A与∠B互补,∠C与∠D互补.
3、2. 过A点作AE∥CD交BC于E,可得四边形AECD为平行四边形,所以∠AEC=∠C.
又因为∠B=60°,所以∠AEC=∠B=60°,所以CD=AB=2.
4、A. 可以等腰梯形上底的一顶点向下底作垂线,这样垂线和腰还有下底构成直角三角形,再根据30°的直角边等于斜边的一半即可求得.
5、B. 要分为上底较长和下底较长两种情况去考虑.
6、20cm.解:因为梯形周长为30cm,所以AB+BC+CD+DA=30cm,又因为DE∥BC,
所以四边形DEBC为平行四边形,所以EB=CD=5cm,
所以△ADE的周长为AD+AE+DE=AD+AE+BC=AB+BC+CD+DA-2CD=30-2×5=20cm.
◆课下作业
●拓展提高
1、D. 根据等腰梯形的性质可得.
2、A. 根据30°的直角边等于斜边的一半即可求得.
3、D. 要分底边长4cm为上底和下底两种情况来做.
4、C. 根据30°的直角边等于斜边的一半即可求得.
5、C. 过D作DE∥CB交AB于E,则四边形DEBC为平行四边形,所以∠DEB=∠B,
又因为∠D=2∠B,所以∠ADE=∠AED,所以AD=AE,所以AB=AD+CD=a+b.
6、解:过点D作DE∥AB交BC于E,则四边形ABED为平行四边形,AD=BE,
因为∠DEC=∠B=50°,∠C=80°,所以∠EDC=50°,所以以∠EDC=∠DEC,
所以DC=EC. 因为EC=BC-BE,所以DC=BC-AD.
●体验中考
1、C. 根据等腰梯形的性质可得.
2、证明:(1)∵AD∥BC,AB=DC ∠B=60°∴∠DCB=∠B=60°
∠DAC=∠ACB.又∵AD=DC ∴∠DAC=∠DCA ∴∠DCA=ACB=
∴∠B+∠ACB=90°∴∠BAC=90°∴AB⊥AC
(2)过点A作AE⊥BC于E ∵∠B=60°∴∠BAE=30°又∵AB=DC=6 ∴BE=3
∴
∵∠ACB=30°,AB⊥AC
∴BC=2AB=12
¥29.8
¥9.9
¥59.8