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    幂的知识点-

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    幂的运算（基础）
    【要点梳理】
    要点一、同底数幂的乘法性质
    am an am n （其中 m, n 都是正整数 ）. 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加 .
    要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项
    式、多项式 .
    （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，
    即am an ap am n p （ m, n, p都是正整数）. （ 3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数
    与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即 am n am an （ m, n 都是正整数） .
    要点二、幂的乘方法则
    （am）n amn （ 其中 m, n 都是正整数 ）. 即幂的乘方，底数不变，指数相乘 .
    要点诠释：（1）公式的推广：（（am）n）p amnp （ a 0, m, n, p均为正整数）
    （2）逆用公式：amn am n an “，根据题目的需要常常逆用幕的乘方运
    算能将某些幂变形,从而解决问题 .
    要点三、积的乘方法则



    (abn an bn (其中n是正整数.即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再
    把所得的幕相乘.
    要点诠释：(1公式的推广：(abcn an bn cn (n为正整数.
    (2逆用公式：anbn ab n逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是
    io     io 遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1
    210 1
    2     2 2 1.
    要点四、注意事项
    (1 底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式 .
    (2 同底数幕的乘法时，只有当底数相同时，指数才可以相加.指数为1,计算时不要 遗漏.
    (3 幕的乘方运算时，指数相乘，而同底数幕的乘法中是指数相加
    (4
    乘方要将每一个因式

    积的乘方运算时须注意，积的(特别是系数都要分别乘方.
    灵活地双向应用运算性质，使.
    (5
    运算更加方便、简洁
    (6 化简符号的习惯
    带有负号的幕的运算，要养成先.
    【典型例题】
    类型一、同底数幕的乘法性质



    (142 43 44 ；(2 2a3 a4 a5 a2 2a6 a ；
    (3(x yn (x yn 1 (x ym 1 (x y2n 1 (x ym 1．
    【答案与解析】
    解：(1原式 42 3 4 49 ．
    (2原式 2a3 4 a5 2 2a6 1 2a7 a7 2a7 a7 ．
    n n 1 m 1 2n 1 m 1 2n m 2n m 2n m (3原式 (x y (x y (x y (x y 2( x y ．
    【总结升华】(2(3小题都是混合运算，计算时要注意运算顺序，还要正确地运用相应法则，并要注意区别同底数幂的乘法与整式的加减法的运算法则．在第a 的指数是 1 ．在第( 3 小题中把 x y 看成一个整体．
    举一反三：
    【变式】计算：
    (135 ( 33 ( 32 ；
    (2 xp ( x2p ( x2p1 ( p 为正整数;
    ( 3 32 ( 22n ( 2 ( n 为正整数．
    【答案】
    解：(1原式 35 ( 33 32 35 33 32 35 3 2 310．
    的运算( 2小题中



    (2原式 xp x2p ( x2p1
    p 2p 2 p 1     x     x     5p 1 (3原式 25 22n ( 2 25 2n1
    26 2n 、已知2x 2 20 ,求2x的值.
    【思路点拨】同底数幕乘法的逆用：2
    22

    【答案与解析】
    解：由 2x 2 20得2x 22 20 .
    2x 5 .
    【总结升华】(1本题逆用了同底数幕的乘法法则，培养了逆向思维能力. 的乘法法则的逆运用：amn am an
    . 类型二、幕的乘方法则

    (1 (am2; (2 [( m3]4; (3 (a3 m2 .
    【思路点拨】此题是幕的乘方运算，(1题中的底数是a , (2题中的底数是底数a的指数是3 m，乘方以后的指数应是2(3 m 6 2m . 【答案与解析】
    解: (1 (am2 a2m
    .
    (2同底数幕
    m , (3题 中的

    (2 [( m3]4 ( m12 m12 .
    6 2m (3 (a3m2


    2(3 m     a 【总结升华】运用幕的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幕的乘 方与同底数幕的乘法混淆•幕的乘方法则中的底数仍可以为单个数字、 字母，也可以是单项 式或多项式•
    已知x2m
    5，求丄5 x6m 5的值. 【答案与解析】
    解: x2m -x6m 5 -(x2m3
    5     5     5 【总结升华】(1逆用幕的乘方法则：amn (amn (anm . (思维能力. 举一反三：
    【变式1】已知xa 2 , xb 3 .求x3a 2b的值.
    【答案】
    解: x3a 2b x3agx2b (xa3 g(xb2 23 32 8 9 72 .
    【变式2】已知8m 4 , 8n 5,求83m2n的值. 【答案】
    5     1 53 5 20 .
    2本题培养了学生的整体思

    想和逆向

    解：因为 83m (8m3 43 64, 82n (8n2 52 25.
    所以 83m 2n 83m 82n 64 25 1600. 类型三、积的乘方法则
    O5、指出下列各题计算是否正确，指出错误并说明原因：
    (1(ab2 ab2 ； (2(4ab3 64a'b3 ； ( 3( 3x32 9x6 .
    【答案与解析】
    解：(1错，这是积的乘方，应为：(ab2 a2b2
    . (2 对. (3 错，系数应为9,应为：(3x32 9x6
    . 【总结升华】(1应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘(2注意系数及系数符号，对系数-1不可忽略. 【典型例题】
    类型一、同底数幕的乘法性质

    方.


    (1 (b 23 (b 25 (b 2 ；
    35

    (2 (x 2y2 (2 y x3 ．

    【答案与解析】 解：(1 (b 23 (b 25 (b 2 (b 23 51 (b 29． (2 (x 2y2 (2y x3 (x 2y2 [ (x 2y3] (x 2y5．

    【总结升华】(1同底数幂相乘时，底数可以是多项式，也可以是单项式．

    (2在幂的运算中，经常用到以下变形：



    nna(n为偶数, n (b a(n为偶数
    ( a (a b
    an(n为奇数, (b an(n为奇数

    类型二、幂的乘方法则



    2、计算：

    1 [(a b2]3；
    2m 2 4 m 1 2 3(x (x ；

    答案与解析】

    23解：(1 [(a b]

    2(y (y 2y gy5；
    32233 2 2 3 5 4(x32 (x34．
    (a b2 3 (a b6 ．
    2(y32 (y23 2y y5
    3 2 2 3 5


    2m 2 4 , m 1、2     x 4(2 m 2 2(m 1 8m 8 2m 2 10m 6 (3 (x (x x x x x .
    (4 (x32 (x34 x6 x12 x18.
    【总结升华】(1运用幕的乘方法则进行计算时要注意符号的计算及处理，一定不要将幕 的乘方与同底数幕的乘法混淆.(2幕的乘方的法则中的底数仍可以为单个数字、字母， 也可以是单项式或多项式. 3、已知 8m 4 , 8n 5 ,求 83m 2n 的值.
    【思路点拨】 由于已知8m, 8n的值，所以逆用同底数幕的乘法和幕的乘方把
    83m 82n (8m3 (8n2，再代入计算. 83m 2n变成
    【答案与解析】
    解：因为 83m (8m3 43 64, 82n (8n2 52 25.
    所以 83m 2n 83m 82n 64 25 1600.
    【总结升华】运用整体的观念看待数学问题，是一种重要的数学思维方法 •把8m,8n当成一
    •
    个整体问题就会迎刃而解•同时看到灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁
    举一反三：
    【变式】已知 a3m 2,b2m 3,则 a2m 3 bm 6 a2b 3m bm 二
    ___________ . 【答案】—5;


    2     3 提示：原式 a b
    3m2m    a     3m     2
    b     2m ••

    < - - 原式二
    22 32 =一 5.
    类型三、积的乘方法则
    4

    (2 [ a2 ( a4b33]3
    【思路点拨】利用积的乘方的运算性质进行计算•
    【答案与解析】
    解：(1 (2xy24 ( 1 24 x4 (y24 16x4y8.
    ⑵[a ( ab]
    24333(a ( a%
    2393a
    6    36    a b a b 、
    .27     42 27 【总结升华】（1）应用积的乘方时，特别注意观察底数含有几个因式，每个因式都分别乘 方.（2）注意系数及系数符号，对系数-
    1不可忽略.


    举一反三：


    【变式】下列等式正确的个数是（）
    . ① 2xy
    23 36xy ② a692m 3 a③
    6m3a
    66 3
    3a9

    ④ 5 10
    57 10
    735 10 ⑤
    350.5
    100
    2仙
    0.5 2 100
    2



    A. 1 答案】

    个

    B. 2 个

    C. 3 个

    D. 4 个
    A；
    3提示： 只有⑤正确；
    2m
    6m 6     3 27a
    a a ；
    3a     2 3     36 9
    2x y 8x y ；

    5 105
    7 107 35 1012
    7 12
    3.5 1013





    同底数幂的除法
    【要点梳理】
    要点一、同底数幂的除法法则
    同底数幕相除，底数不变，指数相减，即am an am n ( a工0, m n都是正整数，并 且n
    要点诠释：( 1同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算 .
    (2 被除式、除式的底数相同， 被除式的指数大于除式指数， 0不能作除式 .
    ( 3当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质 .
    ( 4底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式 .
    要点二、零指数幂
    任何不等于0的数的0次幕都等于1.即a0 1 ( a工0
    要点诠释：底数a不能为0, 00无意义.任何一个常数都可以看作与字母 0次方的积.因 此常数项也叫 0次单项式 .


    m

    要点三、负整数指数幕
    1 任何不等于零的数的 n （ n为正整数）次幕，等于这个数的n次幕的倒数，即a n — a （a工0, n是正整数）.
    弓I进了零指数幕和负整数指数幕后，指数的范围已经扩大到了全体整数，以前所学的 幕的运算性质仍然成立.
    aman amn （ m、n 为整数，a 0）;
    ab m ambm （ m 为整数，a 0 , b 0）
    am
    amn （ m、n 为整数，a 0）. n 要点诠释：a n a 0是an的倒数，a可以是不等于0的数，也可以是不等于0的代数
    1 5 1 式.例如 2xy ------------- （xy 0）， a b ------------------- 5 （ a b 0）. 2xy a b 1 要点四、科学记数法的一般形式
    （1） 把一个绝对值大于10的数表示成a 10n的形式，其中n是正整数，1 |a| 10
    （2） 利用10的负整数次幕表示一些绝对值较小的数，即 a 10 n的形式，其中n是正 整数，1 |a| 10. 用以上两种形式表示数的方法，叫做科学记数法 .
    【典型例题】


    类型一、同底数幕的除法

    5 (1X8 X3; (2 ( a3 a ; (3 (2xy5 (2xy2; (4
    3 3 3
    【思路点拨】利用同底数幕相除的法则计算. ⑵、⑷ 两小题要注意符号
    【答案与解析】
    解：(1 x x
    8 3
    x
    8 3
    5 x・




    (2 (a
    3a a
    3
    1 2
    a . (3 (2xy (2xy (2xy

    525 2
    (2xy 8x y・

    3c 3 3
    5 3 5 3 2
    (4

    1 3 1 3 1 3
    ] 3
    1 9
    ・【总结升华】(1运用法则进行计算的关键是看底数是否相同. 包括它前面的符号. (2运算中单项式的系数
    2、计算下列各题：
    (1 (x y5 (x y (2 (5a 2b12 (2b 5a5
    (3 (3 1064 (3 1062 (4 [(x 2y3]3 [(2 y x2]4



    【思路点拨】(1若被除式、除式的底数互为相反数时，先将底数变为相同底数再计算,3



    尽可能地去变偶次幕的底数，如(5a 2b12 (2b 5a； (2注意指数为1的多项式.如x y 的指数为1,而不是0. 【答案与解析】
    c 解：(1
    (x y (x y     Cd     (x y (x y.
    A
    (2 (5a 2b12 (2 b 5a5 (2 b 5a12 (2 b 5a5 (2 b 5a7
    (3 (3 1064 (3 1062 (3 1064 2 (3 1062 9 1012 .
    (4 [(x 2y3]3 [(2y x2]4 (x 2y9 (x 2y8 (x 2y9 8 x 2y .
    【总结升华】底数都是单项式或多项式，把底数作一个整体利用同底数幕的除法法则进行 计算. 、已知3m 2 , 3n 4，求9m12n的值.

    【答案与解析】
    解: 9m 1
    2n 9m 1 92n
    (32m 1 (32 2n
    32m 2 32m g32 32m g32 (3m2 g32 34n
    34n
    (3n4
    (3n4
    当3 2 , 3


    mn4时，原式
    2 3 44 9 64 【总结升华】逆用同底数除法公式，设法把所求式转化成只含3m ,3n的式子，再代入求值.本 题是把除式写成了分数的形式，为了便于观察和计算，我们可以把它再写成除式的形式. 举一反三:



    【变式】已知2 5m 5 2m，求m的值. 【答案】
    m 1 解：由 2 5 5 2得5mmm 1 2，即 5
    m1m12m1 1 , I 1 ,
    底数

    5不等于0和1, 2

    5 0
    5，即 m 1


    1. 类型二、负整数次幕的运算
    G 4、计算: (1

    23a；(2 b (a 1b3 (ab 1 .

    【答案与解析】
    1 2     2 【总结升华】要正确理解负整数指数幕的意义. (2 a2b 3(a 1b3 (ab a2b 3 ga 3b3 gab a0b b .
    举一反三: 【变式】计算：25 1    2 21 2 3 2 ( 3.140 .

    3


    【答案】
    4
    解: 2 5

    已知(3.14°
    1 3
    m16，则mn的值=
    27


    【答案与解 析】

    解 : 3m
    1
    27 16 24 ,「 (3 4
    1 1
    (3     4     81



    【总结升先将£变形为底数为
    华】

    最后代值求

    举一反三 :



    【变式】计(1 (a 1b2c32 ；(2

    算:

    【答
    案】

    解：（1）原式
    2 n 24 , 3的幕, b2c3
    n 2 n, 4，然后确定m、的值, 16 2 n


    (2原式 b2c3 8b6c9 8b8c 12
    8b8
    c

    类型三、科学记数法
    、用科学记数法表示下列各数:


    (1 0.00001 ; (2 0.000000203; (3 -0.000135 ; (4
    0.00067 【答案与解析】
    0.00001 = 10 5 ； 解: ( 1
    (2 0.000000203 = 2.03 10 7; (3 -0.000135 = 1.35 10 4;
    (4 0.00067 = 6.7 10 4
    a10 中n的取值是这个数从左边起第一个不是零的数前面零的个数
    【总结升华】 注意在

    （包括小数点前边的零）
    【巩固练习】
    .选择题
    1. c c的值是(

    3 5
    A. c
    8    B.     c     15 C. C15 D.c8



    2．an an 2的值是(
    A. an 3
    B. C2n . a D. 3列计算正确的是 ．

    A. x2 x2 x4

    B. x3 x x4
    x7 C. a4 a4 a16
    D.     a a    2
    a3 4列各题中，计算结果写成 10 的幂的形其中正确的是 (
    ． 式， A. 100 X 102= 103
    10=1030

    B. 1000 X 10 C. 100 X 103= 105

    D. 100 X 1000= 104 5列计算正确的是 (
    ．


    33 xy
    A. xy B. 5xy 5x2y4
    C. 3x2 22 9x4
    D. 2xy2 8x3y6
    6
    ．若 2ambn 3 8a9b15 成立，
    A. m = 6, n=12 B. m =3, =12

    C. n =5 D. m = 6, =5

    .填空题

    .


    7. 若 2m 6,2n 5,则 2mn
    x 8. 若 a3 a a19 ，贝U x =
    9.已知a3n 5 ,那么a6n
    10 .若 a3 am
    11. 2 2 3
    12.若n是正整数，且a2n
    10, 则(a3n2三.解答题
    13.判断下列计算的正误.
    (1 x3 x3 x6



    (3 ( 2ab22
    2a2b4


    14. (1 x43

    ；


    3
    (3 10 ( 0.3 10 (0.4 5 10;
    6 23 3 (5 5a
    3
    3a a ;



    15. (1
    x35，求n的值.
    81 ,
    8( a 2\2 n     =     (2 / 3    、    2     (y (4
    (xy     2 2     xy     4 (2 (1a 2b33
    (4
    b 2a     3     2a a3b22










    2）若 a b 答案与解析】
    nm 3
    9 15 b ，求 m 、
    的值．
    n 915.选择题
    1. 答案】 D；
    解析】
    2. 答案】
    解析】3. 答案】解析】4. 答案】解析】
    C；
    D；
    2x2
    C；
    100X 102= 104；35 c 2n a 1000X 1010c. 8 aa     44 = 1013a8 . X 1000= 105 6 * *.




    100



    二.填空题
    7. 【答案】 30；
    【解析】 2m n 2mg2n 6 5 30 . 8. 【答案】 6；
    【解析】 a3x 1 a19,3x 1 19,x 6. 9. 【答案】 25；
    2 【解析】 a6n a3n 2 52 25. 10. 【答案】 5；1；
    【解析】 a3 am a3 m a8,3 m 8,m 5；33x 1 81 34,3x 1 4,x 1. 11. 【答案】 64； n9； 310；
    12. 【答案】 200；
    32 【解析】 (a3n2 8( a22n a2n 3 8 a2n 2 1000 800 200. 三. 解答题
    13. 【解析】
    解：(1X； (2X； (3x； (4X 14. 【解析】





    15. 解: (1
    x ( x (
    38X
    7
    X X X
    24 12
    X
    37




    解: (2

    (Jab
    3
    233(a b
    3 221 a b 27

    6-9
    a b

    6-4


    (3 10 ( 0.3
    103 (0.4 105 0.3 0.4
    10 103 105 1.2 108
    ;
    (4 3 b 2a 2a b
    5
    3(5
    5 a6 2
    3a3

    【解析】
    a
    3
    (1・ XX xn 3n 3
    35
    ・・4n 3 35
     X X
    4 n + 3 = 35 n = 8
    (2 m = 4, n = 3
    3 解：：an bm b a9b15
    a b b     3n 3m 3 3n 3m 3 a b 3n = 9 且 3m + 3= 5. 【答案】 D；
    【解析】 xy 3 x3y3； 5xy2 6. 【答案】 C；
    3



    3
    5 2a b 2a b
    25a12 27 a 9 a
    3
    a b     9 15 y y 2 y 2 y 2y 06 6 6 6 6 ．
    25x2y4 ； 3x28
    2a b ；

    2a12.
    9x4
    .     15

    【解析】 2ambn 8a3mb3n 8a9b15,3m 9,3n 15，解得 m=3，n=5.

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