当前位置：首页> 安全验证

安全验证

时间：2023-11-13 22:35:35 下载该word文档

维普资讯http://www.cqvip.com第２９卷第６期　临沂师范学院学报　２００７年１２月　、，０１．２９　Ｎｏ．６　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｌｉｎｙｉ　Ｎｏｒｍａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｄｅｃ．２００７　涉及三角形中线与类似中线的两个不等式　刘健　（华东交通大学初等数学研究所，江西南昌３３００１３）　摘要：应用三角形不等式中重要的Ｒ—ｒ—Ｓ方法，建立了两个有关三角形中线与类似中线的优美不　等式：对锐角△Ａ艿ｃ有ｍｂｍ　＋ｍ　ｍ　＋ｍ　ｍｂ≥　＋ｋ　＋　（ｍ　，ｋ分别表示中线与类似中线，其它同此）；对　任意ＡＡＢＣ有３（ｍ　ｍ　＋ｍ　ｍ　＋ｍ　ｍｂ）≥（ｋ＋ｋ　＋ｋ）　．提出并应用计算机验证了一个猜想．　关键词：三角形；中线；类似中线；Ｅｕｌｅｒ不等式；Ｇｅｒｒｅｔｓｅｎ不等式　中图分类号：Ｏ１７８　文献标识码：Ａ　文章编号：１００９—６０５１（２００７）０６—０００７—０５　１主要结果　设ＡＡＢＣ的三条中线与高线分别为　，　６，　和ｈ　，ｈ６，ｈ　，则成立简洁的不等式　凸　＋　。＋　口ｍｂ≥ｈ　＋ｈ　＋　，　这是一个优美的已知不等式，作者在考虑它的加强时，发现了锐角三角形中的下述不等式：　定理１设锐角ＡＡＢＣ的三条中线与类似线分别为　，　６，　和ｋ　，ｋ６，ｋ　，则有　凸　ｃ＋　ｃ　口＋　口ｍｂ≥　＋ｋ　＋ｋ＜２，　（２）　等号当且仅当锐角ＡＡＢＣ为正三角形时成立．　不等式（２）进而促使作者对任意三角形得到下述结论：　定理２设任意ＡＡＢＣ的三条中线与类似线分别为ｍ　，ｍ６，ｍ　和ｋ　，ｋ６，ｋ　，则有　ｍｂｍｃ＋ｍｃｍａ＋ｍａｍｂ＞￣　（　＋ｋｂ＋ｋｃ）　，　（３）　等号当且仅当ＡＡＢＣ为正三角形时成立．　本文将应用三角形不等式中重要的Ｒ—ｒ—Ｓ方法（又称索勒丹一米德曼方法）来证明上述两个不　等式．　除了延用上面出现的符号外，本文以下均以ａ，ｂ，ｃ表示ＡＡＢＣ的三个边长，Ｓ，Ｒ，　Ａ分别表示ＡＡＢＣ　的半周长、外接圆半径与内切圆半径及面积．用∑，ｎ分别表示循环和与循环积．另外，未作说明的　三角形均指任意三角形．　２定理的证明　２．１定理１的证明　引理１在锐角ＡＡＢＣ中有　≤　（二　易　＋Ｃ２）ＣＯＳ　芸，厶　　（４）　等号当且仅当ｂ＝ｃ时成立．　．　收稿日期：２００７—０７—０９　作者简介：刘健（１９６３一），男，江西兴国人，华东交通大学助理研究员．主要从事几何不等式研究　
维普资讯http://www.cqvip.com８　临沂师范学院学报　第２９卷　不等式（４）可能早就有人注意到了，事实上由中线公式４ｍ　＝２（ｂ　＋ｃ　）一日　容易证明：　４ｍ　＝２（　＋Ｃ２）ｃｏｓ　一（　一ｃ）　ｃｏｓＡ，　（５）　二　’　由此即知不等式（４）对锐角三角形成立．　引理２【Ｉ】在锐角ＡＡＢＣ中有　４　ｍ６ｍ　≥５ｓ　一（１８＋６　４５）Ｒｒ＋（９＋１２　ｒ２，　（６）　等号当且仅当锐角ＡＡＢＣ为正三角形成立．　上述不等式（６）是褚小光在２０００年建立的，它是一个很强的结果．不过在应用时，为计算方便起　见，可使用下述稍弱的不等式：　引理３在锐角ＡＡＢＣ中有　∑　≥　＋　等号当且仅当锐角ＡＡＢＣ为正三角形成立．　按众所周知的Ｅｕｌｅｒ不等式Ｒ≥２ｒ，由（６）式立即可推得不等式（７）．　。引理４对任意实数Ｘ，Ｙ，ｚ与任意ＡＡＢＣ有　ｃ　＋ｙ＋ｚ　２￣４（ｙＺＣＯＳ２　＋ＺＸＣＯＳ２　＋ｘｙＣＯＳ２善），　ｃ８　等号当且仅当Ｘ：Ｙ：Ｚ＝ｓｉｎＡ：ｓｉｎＢ：ｓｉｎＣ时成立．　不等式（８）即为重要的Ｗｏｌｓｔｅｎｈｏｌｍｅ不等式（参见［２］，［３１）的一种等价形式．　引理５在ＡＡＢＣ中有　兀（扫　＋ｃ　）＝２【　＋（ｒ２—１２Ｒｒ）　＋（４０Ｒ　＋８Ｒｒ—ｒ　）ｒ２　～（　＋　ｒ　】　（９）　证明容易得到等式：　１－Ｉ（ｂ　＋ｃ　）＝∑ａ２∑ｂ　ｃ　一（ａｂｃ）　．　（１０）　由此利用已知恒等式（参见【３】）：　ａｂｃ＝４Ｒｒｓ，　（１　１）　∑日　＝２（　一４Ｒｒ—　（１２）　∑ｂ　ｃ　＝Ｓ４—２（４Ｒｒ—ｒ２）　＋（４Ｒ＋ｒ）　ｒ２，　（１３）　经计算　得（９）．　下面来证定理１的不等式：　由类似中线的公式ｋａ＝　２ｂｃ．　ｍ　与引理１即知，在锐角ＡＡＢＣ中成立不等式：　２筹ＣＯＳ２　，　（１４）　于是要证锐角三角形不等式（２）只要证：　∑，　６，　ｆ．１（　＋ｃ　）≥２　Ｚ　ｂ２ｃ２（ｃ　＋口　）（口　＋ｂ２）ｃ。