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２０１０年３月　安徽大学学报（自然科学版）　Ｍａｒｃｈ　２Ｏｌ０　第３４卷第２期　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ａｎｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｖｏ１．３４　Ｎｏ．２　交换ＱＦ环上的有限生成模　张丽霞　，杜先能　，王拥兵　（１．安徽大学数学科学学院，安徽合肥２３００３９；２．安庆师范学院数学与计算科学学院，安徽安庆２４６１３３）　摘要：给出了ＱＦ环上模的一些特征，刻画了交换ＱＦ环上的有限生成模，得出了交换ＱＦ环上的　有限生成模的相关性质，并进一步讨论了交换ＱＦ环上的有限生成模对直和以及取直和项，上述性质仍　然保持．　关键词：有限生成模；ＱＦ环；投射模；内射模；Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ投射模　中图分类号：Ｏ１５３　文献标识码：Ａ　文章编号：１０００—２１６２（２０１０）０２—００１５—０４　Ｆｉｎｉｔｅｌｙ　ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｍｏｄｕｌｅｓ　ｏｎ　ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　ＱＦ　ｒｉｎｇｓ　ＺＨＡＮＧ　Ｌｉ—ｘｉａ　，ＤＵ　Ｘｉａｎ．ｎｅｎｇ。　，ＷＡＮＧ　Ｙｏｎｇ—ｂｉｎｇ　（１．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ａｎｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｈｅｆｅｉ　２３００３９，Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ａｎｑｉｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ａｎｑｉｎｇ　２４６１３３，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｍａｎｙ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｍｏｄｕｌｅｓ　ｏｎ　Ｑｕａｓｉ—Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ（ＯＦ）ｔｉｎｇｓ　ｗｅｒｅ　ｇｉｖｅｎ　ｉｎ　ｔｈｅ　ａｒｔｉｃｌｅ．　Ｗｅ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｄ　ｔｈｅ　ｆｉｎｉｔｅｌｙ　ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｍｏｄｕｌｅｓ　ｏｎ　ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　ＱＶ　ｒｉｎｇｓ　ａｎｄ　ｇｏｔ　ｓｏｍｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．Ｍｏｒｅｏｖｅｒ，　ｗｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ　ｔｈａｔ　ｆｏｒ　ｆｉｎｉｔｅｌｙ　ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｍｏｄｕｌｅｓ　ｏｎ　ｃｏｍｍｕｔａｔｉｖｅ　ＱＦ　ｔｉｎｇｓ，ｔｈｅ　ａｂｏｖｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｗｅｒｅ　ｓｔｉｌｌ　ｋｅｐｔ　ｏｆｒ　ｄｉｒｅｃｔ　ｓｕｍ　ａｎｄ　ｄｉｒｅｃｔ　ｓｕｍｍａｎｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｆｉｎｉｔｅｌｙ　ｇｅｎｅｒａｔｅｄ　ｍｏｄｕｌｅｓ；ＱＦ　ｒｉｎｇｓ；ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅ　ｍｏｄｕｌｅｓ；ｉｎｊｅｅｔｉｖｅ　ｍｏｄｕｌｅｓ；Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ　ｉｎｊｅｃｔｉｖｅ　ｍｏｄｕｌｅｓ　环　称为Ｑｕａｓｉ—Ｆｒｏｂｅｎｉｕｓ环（简称ＱＦ环），若Ｒ是Ｎｏｅｔｈｅｒｉａｎ的且自内射（ｉ．ｅ．Ｒ是一个内射Ｒ一模）　的．Ｎａｋａｙａｍａ于１９３９年引入了ＱＦ环的概念．ＱＦ环上的任意一个有限生成模都是自反模．文［１—３］证　明了有限生成模的投射性．该论文中引进了ＱＦ环上的模的一些特征，并且在ＱＦ环上对有限生成模进　行刻画．对于交换ＱＦ环Ｒ上的有限生成模　，如果　满足：　（ｉ）ｐｄ（Ｍ）＜。。；　（ｉｉ）Ｅｎｄ（　）是一个投射　一模．　则　是投射Ｒ一模、Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ投射　一模、内射Ｒ一模、Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ内射Ｒ一模．　进一步，作者得出了一些相关推论．　１定义及引理　首先给出文中用到的一些定义和符号．　收稿日期：２００９—０８—１９　基金项目：教育部博士点基金资助项目（２００８０３５７０００３）　作者简介：张丽霞（１９８４一），女，安徽桐城人，安徽大学硕士研究生；　杜先能（通讯作者），安徽大学教授，博士生导　师，Ｅ—ｍａｉｌ：ｘｎｄｕ＠ａｈｕ．ｅｄｕ．ｃｎ．　．引文格式：张丽霞，杜先能，王拥兵．交换ＱＦ环上的有限生成模［Ｊ］．安徽大学学报：自然科学版，２０１０，３４（２）：１５—１８．　
安徽大学学报（自然科学版）　第３４卷　定义１一个左（右）Ｒ一模肘称为Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ内射的，如果存在一个所有项都是内射左（右）Ｒ一　模的正合列…一Ｅ　一　一　一Ｅ　一…，使得Ｍ＝ｋｅｒ（Ｅ。一Ｅ　），且对任意的内射左（右）Ｒ一模Ｅ，　该正合列在函子Ｈｏｍ（Ｅ，一）的作用下仍是正合的．对偶地，可定义Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ投射模．众所周知，任意　一个投射模都是Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ投射的．　定义２设Ｅ、Ｅ　为内射尺一模，同态－厂：Ｅ一　为　一模同态，如果对于任意　一模同态ｇ：Ｅ　一　，　都存在＾：Ｅ　一Ｅ，使得ｇ＝ｆｈ，则称同态ｆ：Ｅ—　为模　的内射预盖．　环　是左（右）Ｎｏｅｔｈｅｒｉａｎ的当且仅当每一个左（右）　一模有一个内射预盖．因此，若　是左　Ｎｏｅｔｈｅｒｉａｎ环，则对于任意左　一模　，可以得到如下复形　…＿Ｅ　Ｅｏ＿＿＋Ｍ－＿＋０，　其中　Ｅｏ　，Ｅ１　ｋｅｒ（Ｅ０　），…，Ｅ　＿ｋｅｒ（Ｅ　Ｅ　），…　为内射预盖，则称上述复形为Ｒ一模　的内射预解式．　定义３设Ｍ∈ｍｏｄ　Ｒ，　Ｍ：Ｍ—　，对任意　∈Ｍ和自然赋值同态ｆ∈Ｍ　，定义　（　）（／）＝　）．若　肘是单同态，则　是无挠模；若　肘是同构的，则　是自反模．　下面给出ＱＦ环的相关性质．　命题１［４　３　若Ｒ是一个Ａｒｔｉｎｉａｎ环，则下列陈述等价：　（１）Ｒ是ＱＦ环；　（２）Ｒ具有双零化子性质．　而且，若Ｒ具有双零化子性质，则下列陈述等价：　（１）Ｒ是左Ａｒｔｉｎｉａｎ环；　（２）Ｒ是右Ａｒｔｉｎｉａｎ环；　（３）　是左Ｎｏｅｔｈｅｒｉａｎ环；　（４）Ｒ是右Ｎｏｅｔｈｅｒｉａｎ环．　定理１　下列陈述等价：　（１）Ｒ是ＱＦ环；　（２）任意投射　一模都是内射模；　（３）任意内射　一模都是投射模．　引理１下列陈述等价：　（１）Ｒ是Ｑｌｒ环；　（２）任意左（右）Ｒ一模是Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ内射模．　证明这里仅证明左尺一模情形，右尺一模情形类似可以证明．　（１）　（２）设　是一个左　一模，则　有一个内射预解式　…＿Ｅｌ　Ｅｏ　Ｍ　０，　且该式正合　』．　设　０　Ｍ　Ｅ。　Ｅ　＿…　是　的内射分解，则有正合列　…一　。一　一　一　一…．　根据定理１（３），ＱＦ环上的每一个内射左Ｒ一模是投射的．因此，对于任意内射左尺一模Ｅ，下列序列　…　Ｈｏｍ（Ｅ，Ｅ１）　Ｈｏｍ（Ｅ，Ｅｏ）　Ｈｏｍ（Ｅ，Ｅ　）一Ｈｏｍ（Ｅ，Ｅ　）＿÷…　正合，且Ｍ＝ｋｅｒ（Ｅｏ—Ｅ　），由定义１知，　是Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ内射的．　（２）　（１）设Ｐ是投射左　一模，由已知，Ｐ是Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ内射模．因此，存在一个内射左　一模Ｅ和　一个满同态Ｅ—Ｐ一０．由于Ｐ为投射模，则Ｈｏｍ（Ｐ，Ｅ）一Ｈｏｍ（Ｐ，Ｐ）一０正合，于是Ｐ为Ｅ的直和项．　因为任一内射左尺一模的直和项仍是内射模，所以Ｐ为内射模，从而由定理１（２）知，　是ＱＦ环．　
第２期　张丽霞，等：交换ＱＦ环上的有限生成模　１７　２主要结论　对于任意一个　一模　，用ｐｄ（　）表示Ｒ一模　的投射维数．下面给出论文的主要结果（定理２），　首先给出一些引理．　引理２　设Ｒ是一个局部的交换Ｎｏｅｔｈｅｒｉａｎ环，若有限生成Ｒ一模　满足条件：ｐｄ（Ｍ）＜∞；对　于某个正整数ｓ，Ｅｎｄ（　Ｍ）兰Ｒ　，则：　（１）ｒａｎｋ（ＲＭ）＝√５；　（２）Ｅｎｄ（ＲＭ）／ｍ＝Ｅｎｄ（ＲＭ）兰Ｍ，（Ｒ／ｍ）．　其中，ｒ　ｒａｎｋ（　）且ｍ是尺的极大理想．　引理３［３　设Ｒ是一个局部的交换Ｎｏｅｔｈｅｒｉａｎ环，，是　的一个理想，若，满足条件　Ｅｎｄ（ＲＪ『）兰Ｒ；ｐｄ（Ｍ）＜。。；，　兰，．　则，是自由尺一模．　定理２设Ｒ是一个交换的ＱＦ环，若有限生成Ｒ一模　满足：ｐｄ（Ｍ）＜∞，Ｅｎｄ（ＲＭ）是一个投射　Ｒ一模，则　满足：　（１）Ｍ是投射Ｒ一模；　（２）　是Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ投射尺一模；　（３）Ｍ是内射　一模；　（４）Ｍ是Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ内射　一模．　证明　因为Ｒ是一个ＱＦ环，所以有限生成尺一模　是自反模，即　Ｍ　兰　（　）　不失一般性，假定　是局部的且有极大理想ｍ，则存在一个正整数ｓ，使得Ｅｎｄ（　Ｍ）　Ｒ　．设　是　的ｍ—ａｄｉｃ完备化且Ｍ＝Ｍ　ｏ　Ｒ，则Ｍ作为一个　一模满足条件和（　）式．　令　Ａ—Ｅｎｄ（　）＝Ｅｎｄ（ＲＭ）ｏＲＲ，　由引理２（２）知　Ａ／ｍＡ兰Ｍ　（Ｒ／ｍ），　其中，ｒ—ｒａｎｋ（　）且ｍ是尺的唯一极大理想．根据文［６］，有　Ａ兰Ｍ，（Ｒ）．　ｒ　．　＾　＾　设ｅ　，ｅ　，…，ｅ　是Ａ中的一组正交幂等元集，且∑ｅ　＝１：；令，　＝ｅｉ（　），显然ｌｉ是一个非零的Ｒ一　模，ｉ＝１，２，…，ｒ，而且ｅｉｅｊ＝６　ｅ　，Ｖ　ｉ，Ｊ∈｛１，２，…，ｒ｝，从而　Ｉ　０　ｌ２　０…９　ｌ　ｒ＝Ｍ．　由于　满足条件和（　）式，则Ｒ一模，　也满足上述条件，ｉ＝１，２，…，ｒ．因为ｒａｎｋ（　Ｍ）＝ｒ，则　ｒａｎｋ（　，）＝１．由引理３知，，　是自由的，ｉ＝１，２，…，ｒ．由于自由模的直和仍是自由模，从而　是一个自　由　一模，进而，　是投射Ｒ一模．又因为Ｍ：Ｍｏ　Ｒ，所以　为投射　一模，（１）得证．　因为投射Ｒ一模必为Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ投射的，（２）显然成立．由定理１（２）知，　是一个内射　一模．由　于ＱＦ环上任意一个模都是Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ内射的，故（４）成立．　定义４　形如　Ｐ…．上ｐ三ｐ上ｐ三…　的完全投射分解称为强完全投射分解．若对于某个强完全投射分解，Ｍ兰ｋｅｒ　ｆ，则Ｍ是一个强　
１８　安徽大学学报（自然科学版）　第３４卷　Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ投射模．　命题２［７　任一个投射（内射）模是强Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ投射（内射）模．　鉴于定义４和命题２，若尺一模　满足定理２的条件，则Ｍ既是强Ｇｏｒｅｎｓｔｅｉｎ投射模，又是强　Ｇｏｒｅｎｓ